冀教版29.3 切线的性质和判定同步训练题

29.3切线的性质和判定同步练习冀教版初中数学九年级下册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 若一直角三角形的斜边长为c，内切圆半径是r，则内切圆的面积与三角形面积之比是

A.  B.  C.  D.

2. 如图，AB是的弦，点C在过点B的切线上，，OC交AB于点若，则的度数等于

A.
B.
C.
D.

3. 如图，AB是的直径，PA切于点A，连接PO并延长交于点C，连接AC，若，，则
    

A.  B.  C. 4 D. 3

4. 中，，，内切圆半径为1，则三角形的周长为

A. 12 B. 13 C. 14 D. 15

5. 如图，在中，点D是的内心，连接DB，DC，过点D作分别交AB、AC于点E、F，若，则EF的长度为

A. 4
B. 5
C. 8
D. 16

6. 如图，AB是的切线，A为切点，连接OA，OB，若，则的度数为

A.
B.
C.
D.

7. AB为的直径，延长AB到点P，过点P作O的切线，切点为C，连接AC，为圆上一点，则的度数为

A.
B.
C.
D.

8. 如图所示，在中，，，，以EF的中点O为圆心，作半圆与DE相切，点A、B分别是半圆和边DF上的动点，连接AB，则AB的最大值与最小值的和是

A. 6 B.  C.  D. 9

9. 如图，内接于，，直线AD与相切，则

A.
B.
C.
D. 1

10. 如图，和分别是的内切圆和外接圆，已知是直角，且的半径为2a，则的半径等于

A.  B.  C.  D.

11. 如图，PA，PB分别与相切于A，B两点，，则的度数为

A.
B.
C.
D.

12. 平面内，的半径为1，点P到O的距离为2，过点P可作的切线条数为   

A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 无数条

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 如图，直线，垂足为H，点P在直线b上，，O为直线b上一动点，若以1cm为半径的与直线a相切，则OP的长为______．

14. 如图，已知的半径为2，弦，点P为优弧上动点，点为的内心，当点P从点A向点B运动时，点I移动的路径长为______．
    
     

15. 如图，已知的半径为2，圆心P在抛物线上运动，当与x轴相切时，圆心P的坐标为______．

16. 如图，直线AB，CD相交于点O，，半径为1cm的圆P的圆心在直线AB上，且与点O的距离为10cm，如果以的速度，沿由A向B的方向移动，那么                秒钟后与直线CD相切．
17. 如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A、B、C在直角坐标系中的坐标分别为，，，则内心的坐标为______．
     

18. 如图所示，在平面直角坐标系xoy中，一组同心圆的圆心为坐标原点O，它们的半径分别为1，2，3，，按照“加1”依次递增；一组平行线，，，，，都与x轴垂直，相邻两直线的间距为l，其中与y轴重合若半径为2的圆与在第一象限内交于点，半径为3的圆与在第一象限内交于点，，半径为的圆与在第一象限内交于点，则点的坐标为______为正整数

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）

19. 如图，在中，，点O、D分别为AB、BC的中点，做与AC相切于点E，在AC边上取一点F，使．
    求证：DF是切线；
    若，，求的半径．
    
    
    
    
    
    
     
20. 如图，已知AB是的直径，经过的直角边DC上的点F，交AC边于点E，点F是弧EB的中点，，连接AF．
    求证：直线CD是切线．
    若，，求的值．

21. 古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”请研究如下美丽的圆．如图，线段AB是的直径，延长AB至点C，使，点E是线段OB的中点，交于点D，点P是上一动点不与点A，B重合，连接CD，PE，PC．
    求证：CD是的切线；
    小明在研究的过程中发现是一个确定的值．回答这个确定的值是多少？并对小明发现的结论加以证明．

22. 如图，是的外接圆，，点D是上的一点，且，连接AD交BC于点F，过点A作的切线AE交BC的延长线于点E．
    求证：；
    若，，求的半径．
    
     

23. 如图，AB为的直径，点C在上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为连接BC并延长，交AD的延长线于点E．
    
