专题8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系-2022年高考数学一轮复习核心素养大揭秘学案

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【考纲要求】
1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．
3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
【命题趋势】
圆的方程、直线与圆的位置关系在高考中几乎是年年考，一般单独命题．但有时也与圆锥曲线等知识综合，重点考查函数与方程、数形结合及转化与化归思想的应用
【核心素养】
本讲内容主要考查数学运算、直观想象的核心素养.
【素养清单•基础知识】
1．直线与圆的位置关系(半径为r，圆心到直线的距离为d)
2．圆与圆的位置关系(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|)
【素养清单•常用结论】
(1)圆的切线方程常用结论
①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)直线被圆截得的弦长
弦心距d、弦长l的一半eq \f(1,2)l及圆的半径r构成一直角三角形，且有r2＝d2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)l))2.
【真题体验】
1.【2019年高考浙江卷】已知圆的圆心坐标是，半径长是.若直线与圆C相切于点，则=___________，=___________．
2.【2018年高考北京卷理数】在平面直角坐标系中，记d为点P（cs θ，sin θ）到直线的距离，当θ，m变化时，d的最大值为
A．1 B．2
C．3 D．4
3.【2018年高考全国Ⅲ卷理数】直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是
A．B．
C．D．
4.【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若，则点A的横坐标为________．
【考法拓展•题型解码】
考法一 直线与圆的位置关系
归纳总结
判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系．
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．
【例1】 (1)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
(2)已知点P(a，b)(ab≠0)是圆x2＋y2＝r2内的一点，直线m是以P为中点的弦所在的直线，直线l的方程为ax＋by＝r2，那么( )
A．m∥l，且l与圆相交 B．m⊥l，且l与圆相切
C．m∥l，且l与圆相离 D．m⊥l，且l与圆相离
考法二 弦长问题
归纳总结
弦长的两种求法
(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．
(2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2eq \r(r2－d2).
【例2】 (2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1)，当m变化时，解答下列问题：
(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
考法三 圆的切线问题
误区防范
求圆的切线方程应注意的问题
求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意斜率不存在的切线．
【例3】 已知点P(eq \r(2)＋1,2－eq \r(2))，点M(3,1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1)求过点P的圆C的切线方程；
(2)求过点M的圆C的切线方程．
考法四 圆与圆的位置关系
归纳总结
(1)判断两圆的位置关系多用几何法，即用两圆圆心距与半径和或差的关系判断，一般不采用代数法．
(2)求两圆公共弦长的方法是在其中一圆中，由弦心距d，半弦长eq \f(l,2)，半径r所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．
【例4】 已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.
(1)m取何值时两圆外切？
(2)m取何值时两圆内切？
(3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
【易错警示】
易错点 忽略题目中的隐含条件
【典例】 曲线y＝1＋eq \r(4－x2)与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(5,12))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,12)，＋∞))
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(3,4))) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5,12)，\f(3,4)))
【错解】：由y＝1＋eq \r(4－x2)得x2＋(y－1)2＝4，表示以(0,1)为圆心，2为半径的圆．而直线y＝k(x－2)＋4恒过点(2,4)．由直线y＝k(x－2)＋4与圆x2＋(y－1)2＝4相交，得圆心到直线的距离eq \f(|3－2k|,\r(1＋k2))＜2，解得k＞eq \f(5,12).故选B.
【错因分析】：错解中由y＝1＋eq \r(4－x2)得x2＋(y－1)2＝4时，忽视了y的范围，错把曲线当成整个圆．
【正解答案】D
【正解】：由y＝1＋eq \r(4－x2)得x2＋(y－1)2＝4(y≥1)．如图所示为半圆．
而直线y＝k(x－2)＋4恒过点(2,4)．设A(－2,1)，B(2,1)，P(2,4)．所以当斜率k满足kPM＜k≤kPA时满足题意，而MP的斜率满足eq \f(|3－2k|,\r(1＋k2))＝2，解得k＝eq \f(5,12)，kPA＝eq \f(4－1,2－－2)＝eq \f(3,4).所以eq \f(5,12)＜k≤eq \f(3,4).
【跟踪训练】 过点(eq \r(2)，0)引直线l与曲线y＝eq \r(1－x2)相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于__________．
【递进题组】
1．经过点M(2,1)作圆x2＋y2＝5的切线，则切线方程为( )
A.eq \r(2)x＋y－5＝0 B.eq \r(2)x＋y＋5＝0
C．2x＋y－5＝0 D．2x＋y＋5＝0
2．(2018·全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是( )
A．[2,6] B．[4,8]
C．[eq \r(2) ,3eq \r(2)] D．[2eq \r(2)，3eq \r(2)]
3．若直线x－y＝2被圆(x－1)2＋(y＋a)2＝4所截得的弦长为2eq \r(2)，则实数a的值为 ( )
A．－2或6 B．0或4
C．－1或eq \r(3) D．－1或3
4．(2018·全国卷Ⅰ)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝__________.
5．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦长为2eq \r(3)，则a＝__________.
【考卷送检】
一、选择题
1．若圆x2＋y2＝16和圆(x－a)2＋y2＝1相切，则a的值为( )
A．±3 B．±5
C．±3或±5 D．3或5
2．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
3．已知直线l：y＝kx＋2(k∈R)，圆M：(x－1)2＋y2＝6，圆N：x2＋(y＋1)2＝9，则直线l( )
A．必与圆M相切，不可能与圆N相交
B．必与圆M相交，不可能与圆N相切
C．必与圆M相切，不可能与圆N相切
D．必与圆M相交，不可能与圆N相离
4．(2019·鄂南高中期中)已知圆C与直线y＝x及x－y－4＝0都相切，圆心在直线y＝－x上，则圆C的方程为( )
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2
D．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
5．若直线l：y＝kx＋1被圆C：x2＋y2－2x－3＝0截得的弦最短，则直线l的方程是( )
A．x＝0 B．y＝1
C．x＋y－1＝0 D．x－y＋1＝0
6．圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )
A．5eq \r(2)－4 B.eq \r(17)－1
C．6－2eq \r(2) D.eq \r(17)
二、填空题
7．若直线y＝kx与圆x2＋y2－4x＋3＝0相切，则k的值是________．
8．已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0与圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，若圆C1与圆C2相外切，则实数m＝________.
9．(2018·全国卷Ⅲ改编)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是________．
三、解答题
10．已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，分别求满足下列条件的圆的切线方程．
(1)与直线l1：x＋y－4＝0平行；
(2)与直线l2：x－2y＋4＝0垂直；
(3)过切点A(4，－1)．
11．(2019·湖北稳派教育联考)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，且y轴和直线x－eq \r(3)y＋2＝0均与圆C相切．
(1)求圆C的标准方程；
(2)设点P(0,1)，若直线y＝x＋m与圆C相交于M，N两点，且∠MPN为锐角，求实数m的取值范围．
12．(2019·唐山调考)在△OAB中，已知O(0,0)，A(8,0)，B(0,6)，△OAB的内切圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4，P是圆上一点．
(1)求点P到直线l：4x＋3y＋11＝0的距离的最大值和最小值；
(2)若S＝|PO|2＋|PA|2＋|PB|2，求S的最大值和最小值．
13．(2019·南昌二中月考)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m,0)(m＞0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为( )
A．7 B．6
C．5 D．4
相离
相切
相交
图形
量化
方程观点
Δ＜0
Δ＝0
Δ＞0
几何观点
d＞r
d＝r
d＜r
相离
外切
相交
内切
内含
图形
量的关系
d＞r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2|＜d＜r1＋r2
d＝|r1－r2|
d＜|r1－r2|