专题4.1 平面向量的概念及其线性运算-2022年高考数学一轮复习核心素养大揭秘学案

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【考纲要求】
1. 了解向量的实际背景．
2．理解平面向量的概念和两个向量相等的含义．
3．理解向量的几何表示．
4．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．
5．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．
6．了解向量线性运算的性质及其几何意义.
【命题趋势】
平面向量的线性运算及其几何意义是高考的重点，主要以三角形或四边形为载体，考查向量的有关概念及简单运算
【核心素养】
本讲内容主要考查直观想象、数学抽象、数学运算的核心素养。
【素养清单•基础知识】
1．向量的有关概念
(1)向量的定义及表示：既有大小又有方向的量叫做向量．以A为起点、B为终点的向量记作eq \(AB,\s\up7(―→))，也可用黑体的单个小写字母a，b，c，…来表示向量．
(2)向量的长度(模)：向量eq \(AB,\s\up7(―→))的大小即向量eq \(AB,\s\up7(―→))的长度(模)，记为|eq \(AB,\s\up7(―→))|.
2．几种特殊向量
单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；与向量a平行的单位向量有两个，即向量eq \f(a,|a|)和－eq \f(a,|a|).
3．向量的线性运算
注：向量加法的多边形法则
多个向量相加，利用三角形法则，应首尾顺次连接，a＋b＋c表示从始点指向终点的向量，只关心始点、终点.
4．共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.
只有a≠0才保证实数λ的存在性和唯一性.
【素养清单•常用结论】
(1)若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则eq \(OP,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(OB,\s\up7(―→)))．
(2)eq \(OA,\s\up7(―→))＝λeq \(OB,\s\up7(―→))＋μeq \(OC,\s\up7(―→)) (λ，μ为实数)，若点A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.
【真题体验】
1.【2018年高考全国I卷理数】在中，为边上的中线，为的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
2.【2017年高考全国III卷理数】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若，则的最大值为（ ）
A．3 B．2
C． D．2
3．设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
4．点D是△ABC的边AB上的中点，则向量eq \(CD,\s\up7(→))＝( )
A．－eq \(BC,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up7(→)) B．－eq \(BC,\s\up7(→))－eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up7(→))
C．eq \(BC,\s\up7(→))－eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up7(→)) D．eq \(BC,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up7(→))
5．化简eq \(OP,\s\up7(→))－eq \(QP,\s\up7(→))＋eq \(MS,\s\up7(→))－eq \(MQ,\s\up7(→))的结果为__________．
6．已知a与－b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ的值为__________．
【考法拓展•题型解码】
考法一 平面向量的概念
误区防范：平面向量概念中的几点注意
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．
(2)共线向量即平行向量，它们均与起点无关．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象平移混为一谈．
(4)eq \f(a,|a|)是与非零向量a同方向的单位向量．
【例1】 (1)给出下列命题：
①若|a|＝|b|，则a＝b；
②若A，B，C，D是不共线的四点，则eq \(AB,\s\up7(→))＝eq \(DC,\s\up7(→))是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；
③若a＝b，b＝c，则a＝c；
④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.
