初中第十七章 特殊三角形综合与测试单元测试课后复习题

这是一份初中第十七章 特殊三角形综合与测试单元测试课后复习题，共17页。试卷主要包含了有下列说法，给出下列命题，图1是第七届国际数学教育大会等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年冀教新版八年级上册数学《第17章 特殊三角形》单元测试卷
一．选择题
1．如图，O是∠BAC内一点，且点O到AB，AC的距离OE＝OF，则△AEO≌△AFO的依据是（　　）

A．HL B．AAS C．SSS D．ASA
2．在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，则∠C的度数是（　　）
A．80° B．100° C．50° D．40°
3．有下列说法：①任何数的零次幂都等于1；②直角三角形中的两个锐角互余；③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；④垂直于同一条直线的两条直线平行．其中正确的有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝37°，则∠B的度数为（　　）
A．53° B．63° C．73° D．83°
5．下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（　　）
A．a＝3，b＝3，c＝4 B．a：b：c＝2：3：4
C．∠B＝50°，∠C＝80° D．∠A：∠B：∠C＝1：1：2
6．给出下列命题
①如果a、b、c为一组勾股数，那么4a、4b、4c仍是一组勾股数；
②如果直角三角形的两边长为3和4，那么另一边长的平方必是25；
③如果一个三角形的三边长是12，25，21，那么三角形必是直角三角形；
④一个等腰直角三角形的三边长分别为a、b、c，其中a是斜边长，那么a2：b2：c2＝2：1：1．
其中正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
7．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，D、E分别在BC、AC上，AD＝DE，BD＝CE，若∠ADE＝m°，则∠BAD的度数是（　　）

A．m° B．（90﹣m）° C．（90﹣m）° D．（90﹣m）°
8．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7
9．图1是第七届国际数学教育大会（ICME﹣7）的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图2所示）演化而成的．如果图2中的OA1＝A1A2＝A2A3＝…A7A8＝1，那么OA8的长为（　　）

A．2 B．3 C． D．
10．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB＝6，CE＝CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，若AE：AD＝1：2，则两个三角形重叠部分的面积为（　　）

A．6 B．9 C．12 D．14
二．填空题
11．如图，在Rt△ABC和Rt△DCB中，AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，AC与BD交于点O，则有△　 　≌△　 　，其判定依据是　 　，还有△　 　≌△　 　，其判定依据是　 　．

12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝65°，点D是BC边上任意一点，过点D作DF∥AB交AC于点E，则∠FEC的度数是 　 　．

13．一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝20°，则∠2的度数是 　 　．

14．如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝1，则BB′的长为　 　．

15．直角三角形中，一个锐角等于另一个锐角的2倍，则较小的锐角是　 　．
16．如图，AB∥CE，BF交CE于点D，DE＝DF，∠F＝30°，则∠B＝　 　．

17．已知一等腰三角形的两边长分别为2cm和5cm，则此三角形的周长为 　 　cm．
18．如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠O＝30°，当∠A＝　 　时，△AOP为等腰三角形．

19．满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．若正整数a，n满足a2+n2＝（n+1）2，这样的三个整数a，n，n+1（如：3，4，5或5，12，13）我们称它们为一组“完美勾股数”，当n＜150时，共有　 　组这样的“完美勾股数”．
20．已知 Rt△ABC的两条边长分别为3和5，则它的另一条边长为　 　．
三．解答题
21．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E．
（1）求证：BE＝DE；
（2）若∠A＝80°，∠C＝40°，求∠BDE的度数．

22．如图，△ABC中，AB＝AC，2∠A＝∠B．作∠ABC的角平分线BD，BD交边AB于D．
（1）求证：△BDC是等腰三角形．
（2）若继续作∠BDC的角平分线DC1，∠DC1C的角平分线C1C2，∠C1C2C3的角平分线C2C3，…则图中所有三角形的三个内角分别是　 　（填写三角形各个内角的度数，例如30°、60°、90°）

23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝28°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E，过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠D的度数．

24．如图，△ABC中，∠B＝∠ACB，点D、F分别在边BC、AC的延长线上，连接CE，CD平分∠ECF，
求证：AB∥CE．

25．数学课上，老师给出了如下问题：
已知：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，延长CB到点D，∠DBE＝45°，点F是边BC上一点，连接AF，作FE⊥AF，交BE于点 E．
（1）求证：∠CAF＝∠DFE；
（2）求证：AF＝EF．
经过独立思考后，老师让同学们小组交流．小辉同学说出了对于第二问的想法：“我想通过构造含有边AF和EF的全等三角形，因此我过点E作EG⊥CD于G（如图2所示），如果能证明Rt△ACF和Rt△FGE全等，问题就解决了．但是这两个三角形证不出来相等的边，好像这样作辅助线行不通．”小亮同学说：“既然这样作辅助线证不出来，再考虑有没有其他添加辅助线的方法．”请你顺着小亮同学的思路在图3中继续尝试，并完成（1）、（2）问的证明．