    求证：；
    若，，求CD的长．
    
    
    
    
    
    
     
24. 如图，D、E是以AB为直径的上两点，且．
    过点D作，求证：直线CD与相切；
    若的半径为12，，求AE的长．
    
     

25. 如图，是的内接三角形，，请用无刻度的直尺按要求作图．
    如图1，请在图1中画出弦CD，使得．
    如图2，AB是的直径，AN是的切线，点B，C，N在同一条直线上请在图中画出的边AN上的中线BD．

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】解：设直角三角形的两条直角边是a，b，则有：
，
又，
，
将代入得：．
又内切圆的面积是，
它们的比是．
故选：B．
连接内心和直角三角形的各个顶点，设直角三角形的两条直角边是a，则直角三角形的面积是；又直角三角形内切圆的半径，则，所以直角三角形的面积是；因为内切圆的面积是，则它们的比是．
此题要熟悉直角三角形的内切圆半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半，能够把直角三角形的面积分割成三部分，用内切圆的半径进行表示，是解题的关键．
 

2.【答案】B
 

【解析】解：，
，
，
，
，
，
为的切线，
，
，
．
故选：B．
先利用对顶角相等和互余得到，再利用等腰三角形的性质得到，然后根据切线的性质得到，从而利用互余计算出的度数．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．
 

3.【答案】A
 

【解析】解：切于点A，
，
，
在中，，
，，
，
而，
，
．
故选：A．
先根据切线的性质得，再利用含30度的直角三角形三边的关系得到，接着计算出，从而得到．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．
 

4.【答案】A
 

【解析】解：如图，设内切圆与三边的切点分别为D、E、F，连接OE、OF，
，
四边形OECF是正方形，
，
由切线长定理得，，，
，
三角形的周长．
故选：A．
作出图形，设内切圆与三边的切点分别为D、E、F，连接OE、OF可得四边形OECF是正方形，根据正方形的四条边都相等求出CE、CF，根据切线长定理可得，，从而得到，再根据三角形的周长的定义解答即可．
本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，作辅助线构造出正方形是解题的关键，难点在于将三角形的三边分成若干条小的线段，作出图形更形象直观．
 

5.【答案】C
 

【解析】解：点D是的内心，
平分，CD平分，
，，
，
，，
，，
，，
．
答：EF的长度为8．
故选：C．
根据点D是的内心，可得BD平分，CD平分，再根据，可得，，得，，根据进而得EF的长度．
本题考查了三角形的内切圆与内心、平行线的性质，解决本题的关键是掌握三角形的内心．
 

6.【答案】D
 

【解析】解：是的切线，A为切点，
，
，
，
故选：D．
根据切线的性质和三角形的内角和即可得到结论．
本题考查了切线的性质，三角形的内角和，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
 

7.【答案】A
 

【解析】证明：连接OC，
为的切线，
，即，
，
，
，
，
，
故选：A．
连接OC，根据切线的性质得到，证明，再根据圆周角定理得出答案．
本题考查了切线的性质、圆周角定理，掌握切线的性质定理是解题的关键．
 

8.【答案】D
 

【解析】解：如图所示，设与DE相切于点C，连接OC，作于点B，交于点A，此时AB最小，为，当A在N处，B在F处时，AB最大，就是FN的长，

，，，
，
，
，
，
，
，
由勾股定理得：
，，
，
，
，
的最小值是：，
AB的最大值是：，
的最大值与最小值的和是：；
故选：D．
先确定AB的最大值与最小值，作辅助线，构建矩形OCDB，则此时AB最小，图中FN就是AB的最大值，根据勾股定理和中位线定理可得结论．
本题考查切线的性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是正确找到点AB取得最大值、最小值时的位置，属于中考常考题型．
 

9.【答案】B
 

【解析】解：连接OA，OB，
，
，
，
，
直线AD与相切，
，
，
，
故选：B．
连接OA，OB，根据圆周角定理得到，根据等腰直角三角形的性质得到，根据切线的性质得到，由三角函数的定义即可得到答案．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