其中正确命题的序号是( )
A．②③ B．①②
C．③④ D．①④
(2)给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；
②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；
③λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；
④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
其中错误命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
考法二 平面向量的线性运算
归纳总结：平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略
(1)向量加法或减法的几何意义，向量加法和减法均适合三角形法则．
(2)求已知向量的和，一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．
(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值．
注意：应用初中平面几何的知识如平行线分线段成比例定理、相似三角形的性质等，可以简化运算．
【例2】 (1)如图，正六边形ABCDEF中，eq \(BA,\s\up7(→))＋eq \(CD,\s\up7(→))＋eq \(EF,\s\up7(→))＝( )
A．0 B．eq \(BE,\s\up7(→))
C．eq \(AD,\s\up7(→)) D．eq \(CF,\s\up7(→))
(2)(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则eq \(EB,\s\up7(→))＝( )
A．eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up7(→))－eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up7(→)) B．eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up7(→))－eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up7(→))
C．eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up7(→)) D．eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up7(→))
(3)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝eq \f(1,2)AB，BE＝eq \f(2,3)BC．若eq \(DE,\s\up7(→))＝λ1eq \(AB,\s\up7(→))＋λ2eq \(AC,\s\up7(→))(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为__________．
考法三 平面向量共线定理的应用
归纳总结
(1)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．
(2)向量a，b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立；若λ1a＋λ2b＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a，b不一定共线．
(3)利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)，可求参数的值．
【例3】 如图所示，在△ABC中，eq \(AN,\s\up7(→))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up7(→))，P是BN上的一点，若eq \(AP,\s\up7(→))＝meq \(AB,\s\up7(→))＋eq \f(2,11)eq \(AC,\s\up7(→))，则实数m的值为( )
A．eq \f(9,11) B．eq \f(5,11)
C．eq \f(3,11) D．eq \f(2,11)
【例4】 设两个非零向量a和b不共线．
(1)如果eq \(AB,\s\up7(→))＝a＋b，eq \(BC,\s\up7(→))＝2a＋8b，eq \(CD,\s\up7(→))＝3(a－b)．求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
【易错警示】
易错点 对向量的线性运算和几何意义理解不透而出错
【典例】 在△ABC中，P为BC的中点，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ceq \(AC,\s\up7(→))＋aeq \(PA,\s\up7(→))＋beq \(PB,\s\up7(→))＝0，则△ABC的形状为__________．
【错解】：由ceq \(AC,\s\up7(→))＋aeq \(PA,\s\up7(→))＋beq \(PB,\s\up7(→))＝0得ceq \(AC,\s\up7(→))－eq \f(a,2)(eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→)))＋eq \f(1,2)b(eq \(AB,\s\up7(→))－eq \(AC,\s\up7(→)))＝0，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c－\f(a,2)－\f(b,2)))eq \(AC,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)(b－a)eq \(AB,\s\up7(→))＝0，所以c＝eq \f(a＋b,2)或b＝a时成立．
故三角形ABC为等腰三角形．
【错因分析】：本题解答过程中，由于对向量线性运算法则、几何意义的理解不准确，得出错误的c＝eq \f(a＋b,2)或b＝a的关系和结论．
【正解答案】： 等边三角形
【正解】：因为ceq \(AC,\s\up7(→))－eq \f(1,2)a(eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→)))＋eq \f(1,2)b(eq \(AB,\s\up7(→))－eq \(AC,\s\up7(→)))＝0，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c－\f(a＋b,2)))eq \(AC,\s\up7(→))－eq \f(a－b,2)eq \(AB,\s\up7(→))＝0，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c－\f(a＋b,2)))eq \(AC,\s\up7(→))＝eq \f(a－b,2)eq \(AB,\s\up7(→))，又eq \(AB,\s\up7(→))，eq \(AC,\s\up7(→))不共线，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a－b,2)＝0，,c－\f(a＋b,2)＝0，))所以a＝b＝c，△ABC为等边三角形．
【跟踪训练】 已知O是面积为4的△ABC内部一点，且有eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(OB,\s\up7(→))＋2eq \(OC,\s\up7(→))＝0，则△AOC的面积为__________．
【递进题组】
1．下列命题中正确的是( )
A．a与b共线，b与c共线，则a与c也共线
B．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点
C．向量a与b不共线，则a与b都是非零向量
D．有相同起点的两个非零向量不平行
2．在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，点E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若eq \(AC,\s\up7(→))＝a，eq \(BD,\s\up7(→))＝b，则eq \(AF,\s\up7(→))＝( )
A．eq \f(1,4)a＋eq \f(1,2)b B．eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b
C．eq \f(1,2)a＋eq \f(1,4)b D．eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b
