初中数学苏科版七年级上册第2章 有理数综合与测试学案及答案

这是一份初中数学苏科版七年级上册第2章 有理数综合与测试学案及答案，共15页。学案主要包含了数轴基础知识，数轴的概念，数轴的画法，归纳数轴上的点的意义，在数轴上比较有理数，重要结论，数轴上点的移动规律，知识应用等内容，欢迎下载使用。

⒈【数轴的概念】：规定了原点，单位长度，正方向的直线叫做数轴。
2.【数轴的画法】：（1）画一条直线（一般画成水平的直线）。
（2）在直线上选取一个点为原点，并用这个点表示零（在原点下标0）。
（3）确定正方向（一般规定 向右 为正），并用箭头表示出来。
（4）选取适当的单位长度，以原点为界点，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，
依次标上1，2，3，…， 从原点向左，依次标上-1，-2，-3，…。
3.【归纳数轴上的点的意义】：一般地，设a是一个正数，则数轴上表示a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示－a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度。
【结论】：所有的有理数和无理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点表示的数不一定都是有理数。
我们规定：（1）数轴上的原点表示0；（2）数轴上原点右边的点表示正数；（3）原点左边的点表示负数
4.【在数轴上比较有理数】：利用数轴比较有理数的大小：
①数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数；②正数都大于0，负数都小于0，正数都大于负数；③两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。
【重要结论】：数轴上特殊的最大（小）数
①最小的自然数是0，无最大的自然数；
②最小的正整数是1，无最大的正整数；③最大的负整数是-1，无最小的负整
5.【数轴上点的移动规律】：根据点的移动，向左移动几个单位长度则减去几，向右移动几个单位长度则加上几，从而得到所需的点的位置。
6.【相反数，绝对值与数轴的关系】：
①一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的
②绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离
二．【知识应用】：
Eg1.【数形结合思想】：
【例1】：在数轴上距有3个单位长度的点所表示的数是
（注意：在数轴上到某个定点距离为定值的点有两个）
【例2】：a，b为两个有理数，表示在数轴上的位置如图所示，把－a，－b在数轴上表示出来，再把a，b，－a，－b，0按从大到小的顺序排列出来。
【例3】：如图所示，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距一个单位长度，点A，B，C，D对应的数分别是数a，b，c，d，且d-2a=10，那么数轴的原点应是（ ）
A.点A B.点B C.点C D.点D
【跟踪练习1】：已知数轴上有A、B两点,点A与原点的距离为2, A、B两点的距离为1,则满足条件的点B所表示的数是 。
【跟踪练习2】：如图，数轴上五点分别表示某城市一条大街上的五个公交车站点，若有一辆公交车距站点3 km，距站点0. 7 km，则这辆公交车的位置在( )
A. 站点与站点之间 B. 站点与站点之间
C. 站点与站点之间 D. 站点与站点之间
Eg2.【数轴上表示数问题】：
【例】：先化简下列各数,再分别用字母A、B、C、D、E、F在数轴上表示出来,并把原数按从小到大的顺序连接起来: -32,-,-(-2),0,-()100,-
【跟踪练习】：在数轴上表示下列各数的相反数，并用“>”连接： ，，，，
Eg3.【数轴上点的移动问题】：
【例】：如图在数轴上有点A、B、C，请回答下列问题：
⑴将A点向右移动4个单位后，3个点所表示的数谁最小？是多少？
⑵将C点向左移动6个单位后，这时B点所表示的数比C点表示的数大？
⑶怎样移动A、B、C中的2个点，才能使3个点表示的数相同？
【跟踪练习】：
如果点A表示－3，将A向右移动7个单位长度，那么终点表示的数是 ；
如果点A表示3，将A向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点表示的数是 ；
如果点B向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，终点表示的数是0，那么点B表示的数是 ；
如果点C在数轴上，将它向相反的方向移动4个单位，若新位置与原位置到原点的距离相等，那么C原来表示
的数是多少？
Eg4.【数轴与相反数问题】：
【例】：有理数a在数轴上对应的点如图所示，则a，-a，1的大小关系.