10.【答案】B
 

【解析】解：设的半径为r，
的半径为2a，
，
是直角，，
，
在中，
，
，
，
解得：，
故选：B．
由是直角，，的半径为2a，求得AB、AC、BC的长度，再利用等积法即可求出的半径．
本题考查了三角形的内切圆与外接圆，利用等积法列出关于r的方程是解决问题的关键．
 

11.【答案】B
 

【解析】解：连接OA、OB，
、PB是的切线，
，
在四边形OAPB中，，
，
，
故选：B．
根据切线的性质得出，利用四边形的内角和以及圆周角的性质即可得出答案．
本题考查切线的性质，四边形的内角和以及圆周角，求出的度数是解决问题的关键．
 

12.【答案】C
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了点与圆的位置关系，切线的定义，切线就是与圆有且只有1个公共点的直线，理解定义是解题的关键．
先根据题意确定点在圆外，再根据切线的定义即可直接得出答案．
【解答】
解：的半径为1，点P到圆心O的距离为2，
，
点P与的位置关系是：P在外，
过圆外一点可以作圆的2条切线，
故选C．  

13.【答案】3cm或5cm
 

【解析】解：直线，O为直线b上一动点，
与直线a相切时，切点为H，
，
当点O在点H的左侧，与直线a相切时，如图1所示：

；
当点O在点H的右侧，与直线a相切时，如图2所示：

；
与直线a相切，OP的长为3cm或5cm，
故答案为：3cm或5cm．
当点O在点H的左侧与直线a相切时，；当点O在点H的右侧与直线a相切时，，即可得出结果．
本题考查了切线的性质以及分类讨论；熟练掌握切线的性质是解题的关键．
 

14.【答案】
 

【解析】解：连接OB，OA，过O作，

，
，
，
，
，
，
连接IA，IB，
点I为的内心，
，，
，
，
点P为弧AB上动点，
始终等于，
点I在以AB为弦，并且所对的圆周角为的一段劣弧上运动，
设A，B，I三点所在的圆的圆心为，
连接，，
则，
，
，
连接，
，
，
，
点I移动的路径长
故答案为：
连接OB，OA，过O作，得到，求得，连接IA，IB，根据角平分线的定义得到，，根据三角形的内角和得到，设A，B，I三点所在的圆的圆心为，连接，，得到，根据等腰三角形的性质得到，连接，解直角三角形得到，根据弧长公式即可得到结论．
本题考查的是三角形的内切圆与内心，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形，得出点I在以AB为弦，并且所对的圆周角为的一段劣弧上是解答此题的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】

【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，二次函数图像上的点的坐标特征解题时，为了防止漏解或错解，一定要注意分类．
当与x轴相切时，点P的纵坐标是2或，把点P的纵坐标代入函数解析式，即可求得相应的横坐标．


【解答】解：当与x轴相切时，可设或．
当P的坐标是时，将其代入，
得，解得，
此时P的坐标为；
当P的坐标时，将其代入，
得，即，无解，
综上所述，圆心P的坐标是  

16.【答案】4或6．
 

【解析】

【分析】
本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，切线的性质，分类讨论思想，当点P在当点P在射线OA时P与CD相切，过P作与E，根据切线的性质得到，再利用含的直角三角形三边的关系得到，则P的圆心在直线AB上向右移动了后与CD相切，即可得到P移动所用的时间；当点P在射线OB时P与CD相切，过P作与F，同前面一样易得到此时P移动所用的时间．
【解答】
解：当点P在射线OA时P与CD相切，如图

过P作PECD与E，
，
，
，
的圆心在直线AB上向右移动了后与CD相切，
移动所用的时间秒；
当点P在射线OB时P与CD相切，如图2，

过P作与F，
，
，
，
的圆心在直线AB上向右移动了后与CD相切，
移动所用的时间秒．
故答案为4或6．  

17.【答案】
 

【解析】解：如图，点I即为的内心．

所以内心I的坐标为．
故答案为：．
根据点A、B、C在直角坐标系中的坐标分别为，，，建立直角坐标系，根据等腰三角形三线合一，利用网格确定内心的坐标即可．
本题考查了三角形的内切圆与内心、坐标与图形性质，解决本题的关键是掌握三角形的内心定义．
 

