新教材高考数学一轮复习第8章平面解析几何第4节直线与圆圆与圆的位置关系学案含解析

第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系

一、教材概念·结论·性质重现

1．直线与圆的位置关系的判断

(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系进行判断．

d<r⇔相交；d＝r⇔相切；d>r⇔相离．

(2)代数法：联立直线与圆的方程，求联立后所得方程的判别式Δ，

2．圆与圆的位置关系

设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，

圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0)．

3．常用结论

(1)当两圆相交(切)时，两圆方程(x2，y2项的系数相同)相减便可得公共弦(公切线)所在的直线方程．

(2)圆的切线方程常用结论

过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.

二、基本技能·思想·活动体验

1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．

(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件． (×)

(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切． (×)

(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交． (×)

(4)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程． (×)

(5)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切． (√)

2．已知直线y＝mx与圆x2＋y2－4x＋2＝0相切，则m的值为(　　)

A．±  B．±  C．±  D．±1

D　解析：由x2＋y2－4x＋2＝0得圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝2，所以该圆的圆心坐标为(2,0)，半径r＝.又直线y＝mx与圆x2＋y2－4x＋2＝0相切，则圆心到直线的距离d＝＝，解得m＝±1.

3．若过点A(3,0)的直线l与曲线(x－1)2＋y2＝1有公共点，则直线l斜率的取值范围为(　　)

A．(－，)   B．[－，]

C．   D．

D　解析：数形结合可知，直线l的斜率存在．设直线l的方程为y＝k(x－3)，则圆心(1,0)与直线y＝k(x－3)的距离应小于等于半径1，即≤1，解得－≤k≤.

4．若直线l：3x－y－6＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B两点，则|AB|＝________.

　解析：由x2＋y2－2x－4y＝0得(x－1)2＋(y－2)2＝5，所以该圆的圆心坐标为(1,2)，半径r＝.又圆心(1,2)到直线3x－y－6＝0的距离为d＝＝.由＝r2－d2，得|AB|2＝10，即|AB|＝.

5．圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为________．

2　解析：由得两圆公共弦所在直线方程为x－y＋2＝0.又圆x2＋y2＝4的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为＝.由勾股定理得弦长的一半为＝，所以，所求弦长为2.

考点1　直线和圆的位置关系——基础性

1．直线x－y＋2＝0与圆x2＋(y－1)2＝4的位置关系是(　　)

A．相交  B．相切  C．相离  D．不确定

A　解析：由题意，可得圆心(0,1)到直线x－y＋2＝0的距离为d＝＝<2，所以直线与圆相交．

2．(2020·泰安市高三三模)已知抛物线C：x2＝4y的准线恰好与圆M：(x－3)2＋(y－4)2＝r2(r>0)相切，则r＝(　　)

A．3  B．4  C．5  D．6

C　解析：抛物线C：x2＝4y的准线方程为y＝－1，圆M：(x－3)2＋(y－4)2＝r2(r>0)的圆心为(3,4)．因为准线恰好与圆M相切，所以圆心到准线的距离为r＝|4＋1|＝5.

3．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是(　　)

A．[－3，－1]   B．[－1,3]

C．[－3,1]   D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)

C　解析：由题意得圆心为(a,0)，半径为，圆心到直线的距离为d＝.

由直线与圆有公共点可得≤，

即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.

所以实数a的取值范围是[－3,1]．

考点2　圆与圆的位置关系——综合性

(1)圆C1：x2＋y2－2y＝0与C2：x2＋y2－2x－6＝0的位置关系为(　　)

A．外离  B．外切  C．相交  D．内切

D　解析：圆C1：x2＋y2－2y＝0的圆心为C1(0,1)，半径为r1＝1.

圆C2：x2＋y2－2x－6＝0的圆心为C2(，0)，半径为r2＝3，

所以|C1C2|＝＝2.

又r2－r1＝2，所以|C1C2|＝r2－r1＝2，所以圆C1与C2内切．

(2)已知圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0，圆C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0.