A．-a＜a＜1 B．1＜-a＜a C．1＜-a＜a D．a＜1＜-a
【跟踪练习】：如图，已知A，B，C，D四个点在一条没有标明原点的数轴上。
（1）若点A和点C表示的数互为相反数，则原点为 ；
（2）若点B和点D表示的数互为相反数，则原点为 ；
（3）若点A和点D表示的数互为相反数，则在数轴上表示出原点O的位置．
Eg5.难点1【数轴与绝对值问题】：
【例1】：.已知有理数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，且|a|＞|b|，求|a|-|a+b|-|b-a|的值．
A．2b+a B．2b-a C．a D．b
【例2】：阅读材料: 我们知道，若点在数轴上分别表示有理数两点间的距离表示为.则.所以式子的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离.
根据上述材料，解答下列问题:
(1)若，则= ;
(2)式子的最小值为 ;
(3)请说出所表示的几何意义，并求出的值.
【跟踪练习】：有理数、、在数轴上的对应点如下图所示，试化简：
Eg6.难点2：【数轴与覆盖点个数问题】：
【例】：数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度为1㎝，若在数轴上画出一条长2020㎝的线段AB，则AB盖住的整点个数是（ ）
A．2018或2019 B．2019或2020 C．2020或2021 D．无法确定
【跟踪练习】：如图，用粗线在数轴上表示了一个“范围”，这个“范围”包含所有大于1且小于2的数(数轴上1与2这两个数的点空心，表示这个范围不包含数1和2).请你在数轴上表示出一个范围，使得这个范围；
(1)包含所有大于且小于的数（画在数轴(1)上）；
(2)包含、这两个数，且只含有5个整数（画在数轴(2)上）；
(3)同时满足以下二个条件：（画在数轴(3)上）
①至少有100对互为相反数和100对互为倒数；
②有最小的正整数；
③这个范围内最大的数与最小的数表示的点的距离大于3但小于4.
Eg7.难点3【数轴与圆滚动问题】：
【例】：如图，半径为1个单位的圆片上有一点A与数轴上的原点重合，AB是圆片的直径. (注:结果保留 )

（1）把圆片沿数轴向右滚动半周，点B到达数轴上点C的位置，点C表示的数是
数（填“无理”或“有理”）， 这个数是 ；
（2）把圆片沿数轴滚动2周，点A到达数轴上点D的位置，点D表示的数是 ；
（3）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：+2，－1，+3，－4，－3 ．
①第 次滚动后，A点距离原点最近，第 次滚动后，A点距离原点最远．
②当圆片结束运动时，A点运动的路程为 ，此时点A所表示的数是 ．
Eg8.难点4【数轴与电子跳蚤问题】：
【例】：一只电子跳蚤落在数轴上的原点处，第一步向左跳1个单位长度到点，第二步由点向右跳2个单位长度到点，第三步由点向左跳3个单位长度到点，第四步由点向右跳4个单位长度到点……按以上规律继续下去.
(1)求跳了第五步后得到的点所表示的数;
(2)求跳了第100步后得到的点所表示的数;
(3)若电子跳蚤的起点不是数轴上的原点，而是点，跳跃方式不变，当跳了第100步后，得到的点所表示的数恰好是20. 07，试求电子跳蚤的起点所表示的数
【跟踪练习】：
如图，在数轴上，点表示1，现将点沿轴做如下移动，第一次点向左移动2个单位长度到达点，第二次将点，向右移动4个单位长度到达点，第三次将点向左移动6个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，如果点与原点的距离等于19，那么的值是 .
Eg9.难点5【操作题：数轴与折叠问题】：
【例】：已知在纸面上有一数轴（如图所示），折叠纸面．
操作一：
（1）折叠纸面，使数1表示的点与数﹣1表示的点重合，则此时数﹣2表示的点与数 表示的点重合；
操作二：
（2）折叠纸面，使数3表示的点与数﹣1表示的点重合，回答下列问题：
①数5表示的点与数 表示的点重合；
②若这样折叠后，数轴上有A、B两点也重合，且A、B两点之间的距离为9（A在B的左侧），则A点表示的数为 ，B点表示的数为 ．
Eg10.难点6【数轴与实际应用问题】：
【例】：.阅读材料，并回答问题.
如图，有一根木棒放置在数轴上，它的两端分别落在点处.将木棒在数轴上水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为20;当点移动到点时，点所对应的数为5(单位:cm).
