新教材2022版高考人教A版数学一轮复习学案：5.1　平面向量的概念及线性运算

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必备知识预案自诊
知识梳理
1.平面向量的有关概念
2.平面向量的线性运算
续 表
3.向量共线定理
(1)向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使 .
注:限定a≠0的目的是保证实数λ的存在性和唯一性.
(2)变形形式:已知直线l上三点A,B,P,O为直线l外任一点,有且只有一个实数λ,使得OP=(1-λ)OA+λOB.
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)向量与有向线段是一样的,因此可以用有向线段表示向量.( )
(2)AB+BC+CD=AD.( )
(3)若两个向量共线,则其方向必定相同或相反.( )
(4)若向量AB与向量CD是共线向量,则A,B,C,D四点在一条直线上.( )
(5)若a∥b,b∥c,则a∥c.( )
2.(2020河南开封模拟)AB+BC-AD=( )
A.CD
B.CB
C.AD
D.DC
3.(多选)(2020山东郓城第一中学高三模拟)若点G是△ABC的重心,BC边的中点为D,则下列结论正确的是( )
A.G是△ABC的三条中线的交点
B.GA+GB+GC=0
C.AG=2GD
D.AG=GD
4.(2020山东菏泽调研)设a与b是两个不共线向量,且向量a+λb与-(b-2a)共线,则λ= .
5.(2020全国1,理14)设a,b为单位向量,且|a+b|=1,则|a-b|= .
关键能力学案突破
【例1】给出下列四个说法:
①若|a|=|b|,则a=b;
②若A,B,C,D是不共线的四点,则“AB=DC”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件;
③若a=b,b=c,则a=c;
④a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b.
其中正确说法的序号是( )

A.②③B.①②C.③④D.②④
解题心得平面向量有关概念的关键点
(1)平面向量定义的关键是方向和大小.
(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反,长度没有限制.
(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等.
(4)单位向量的关键是长度都是1个单位长度.
(5)零向量的关键是长度是0,规定零向量与任意向量共线.
对点训练1设a,b都是非零向量,下列四个条件中,一定能使a|a|+b|b|=0成立的是( )
A.a=2bB.a∥b
C.a=-13bD.a⊥b
【例2】(1)在△ABC中,BD=13BC,若AB=a,AC=b,则AD=( )
A.23a+13bB.13a+23b
C.13a-23bD.23a-13b
(2)如图,在平行四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,E为线段AO的中点.若BE=λBA+μBD(λ,μ∈R),则λ+μ等于( )
A.1B.34C.23D.12
解题心得平面向量的线性运算的求解策略
(1)进行向量运算时,要尽可能转化到平行四边形或三角形中,选用从同一顶点出发的向量或首尾相接的向量,运用向量加法、减法运算及数乘运算来求解.
(2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外,有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质,把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.
对点训练2(1)在△ABC中,点O在线段BC的延长线上,且|BO|=3|CO|,当AO=xAB+yAC时,x-y=( )
A.-2B.-3
C.2D.3
(2)如图所示,在正方形ABCD中,E为AB的中点,F为CE的中点,则AF=( )
A.34AB+14ADB.14AB+34AD
C.12AB+ADD.34AB+12AD
【例3】设两个非零向量a与b不共线.
(1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),求证:A,B,D三点共线;
(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.
变式发散1若将本例(1)中“BC=2a+8b”改为“BC=a+mb”,则当m为何值时,A,B,D三点共线?
变式发散2若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”,则k为何值?
解题心得
[提醒]证明三点共线时,需说明共线的两向量有公共点.
使用向量共线定理的大前提是至少有一个向量是非零向量.
对点训练3(1)在四边形ABCD中,AB=a+2b,BC=-4a-b,CD=-5a-3b,则四边形ABCD的形状是( )
A.矩形B.平行四边形
C.梯形D.菱形
(2)已知O为△ABC内一点,且AO=12(OB+OC),AD=tAC,若B,O,D三点共线,则t=( )
A.14B.13C.12D.23
第五章 平面向量、复数
5.1 平面向量的概念及线性运算
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.大小 方向 长度 模 0 1个单位长度
相同 相反 方向相同或相反 平行 相等 相同 相等 相反
2.b+a a+(b+c) |λ||a| 相同 相反
(λμ)a λa+μa λa+λb
3.(1)b=λa
考点自诊
1.(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)×
2.D AB+BC-AD=AC-AD=DC,故选D.