18.【答案】
 

【解析】解：连接，，，、、与x轴分别交于、、，如图所示：
在中，，，
，
同理：，，，
的坐标为，的坐标为，的坐标为，，
按照此规律可得点的坐标是，即
故答案为：
连，，，、、与x轴分别交于、、，在中，，，由勾股定理得出，同理：，，，得出的坐标为，的坐标为，的坐标为，，得出规律，即可得出结果．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了勾股定理；由题意得出规律是解题的关键．
 

19.【答案】证明：作于连接OE．

，，
，
，
，，
≌，
，
是的切线，
，
，
，
，
四边形CDOE是矩形，
，
，
是的切线．
设，则，
，
，
在中，
，
在中，
，
，
解得，，
的半径为．
 

【解析】作于连接证出≌可得，证明即可解决问题；
可知，设，则，在中，由勾股定理得方程，解出x即可．
本题考查切线的性质和判定，勾股定理，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，切线长定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
 

20.【答案】证明：连结OF，BE，如图：
是的直径，
，
，
，
，
点F是弧BE的中点，
，
，
为半径，
直线DF是的切线；
解：，
，
∽，
，
，，
，，
，
，
，，
，即，
解得：，
．
 

【解析】连结OF，BE，得到，根据平行线的性质得到，即可得出结论；
由相似三角形的性质求出AC长，再由勾股定理可求得DC长，则能求出CF长，即可得出结果．
本题考查的是切线的判定、圆周角定理、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及三角函数定义等知识；掌握切线的判定定理和圆周角定理是解题的关键．
 

21.【答案】解：连接OD、DB，

点E是线段OB的中点，交于点D，
垂直平分OB，
．
在中，，
，
是等边三角形，
，
，且为的外角，
．
，
．
，
是的切线；
答：这个确定的值是．
连接OP，如图：

由已知可得：．
，
又，
∽，
．
 

【解析】连接OD、DB，由已知可知DE垂直平分OB，则，再由圆的半径相等，可得，即是等边三角形，则，再由等腰三角形的性质及三角形的外角性质可得，从而可得，按照切线的判定定理可得结论；
连接OP，先由已知条件得，再利用两组边成比例，夹角相等来证明∽，按照相似三角形的性质得出比例式，则可得答案．
本题考查了切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
 

22.【答案】证明：，
是的直径，，
是的切线，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；
解：连接OC，交AD于H，
，
，，
，，
，
在中，，
设的半径为r，
，
在中，，
，
解得，
的半径为．
 

【解析】本题考查了切线的性质，垂径定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．
根据切线的性质和圆周角定理得到，，即可得到，然后通过证得≌即可证得结论；
连接OC，则根据垂径定理得到，，根据勾股定理求得，设的半径为r，在中，，得到，解得即可．
 

23.【答案】证明：连接AC、OC，如图，


为切线，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：为直径，
，
，
，，
，
，
．
 

【解析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理．
连接AC、OC，根据切线的性质得到，则可判断，所以，然后证明，从而得到结论；
利用圆周角定理得到，则利用勾股定理可计算出，再根据等腰三角形的性质得到，然后利用面积法求出CD的长．
 

24.【答案】证明：连接OD，

，
由圆周角定理得：，
，
，
即，
过O，
直线CD与相切；

解：连接BE，

为的直径，
，
由圆周角定理得：，
，
，
，
的半径为12，
，
解得：．
 

【解析】连接OD，根据圆周角定理求出，根据平行线的性质求出，根据切线的判定得出即可；
连接BE，根据圆周角定理求出，解直角三角形求出即可．
本题考查了解直角三角形，圆周角定理，切线的判定，平行线的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
 

25.【答案】
如后一个图：即为所求作的图形，使得．
如前一个图：即为所求作的图形．
的边AN上的中线BD．
 

【解析】利用直尺即可作图；
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
本题考查了复杂作图、线段的垂直平分线，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，再逐步操作．