26．如图，已知△ABC中，AB＝BD＝DC，∠ABC＝105°，求∠A，∠C的度数．


参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：∵OE⊥AB，OF⊥AC，∴∠AEO＝∠AFO＝90°，
又∵OE＝OF，AO为公共边，∴△AEO≌△AFO．
故选：A．
2．解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠B＝40°，
∴∠C＝40°．
故选：D．
3．解：说法①，0除外的任何数的零次幂都等于1，不符合题意；
说法②，因为直角三角形一个角为直角，三角形内角和为180°，所以两锐角之和为90°，即两锐角互余，符合题意；
说法③，两直线被第三条直线所截，在两直线平行的条件下，同位角会相等，不符合题意；
说法④，在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，不符合题意．
故选：A．
4．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝37°，
则∠B＝90°﹣37°＝53°，
故选：A．
5．解：A、∵a＝3，b＝3，c＝4，
∴a＝b，
∴△ABC是等腰三角形；
B、∵a：b：c＝2：3：4
∴a≠b≠c，
∴△ABC不是等腰三角形；
C、∵∠B＝50°，∠C＝80°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝50°，
∴∠A＝∠B，
∴AC＝BC，
∴△ABC是等腰三角形；
D、∵∠A：∠B：∠C＝1：1：2，
∵∠A＝∠B，
∴AC＝BC，
∴△ABC是等腰三角形．
故选：B．
6．解：①如果a、b、c为一组勾股数，则a2，b2，c2符合勾股定理，则（4a）2＝16a2，（4b）2＝16b2，（4c）2＝16c2也符合勾股定理，即4a、4b、4c仍是一组勾股数，①正确，
②如果直角三角形的三边两边长为3和4，则另一边的长可能为：＝，且符合三角形的两边之和大于第三边，即②错误，
③122＝144，252＝625，212＝441，144+441≠625，即③错误，
④一个等腰直角三角形的三边长分别为a、b、c，其中a是斜边长，b＝c，a2＝b2+c2＝2b2，即a2：b2：c2＝2：1：1，即④正确，
故选：C．
7．解：分别过点E、D作EF⊥CD、DG⊥AB，垂直分别为F、G，

∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵EF⊥CD，DG⊥AB，
∴∠EFC＝∠DGB＝90°，
在△CEF和△BDG中

∴△CEF≌△DGB（AAS），
∴EF＝DG，
在Rt△DEF和Rt△ADG中

∴Rt△DEF≌Rt△ADG（HL），
∴∠CED＝∠ADB，∠EDC＝∠DAB，
∵AD＝ED，∠ADE＝m°，
∴∠DEA＝（）°，
∴∠ADB＝∠CED＝（180﹣）°，
∴∠BAD＝∠EDC＝180°﹣（∠ADB+∠ADE）＝180°﹣（180﹣+m）°＝（90﹣m）°．
故选：D．
8．解：如图，可以画出7个等腰三角形；


故选：D．
9．解：∵OA1＝1，
∴由勾股定理可得OA2＝＝，
OA3＝＝，
…，
∴OAn＝，
∴OA8＝＝2．
故选：A．
10．解：设AB交CD于O，连接BD，作OM⊥DE于M，ON⊥BD于N，
如图所示：

∵∠ECD＝∠ACB＝90°，
∴∠ECA＝∠DCB，
在△ECA和△DCB中，，
∴△ECA≌△DCB（SAS），
∴∠E＝∠CDB＝45°，AE＝BD，
∵∠EDC＝45°，
∴∠CDB＝∠EDC，
∵AE：AD＝1：2，
∴BD：AD＝1：2，
在Rt△ADB中，CA＝CB＝6，
∴S△ABC＝×6×6＝18，
∵OD平分∠ADB，OM⊥DE于M，ON⊥BD于N，
∴OM＝ON，
∵＝＝＝＝2，
∴S△AOC＝18×＝12；
故选：C．
二．填空题
11．解：∵在Rt△ABC和Rt△DCB中，AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，
BC是Rt△ABC和Rt△DCB的公共边，根据HL，
∴△ABC≌△DCB；
由△ABC≌△DCB（已证）得AB＝DC，
∴在△ABO 和△DCO 中，
∠A＝∠D＝90°，∠AOB＝∠DOC（对顶角），
依据是AAS可判定△ABO≌△DCO．
故答案为：ABD；DCB；HL；ABO；DCO．
12．解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝65°．
∵DF∥AB，
∴∠EDC＝∠B＝65°．
∴∠FEC＝∠C+∠EDC＝130°．
故答案为：130°．
13．解：∵AB∥CD，
∴∠3＝∠1＝20°．
∵是等腰直角三角尺，
∴∠2+∠3＝45°．
∴∠2＝25°．
故答案为：25°．