①求证：圆C1和圆C2相交；

②求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．

①证明：由题意得，圆C1化为标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝11，圆C2化为标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝16，则圆C1的圆心C1(1,3)，半径r1＝，圆C2的圆心C2(5,6)，半径r2＝4.

两圆圆心距d＝|C1C2|＝5，r1＋r2＝＋4.

因为|r1－r2|＝4－，所以|r1－r2|<d<r1＋r2，所以圆C1和C2相交．

②解：将圆C1和圆C2的方程相减，

得4x＋3y－23＝0，

所以两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0.

圆心C2(5,6)到直线4x＋3y－23＝0的距离d＝＝3，

故公共弦长为2＝2.

1．若圆x2＋y2＋4x－4y－1＝0与圆x2＋y2＋2x－13＝0相交于P，Q两点，则直线PQ的方程为________．

x－2y＋6＝0　解析：两个圆的方程两端相减，可得2x－4y＋12＝0，即x－2y＋6＝0.

2．如果圆C：x2＋y2－2ax－2ay＋2a2－4＝0与圆O：x2＋y2＝4总相交，那么实数a的取值范围是________________．

(－2，0)∪(0,2)　解析：圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝4，圆心坐标为(a，a)，半径为2.依题意得0<<2＋2，所以0<|a|<2.所以a∈(－2，0)∪(0,2)．

考点3　直线与圆的综合问题——综合性

考向1　圆的弦长问题

(1)(2020·荆州三模)已知直线l过点(2，－1)，则“直线l的斜率为”是“直线l被圆C：(x－1)2＋(y＋3)2＝4截得的弦长为2”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

A　解析：直线l被圆C：(x－1)2＋(y＋3)2＝4截得的弦长为2⇔圆心(1，－3)到直线l的距离为1.当直线斜率不存在时，显然符合要求；

当直线斜率存在时，设斜率为k，则l：kx－y－2k－1＝0，

由＝1得(k－2)2＝k2＋1，解得k＝，

因此直线l被圆C：(x－1)2＋(y＋3)2＝4截得的弦长为2⇔k＝或斜率不存在．故选A．

(2)直线x＋y＋2＝0分别与x轴、y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是(　　)

A．[2,6]   B．[4,8]

C．[,3]   D．[2,3]

A　解析：圆心(2,0)到直线的距离d＝＝2，所以点P到直线的距离d1∈[，3]．根据直线的方程可知A，B两点的坐标分别为(－2,0)，(0，－2)，所以|AB|＝2，所以△ABP的面积S＝|AB|d1＝d1.因为d1∈[，3]，所以S∈[2,6]，即△ABP面积的取值范围是[2,6]．

考向2　圆的切线问题

过点P(1，－2)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为(　　)

A．y＝－  B．y＝－  C．y＝－  D．y＝－

B　解析：圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为C(1,0)，半径为1，以|PC|＝＝2为直径的圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1.将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y＋1＝0，即y＝－.

1．(2020·洛阳市高三三模)已知圆C：(x－a)2＋y2＝4(a≥2)与直线x－y＋2－2＝0相切，则圆C与直线x－y－4＝0相交所得弦长为(　　)

A．1  B．  C．2  D．2

D　解析：圆心到直线x－y＋2－2＝0的距离d1＝.

因为圆C：(x－a)2＋y2＝4(a≥2)与直线x－y＋2－2＝0相切，

所以d1＝＝r＝2，解得a＝2或a＝2－4.

因为a≥2，所以a＝2.

所以(x－2)2＋y2＝4.

所以圆心到直线x－y－4＝0的距离为d2＝＝，

所以圆C与直线x－y－4＝0相交所得弦长为l＝2＝2.故选D．

2．(2020·长春市高三三模)已知圆E的圆心在y轴上，且与圆x2＋y2－2x＝0的公共弦所在直线的方程为x－y＝0，则圆E的方程为(　　)

A．x2＋(y－)2＝2   B．x2＋(y＋)2＝2

C．x2＋(y－)2＝3   D．x2＋(y＋)2＝3

C　解析：两圆圆心连线与公共弦垂直，不妨设所求圆心的坐标为(0，a)，半径为r.

