高中第2章 圆与方程2.3 圆与圆的位置关系同步测试题

课后素养落实(十二)　圆与圆的位置关系

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．圆x2－4x＋y2＝0与圆x2＋y2＋4x＋3＝0的公切线共有(　　)

A．1条 B．2条

C．3条 D．4条

D　[x2－4x＋y2＝0⇒(x－2)2＋y2＝22，圆心坐标为(2，0)，半径为2；x2＋y2＋4x＋3＝0⇒(x＋2)2＋y2＝12，圆心坐标为(－2，0)，半径为1，

圆心距为4，两圆半径和为3，因为4＞3，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条．故选D．]

2．已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是(　　)

A．内切 B．相交

C．外切 D．相离

B　[法一：由得两交点为(0，0)，(－a，a)．

∵圆M截直线所得线段长度为2，

∴＝2．

又a>0，∴a＝2．

∴圆M的方程为x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，圆心M(0，2)，半径r1＝2．

又圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心N(1，1)，半径r2＝1，

∴|MN|＝＝．

∵r1－r2＝1，r1＋r2＝3，1<|MN|<3，∴两圆相交．

法二：∵x2＋y2－2ay＝0(a>0)⇔x2＋(y－a)2＝a2(a>0)，

∴M(0，a)，r1＝a．

依题意，有＝，解得a＝2．

以下同法一．]

3．已知半径为1的动圆与定圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是(　　)

A．(x－5)2＋(y＋7)2＝25

B．(x－5)2＋(y＋7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15

C．(x－5)2＋(y＋7)2＝9

D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9

D　[动圆可能在定圆的外部，也可能在定圆的内部，根据题意知，动圆圆心的轨迹应是(x－5)2＋(y＋7)2＝16的同心圆，半径分别为3和5，故应选D．]

4．已知⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－a)2＋y2＝r2(a＞0)相交于A，B两点，若两圆在A点处的切线互相垂直，且|AB|＝4，则⊙O1的方程为(　　)

A．(x－4)2＋y2＝20 B．(x－4)2＋y2＝50

C．(x－5)2＋y2＝20 D．(x－5)2＋y2＝50

C　[根据题意，⊙O的圆心O为(0，0)，半径为．

⊙O1的圆心O1(a，0)，半径为r．

∵⊙O与⊙O1相交于A，B两点，且两圆在A点处的切线互相垂直，

∴()2＋r2＝a2． ①

又由|AB|＝4，则××|OO1|＝××r，

即|a|＝r． ②

由①②得5＋r2＝，解得r2＝20，a＝5．故⊙O1的方程为(x－5)2＋y2＝20．]

5．圆(x－2)2＋y2＝4与圆x2＋(y－2)2＝4的公共弦所对的圆心角是(　　)

A．60°　　B．45°　　C．120°　　D．90°

D　[圆(x－2)2＋y2＝4的圆心为(2，0)，半径为r＝2．

圆x2＋(y－2)2＝4的圆心为(0，2)，半径为r＝2．

圆心距为d＝＝2，弦心距d′＝＝．

设公共弦所对的圆心角是2θ，则

cos θ＝＝，∴θ＝45°，∴2θ＝90°．故选D．]

二、填空题

6．若圆x2＋y2－2ax＋a2＝2和圆x2＋y2－2by＋b2＝1外离，则a，b满足的条件是________．

a2＋b2＞3＋2　[由题意可得两圆圆心坐标和半径长分别为(a，0)，和(0，b)，1，因为两圆外离，所以＞＋1，即a2＋b2＞3＋2．]

7．已知两圆(x＋2)2＋(y－2)2＝4和x2＋y2＝4相交于M，N两点，则|MN|＝________．

2　[由题意可知直线MN方程为：(x＋2)2＋(y－2)2－x2－y2＝0，即MN：x－y＋2＝0．圆x2＋y2＝4的圆心为(0，0)，半径为2，

则圆心(0，0)到x－y＋2＝0的距离d＝＝．

所以|MN|＝2＝2×＝2．]

8．过原点O作圆x2＋y2－4x－8y＋16＝0的两条切线，设切点分别为P，Q，则直线PQ的方程为________．

x＋2y－8＝0　[把圆的方程化成标准方程(x－2)2＋(y－4)2＝4，

∴圆心为(2，4)，半径为2．圆心到原点的距离为＝2．∴切线长为＝4，∴P，Q在以(0，0)为圆心，以4为半径的圆上，方程为x2＋y2＝16．

由

得x＋2y－8＝0．这就是PQ所在直线的方程．]

三、解答题

9．求圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在直线被圆C3：(x－1)2＋(y－1)2＝所截得的弦长．