14．解：在Rt△ABC中，∠B＝30°，
∴AB＝2AC，
由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，即（AB）2+1＝AB2，
解得，AB＝，
∵图形是一个中心对称图形，A为对称中心，
∴BB′＝2AB＝，
故答案为：．
15．解：设较小的锐角为x，则较大的锐角为2x，
则x+2x＝90°，
解得，x＝30°，
故答案为：30°．
16．解：∵DE＝DF，∠F＝30°，
∴∠E＝∠F＝30°，
∴∠CDF＝∠E+∠F＝60°，
∵AB∥CE，
∴∠B＝∠CDF＝60°．
故答案为：60°．
17．解：当腰长是2cm时，因为2+2＜5，不符合三角形的三边关系，舍去；
当腰长是5cm时，因为2+5＞5，符合三角形三边关系，此时周长是2+5+5＝12（cm）．
故答案为：12．
18．解：分三种情况：
①OA＝OP时，
则∠A＝∠OPA＝（180°﹣∠O）＝（180°﹣30°）＝75°；
②AO＝AP时，
则∠APO＝∠O＝30°，
∴∠A＝180°﹣∠O﹣∠APO＝120°；
③PO＝PA时，
则∠A＝∠O＝30°；
综上所述，当∠A为75°或120°或30°时，△AOP为等腰三角形，
故答案为：75°或120°或30°．
19．解：∵n＜150，（n+1）2﹣n2＝2n+1，
149+150＝299，
大于等于9小于297的非偶数完全平方数有9，25，49，81，121，169，225，289，一共8个，
∴共有8组这样的“完美勾股数”．
故答案为：8．
20．解：5是直角边时，则第三边＝＝；
5是斜边时，则第三边＝＝4．
则第三边是或4．
故答案为：或4．
三．解答题
21．解：（1）证明：在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠CBD，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴BE＝DE．
（2）∵∠A＝80°，∠C＝40°
∴∠ABC＝60°，
∵∠ABC的平分线交AC于点D，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝30°，
由（1）知∠EDB＝∠EBD＝30°，
故∠BDE的度数为30°．
22．（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C．
∵2∠A＝∠B，
∴∠C＝2∠A．
∵∠ABC+∠C+∠A＝180°，
∴∠A＝36°，∠C＝∠ABC＝72°．
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠DBC＝36°．
∴∠BDC＝72°，
∴BD＝BC，
∴△BDC是等腰三角形．
（2）∵∠BDC＝72°，DC1平分∠BDC，
∴∠BDC1＝36°．
∵∠DBC＝36°，
∴∠BC1D＝108°．
同理可得∠DC1C2＝∠C1DC2＝36°，∠C1C2D＝108°．
∠C＝∠C1C2C＝72°，∠C1C2C＝36°．

23．解：∵∠ACB＝90°，∠A＝28°，
∴∠ABC＝62°，
∴∠CBD＝180°﹣62°＝118°，
∵BE平分∠CBD，
∴∠EBC＝∠CBD＝59°，
∴∠ABE＝62°+59°＝121°，
∵DF∥BE，
∴∠D＝∠ABE＝121°．
24．证明：∵CD平分∠ECF，
∴∠DCF＝∠DCE．
又∵∠DCF＝∠ACB，
∴∠ACB＝∠DCE．
又∵∠B＝∠ACB，
∴∠B＝∠DCE．
∴AB∥CE．
25．证明：（1）∵∠C＝90°，
∴∠CAF+∠AFC＝90°．
∵FE⊥AF，
∴∠DFE+∠AFC＝90°．
∴∠CAF＝∠DFE．
（2）如图3，在AC 上截取AG＝BF，连接FG，
∵AC＝BC，
∴AC﹣AG＝BC﹣BF，即 CG＝CF．
∵∠C＝90°，
∴∠CGF＝∠CFG＝45°．
∴∠AGF＝180°﹣∠CGF＝135°．
∵∠DBE＝45°，
∴∠FBE＝180°﹣∠DBE＝135°．
∴∠AGF＝∠FBE．
由（1）可得：∠CAF＝∠DFE．
∴△AGF≌△FBE（ASA）．
∴AF＝EF．

26．解：∵AB＝BD，
∴∠BDA＝∠A，
∵BD＝DC，
∴∠C＝∠CBD，
设∠C＝∠CBD＝x，
则∠BDA＝∠A＝2x，
∴∠ABD＝180°﹣4x，
∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝180°﹣4x+x＝105°，
解得：x＝25°，
所以2x＝50°，
即∠A＝50°，∠C＝25°．