又圆x2＋y2－2x＝0的圆心为(1,0)，半径为1，

故×＝－1，解得a＝.

故所求圆心为(0，)．

点(1,0)到直线x－y＝0的距离为＝，所以直线x－y＝0截得x2＋y2－2x＝0所成弦长为2＝，

圆心(0，)到直线x－y＝0的距离为，

所以直线x－y＝0截圆所得弦长为2＝，解得r＝.

故圆心坐标为(0，)，半径为.故选C．

3．已知过点P(2,2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线x－ay＋1＝0平行，则a＝________.

－2　解析：因为点P在圆(x－1)2＋y2＝5上，所以过点P(2,2)与圆(x－1)2＋y2＝5相切的切线方程的斜率为－，所以切线方程为y－2＝－(x－2)，即x＋2y－6＝0.由直线x＋2y－6＝0与直线x－ay＋1＝0平行，得－a＝2，即a＝－2.

4．过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．

2　解析：设P(3,1)，圆心C(2,2)，则|PC|＝，半径r＝2.由题意，知最短的弦过点P(3,1)，且与PC垂直，所以最短弦长为2＝2.

已知圆C的圆心在直线x＋y＝0上，圆C与直线x－y＝0相切，且在直线x－y－3＝0上截得的弦长为，求圆C的方程．

[四字程序]

思路参考：根据圆心在直线上，设出圆心．由圆与直线相切，表示出半径，结合弦长求出圆的方程．

解：因为所求圆的圆心在直线x＋y＝0上，

所以设所求圆的圆心为(a，－a)．

又因为所求圆与直线x－y＝0相切，

所以半径r＝＝|a|.

又所求圆在直线x－y－3＝0上截得的弦长为，

圆心(a，－a)到直线x－y－3＝0的距离d＝，

所以d2＋＝r2，即＋＝2a2.

解得a＝1.

所以圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.

思路参考：设出圆的标准方程．利用圆心到直线的距离公式表示出半径，结合弦长求出圆的方程．

解：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，则圆心(a，b)到直线x－y－3＝0的距离d＝，所以r2＝＋，即2r2＝(a－b－3)2＋3.①

因为所求圆与直线x－y＝0相切，

所以(a－b)2＝2r2.②

又因为圆心在直线x＋y＝0上，所以a＋b＝0.③

联立①②③，解得

故圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.

思路参考：设出圆的一般方程，用待定系数法求解．

解：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

则圆心为，半径r＝.

因为圆心在直线x＋y＝0上，

所以－－＝0，即D＋E＝0.①

又因为圆C与直线x－y＝0相切，

所以＝.

即(D－E)2＝2(D2＋E2－4F)，

所以D2＋E2＋2DE－8F＝0.②

又知圆心到直线x－y－3＝0的距离d＝，

由已知得d2＋＝r2，

所以(D－E＋6)2＋12＝2(D2＋E2－4F)．③

联立①②③，解得

故所求圆的方程为x2＋y2－2x＋2y＝0，

即(x－1)2＋(y＋1)2＝2.

1．本题考查圆的方程的求法，解法灵活多变，基本解题策略是设出圆的方程，借助于待定系数法求解．

2．基于课程标准，解答本题需要掌握圆的标准方程和一般方程的一般形式，体现了数学运算、直观想象的核心素养．

3．基于高考评价体系，本题通过圆的代数性质和几何性质之间相互联系和转化，体现了基础性．

已知圆C的圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)，则圆C的方程为______________．

(x－1)2＋(y＋4)2＝8　解析：(方法一)如图，设圆心(x0，－4x0)．依题意得＝1，

解得x0＝1，即圆心坐标为(1，－4)，半径r＝2，故圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.

(方法二)设所求方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2.

根据已知条件得

解得

因此所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.