[解]　设两圆的交点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则A，B的坐标是方程组

的解，

两式相减得x＋y－1＝0．

因为A，B两点的坐标满足x＋y－1＝0，

所以AB所在直线方程为x＋y－1＝0，

即C1，C2的公共弦所在直线方程为x＋y－1＝0，

圆C3的圆心为(1，1)，其到直线AB的距离d＝，由条件知r2－d2＝－＝，

所以直线AB被圆C3截得的弦长为2×＝．

10．已知圆C1：x2＋y2＋4x＋1＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0，求过两圆的交点的圆中面积最小的圆的方程．

[解]　由两圆的方程相减，得公共弦所在直线的方程为x－y＝0．

∵圆C1：(x＋2)2＋y2＝3，圆C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝1，

圆心C1(－2，0)，C2(－1，－1)，

∴两圆连心线所在直线的方程为＝，

即x＋y＋2＝0．

过两圆的交点的圆中面积最小的圆也就是以公共弦为直径的圆．

由得所求圆的圆心为(－1，－1)．

又圆心C1(－2，0)到公共弦所在直线x－y＝0的距离d＝＝，

∴所求圆的半径r＝＝1，

∴所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝1．

11．(多选题)已知直线y＝x＋b与曲线y＝3－，下列说法正确的是(　　)

A．b＝1±2时，直线与曲线有且仅有一个交点

B．－1＜b≤3时，直线与曲线有且仅有一个交点

C．1－2＜b≤－1时，直线与曲线有两个交点

D．b＞3或b＜1－2时，直线与曲线没有交点

BCD　[把y＝3－化成为(x－2)2＋(y－3)2＝4，因为0≤x≤4，y≤3，所以曲线表示圆的下半部分，如图，C(2，3)，A(0，3)，B(4，3)．

当y＝x＋b过A时，b＝3，直线与曲线有且仅有一个交点，当y＝x＋b过B时，b＝－1，这时直线与曲线有两个交点，当y＝x＋b与曲线相切时，＝2，解得b＝1－2(b＝1＋2舍去)．

∴当b＞3或b＜1－2时，直线与曲线无交点；当－1＜b≤3或b＝1－2时，直线与曲线有且仅有一个交点；当1－2＜b≤－1时，直线与曲线有两个交点，故选BCD．]

12．一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面的高度不得超过(　　)

A．1.4米　　B．3.5米　　C．3.6米　　D．2米

B　[建立如图所示的平面直角坐标系．如图设蓬顶距地面高度为h，则A(0.8，h－3.6)所在圆的方程为：x2＋(y＋3.6)2＝3.62，把A(0.8，h－3.6)代入得0.82＋h2＝3.62．

∴h＝4≈3.5(米)．]

13．设直线l：y＝kx＋b(k>0)，圆C1：x2＋y2＝1，C2：(x－4)2＋y2＝1，若直线l与C1，C2都相切，则k＝________；b＝________．

　－　[由题意，C1，C2到直线的距离等于半径，即＝1，＝1，

所以|b|＝，所以k＝0(舍)或者b＝－2k，

解得k＝，b＝－．]

14．若圆C1：x2＋y2＝4和圆C2：x2＋y2＋4x－4y＋4＝0关于直线l对称，则直线l的方程为________．

x－y＋2＝0　[圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：x2＋y2＋4x－4y＋4＝0，即(x＋2)2＋(y－2)2＝4为等圆，所以直线l是C1C2的中垂线，由C1(0，0)，C2(－2，2)知kC1C2＝－1，且C1C2的中点坐标为(－1，1)，∴kl＝1，所求l的方程为y－1＝x＋1，

即x－y＋2＝0．]

15．如图，圆C：x2－(1＋a)x＋y2－ay＋a＝0．

(1)若圆C与x轴相切，求圆C的方程；

(2)已知a＞1，圆C与x轴相交于两点M，N(点M在点N的左侧)．过点M任作一条直线与圆O：x2＋y2＝4相交于两点A，B．问：是否存在实数a，使得∠ANM＝∠BNM？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．

[解]　(1)由题意得

得x2－(1＋a)x＋a＝0，

由题意得Δ＝(1＋a)2－4a＝(a－1)2＝0，所以a＝1．

故所求圆C的方程为x2－2x＋y2－y＋1＝0．

(2)令y＝0，得x2－(1＋a)x＋a＝0，即(x－1)(x－a)＝0，

所以M(1，0)，N(a，0)，假设存在实数a，

当直线AB与x轴不垂直时，

设直线AB的方程为y＝k(x－1)，

代入x2＋y2＝4得，(1＋k2)x2－2k2x＋k2－4＝0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，从而x1＋x2＝，x1x2＝．

因为直线NA，NB的斜率之和为＋

＝，

而(x1－1)(x2－a)＋(x2－1)(x1－a)

＝2x1x2－(a＋1)(x2＋x1)＋2a

＝2×－(a＋1)＋2a

＝，

因为∠ANM＝∠BNM，

所以＋＝0，

即＝0，得a＝4．

当直线AB与x轴垂直时，也成立．

故存在a＝4，

使得∠ANM＝∠BNM．