由此可得，木棒长 cm.
借助上述方法解决问题:
一天，美羊羊去问村长爷爷的年龄，村长爷爷说:“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，116岁了，哈哈!”美羊羊纳闷，村长爷爷今年到底是多少岁?
请你画出示意图，求出村长爷爷和美羊羊今年的年龄，并说明解题思路.
三．【有关数轴动点问题】
【解题技巧】：数轴是数形转化、结合的重要桥梁，数轴上的动点问题离不开数轴上两点之间的距离。为了便于初一年级学生对这类问题的分析，不妨先明确以下几个问题：
（1）．数轴上两点间的距离，即为这两点所对应的坐标差的绝对值，也即用右边的数减去左边的数的差。即数轴上两点间的距离=右边点表示的数－左边点表示的数。
（2）．点在数轴上运动时，由于数轴向右的方向为正方向，因此向右运动的速度看作正速度，而向作运动的速度看作负速度。这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得到运动后点的坐标。即一个点表示的数为a，向左运动b个单位后表示的数为a－b；向右运动b个单位后所表示的数为a+b。
（3）．数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，点在数轴上运动形成的路径可看作数轴上线段的和差关系。
Eg1.重点1【数轴动点与方程问题】：
【例】：如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b, AB表示A点和B点之间的距离，
且a、b满足.
（1）求A、B两点之间的距离；
（2）若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动.设运动的时间为t（秒），
①分别表示甲、乙两小球到原点的距离（用t表示）；
②求甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间.
【跟踪练习】：已知数轴上两点A.B对应的数分别为−1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x.
(1)数轴上是否存在点P，使点P到点A.点B的距离之和为6?若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；
(2)当x为何值时，点P到点A的距离等于点P到点B的距离的2倍?
(3)当x=2时，点A以1个单位长度/秒的速度向左运动，同时点B以2个单位长度/秒向右运动，问多长时间后点P到点A，点B的距离相等?
Eg2.重点2【数轴动点与新定义问题】：
【例】：阅读理解：若A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C
是【A，B】的好点．
例如，如图1，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的好点，但点D是【B，A】的好点．
知识运用：如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣2，点N所表示的数为4．
（1）数 所表示的点是【M，N】的好点；
（2）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣20，点B所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以2个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当t为何值时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点？
【跟踪练习】：【探索新知】如图，点C在线段AB上，图中共有3条线段：AB，AC和BC，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C是线段AB的“二倍点”．
（1）一条线段的中点 这条线段的“二倍点”；（填“是”或“不是”）
【深入研究】
如图，若线段AB＝20cm，点M从点B的位置开始，以每秒2cm的速度向点A运动，当点M到达点A时停止运动，运动的时间为t秒．
（2）问t为何值时，点M是线段AB的“二倍点”；
（3）同时点N从点A的位置开始以每秒1cm的速度向点B运动，并与点M同时停止．请求出点M是线段AN的“二倍点”时t的值．
Eg3.重点3【数轴动点与线段长度问题】：
【例】：.若b是最小的正整数，且a、b满足．数轴上点A、B、C分别代表数a、b、c.
（1）a=________，b=________，c=________.
（2）在（1）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A、点B以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右运动，同时，点C以4个单位长度的速度向左运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC能等于AB吗？如能，求出此时t的值．
【跟踪练习】：如图1，已知数轴上有三点A、B、C，AB＝60，点A对应的数是40．
(1)若，求点C到原点的距离；
(2)如图2，在(1)的条件下，动点P、Q两点同时从C、A出发向右运动，同时动点R从点A向左运动，已知点P的速度是点R的速度的3倍，点Q的速度是点R的速度2倍少5个单位长度/秒．经过5秒，点P、Q之间的距离与点Q、R之间的距离相等，求动点Q的速度；
(3)如图3，在(1)的条件下，O表示原点，动点P、T分别从C、O两点同时出发向左运动，同时动点R从点A出发向右运动，点P、T、R的速度分别为5个单位长度/秒、1个单位长度/秒、2个单位长度/秒，在运动过程中，如果点M为线段PT的中点，点N为线段OR的中点．请问的值是否会发生变化？若不变，请求出相应的数值；若变化，请说明理由．