3.ABC 对于A,△ABC三条中线的交点就是重心,故A正确;对于B,根据平行四边形法则可知GB+GC=2GD,因为点G是△ABC的重心,所以GA=-2GD,所以GA+GB+GC=0,故B正确;
对于C,因为点G是△ABC的重心,所以AG=2GD,所以AG=2GD,故C正确,D错误.故选ABC.
4.-12 依题意知向量a+λb与2a-b共线,设a+λb=k(2a-b),则有(1-2k)a+(k+λ)b=0,所以1-2k=0,k+λ=0,解得k=12,λ=-12.
5.3 ∵|a+b|2=(a+b)2=|a|2+|b|2+2a·b=1+1+2a·b=1,
∴a·b=-12,
∴|a-b|2=(a-b)2=|a|2+|b|2-2a·b=3,∴|a-b|=3.
关键能力·学案突破
例1A ①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同.
②正确.∵AB=DC,∴|AB|=|DC|,AB∥DC且AB,DC方向相同,又A,B,C,D是不共线的四点,∴四边形ABCD为平行四边形;
反之,若四边形ABCD为平行四边形,则|AB|=|DC|,AB∥DC且AB,DC方向相同,因此AB=DC.
③正确.∵a=b,∴a,b的长度相等且方向相同,又b=c,∴b,c的长度相等且方向相同,∴a,c的长度相等且方向相同,故a=c.
④不正确.当a∥b且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b,故|a|=|b|且a∥b不是a=b的充要条件,而是必要不充分条件.
综上所述,正确说法的序号是②③.
对点训练1C 由a,b都是非零向量及a|a|+b|b|=0,得a|a|=-b|b|≠0,即a=-b|b|·|a|≠0,则a与b方向相反,因此当向量a与向量b方向相反时,能使a|a|+b|b|=0成立.对照各个选项可知,选项A中a与b的方向相同;选项B中a与b方向相同或相反;选项C中a与b的方向相反;选项D中a与b互相垂直.
例2(1)A (2)B (1)∵AB=a,AC=b,
BD=13BC,∴AD-AB=13(AC-AB),∴AD=23AB+13AC=23a+13b.故选A.
(2)∵E为线段AO的中点,
∴BE=12BA+12BO=12BA+12×12BD=12BA+14BD=λBA+μBD,∴λ+μ=12+14=34.故选B.
对点训练2(1)A (2)D (1)如图.
∵|BO|=3|CO|,
∴BO=3CO.
∴BO=32BC=32(AC-AB).
∴AO=AB+BO=AB+32(AC-AB)=-12AB+32AC.又AO=xAB+yAC,∴x=-12,y=32.
∴x-y=-2,故选A.
(2)根据题意得AF=12(AC+AE),又因为AC=AB+AD,AE=12AB,
所以AF=12AB+AD+12AB=34AB+12AD.故选D.
例3(1)证明∵AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),
∴BD=BC+CD=2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5AB,
∴AB,BD共线,又它们有公共点B,
∴A,B,D三点共线.
(2)解∵ka+b与a+kb共线,
∴存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb),即(k-λ)a=(λk-1)b.
又a,b是两个不共线的非零向量,
∴k-λ=0,λk-1=0.∴k2-1=0.∴k=±1.
变式发散1解BD=BC+CD=(a+mb)+3(a-b)=4a+(m-3)b,
若A,B,D三点共线,则存在实数λ,使BD=λAB,即4a+(m-3)b=λ(a+b),
∴4=λ,m-3=λ,解得m=7.
故当m=7时,A,B,D三点共线.
变式发散2解因为ka+b与a+kb反向共线,所以存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb)(λ