3．(2019·嘉兴调研)已知点O为△ABC的外接圆的圆心，且eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(OB,\s\up7(→))＋eq \(CO,\s\up7(→))＝0，则△ABC的内角A等于( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
4．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且eq \(BC,\s\up7(→))＝3eq \(CD,\s\up7(→))，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若eq \(AO,\s\up7(→))＝xeq \(AB,\s\up7(→))＋(1－x)·eq \(AC,\s\up7(→))，则x的取值范围是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3)))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0)) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，0))
5．设两个非零向量e1和e2不共线．
(1)如果eq \(AB,\s\up7(→))＝e1－e2，eq \(BC,\s\up7(→))＝3e1＋2e2，eq \(CD,\s\up7(→))＝－8e1－2e2，求证：A，C，D三点共线；
(2)如果eq \(AB,\s\up7(→))＝e1＋e2，eq \(BC,\s\up7(→))＝2e1－3e2，eq \(AF,\s\up7(→))＝3e1－ke2，且A，C，F三点共线，求k的值．
【考卷送检】
一、选择题
1．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量eq \(AB,\s\up7(→))与eq \(BA,\s\up7(→))相等．则所有正确命题的序号是( )
A．① B．③
C．①③ D．①②
2．已知a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是( )
A．a＋b＝0 B．a＝b
C．a与b共线反向 D．存在正实数λ，使a＝λb
3．如图所示，在△ABC中，若eq \(BC,\s\up7(→))＝3eq \(DC,\s\up7(→))，则eq \(AD,\s\up7(→))＝( )
A．eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up7(→)) B．eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up7(→))－eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up7(→))
C．eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up7(→)) D．eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up7(→))－eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up7(→))
4．在四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up7(→))＝a＋2b，eq \(BC,\s\up7(→))＝－4a－b，eq \(CD,\s\up7(→))＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是( )
A．矩形 B．平行四边形
C．梯形 D．以上都不对
5．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点O，若eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(OB,\s\up7(→))＋eq \(OC,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))，则点O与△ABC的位置关系是( )
A．点O在AC边上
B．点O在AB边上或其延长线上
C．点O在△ABC外部
D．点O在△ABC内部
6．已知O是△ABC所在平面外一点且满足eq \(OP,\s\up7(→))＝eq \(OA,\s\up7(→))＋λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up7(→)),|\(AB,\s\up7(→))|)＋\f(\(AC,\s\up7(→)),|\(AC,\s\up7(→))|)))，λ为实数，则动点P的轨迹必须经过△ABC的( )
A．重心 B．内心
C．外心 D．垂心
二、填空题
7．给出下列说法：
①若两个单位向量的起点相同，则终点也相同；
②若a与b同向，且|a|＞|b|，则a＞b；
③0·a＝0.
其中说法错误的序号是________．
8．(2019·鄂州二中阶段测试)如图所示，在△ABO中，eq \(OC,\s\up7(→))＝eq \f(1,4)eq \(OA,\s\up7(→))，eq \(OD,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up7(→))，AD与BC相交于M，设eq \(OA,\s\up7(→))＝a，eq \(OB,\s\up7(→))＝b.则用a和b表示向量eq \(OM,\s\up7(→))＝________.
9．已知D为△ABC的边AB的中点，M在边DC上且满足5eq \(AM,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))＋3eq \(AC,\s\up7(→))，则△ABM与△ABC的面积比为________．
三、解答题
10．如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，eq \(AE,\s\up7(→))＝eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up7(→))，eq \(AB,\s\up7(→))＝a，eq \(AC,\s\up7(→))＝b.
(1)用a，b表示向量eq \(AD,\s\up7(→))，eq \(AE,\s\up7(→))，eq \(AF,\s\up7(→))，eq \(BE,\s\up7(→))，eq \(BF,\s\up7(→))；
(2)求证：B，E，F三点共线．
11．已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1，e2不共线，向量c＝2e1－9e2，是否存在实数λ，μ，使向量d＝λa＋μb与c共线？
12．如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，若eq \(AE,\s\up7(→))＝meq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AD,\s\up7(→))，求实数m的值．
13．(2019·扬州中学月考)已知点P是△ABC的中位线EF上任意一点，且EF∥BC，实数x，y满足eq \(PA,\s\up7(→))＋xeq \(PB,\s\up7(→))＋yeq \(PC,\s\up7(→))＝0，设△ABC，△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为S，S1，S2，S3，记eq \f(S1,S)＝λ1，eq \f(S2,S)＝λ2，eq \f(S3,S)＝λ3，则λ2λ3取最大值时，3x＋y的值为( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(3,2)
C．1 D．2
名称
定义
备注
零向量
长度为0的向量
零向量记作0，其方向是任意的
单位向量
长度等于1个单位的向量
单位向量记作a0，a0＝eq \f(a,|a|)
平行向量
方向相同或相反的非零向量(也叫共线向量)
0与任意向量共线
相等向量
长度相等且方向相同的向量
相等向量一定是平行向量，平行向量不一定是相等向量
相反向量
长度相等且方向相反的两个向量
若a，b为相反向量，则a＝－b
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算

三角形法则 平行四边形法则
(1)交换律：a＋b＝b＋a；
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差
三角形法则
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
|λa|＝|λ||a|；当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb