人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质课后测评

二十二　三角函数的图象与性质

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．下列函数中，最小正周期为π，且为偶函数的是(　　)

A．y＝tan           B．y＝cos

C．y＝sin |2x|　　　　     D．y＝|sin x|

【解析】选D.对于A，y＝tan 的最小正周期为π，为非奇非偶函数，故错误；

对于B，y＝cos ＝－sin 2x，最小正周期为π，为奇函数，故错误；

对于C，y＝sin |2x|，不是周期函数，为偶函数，故错误；

对于D，y＝|sin x|，最小正周期为π，为偶函数，故正确．

2．函数y＝cos x在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是(　　)

A．    B．(－π，0]

C．(－，0]      D．(－π，π)

【解析】选B.函数y＝cos x在区间[－π，0]上为增函数，在[0，π]上为减函数，又已知函数y＝cos x在区间[－π，a]上为增函数，所以－π＜a≤0.所以a的取值范围是(－π，0].

3．已知当x＝时，f(x)＝sin (2x＋φ)取得最大值，则下列说法正确的是(　　)

A．x＝是y＝f(x)的图象的一条对称轴

B．f(x)在上单调递增

C．当x＝－时，f(x)取得最小值

D．函数y＝f为奇函数

【解析】选B.因为当x＝时，f(x)＝sin (2x＋φ)取得最大值，

所以2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，

解得φ＝2kπ－，k∈Z，所以可得f(x)＝sin ，

对于A，由于sin ＝0≠±1，故错误；

对于B，令2kπ－＜2x－＜2kπ＋，k∈Z，

可得kπ－＜x＜kπ＋，k∈Z，

可得f(x)在上单调递增，故正确；

对于C，由于sin ＝1，故错误；

对于D，y＝f＝sin [2×－]＝－cos 2x为偶函数，故错误．

4．(多选题)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω＞0)，若f(x)在区间上是单调函数，且有－f＝f(0)＝f(π)，则ω的值可能为(　　)

A．    B．2    C．    D．1

【解析】选AB.因为f(x)在上单调，所以≥，即T≥π，

所以0＜ω≤2.

若T＝π，则ω＝2，符合题意；

若T＞π，因为f(0)＝f(π)，所以直线x＝是f(x)的图象的一条对称轴，

因为－f＝f(0)，所以f(x)的图象的一个对称中心是，所以＝－＝，所以T＝3π，ω＝.

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．函数f(x)＝tan 的定义域为________．

【解析】令x＋≠kπ＋，

解得x≠kπ＋(k∈Z)，

故函数f(x)的定义域为(k∈Z).

答案：(k∈Z)

6．已知函数f(x)＝2sin ωx(ω＞0)，则f(x)的最大值为________，若f(x)在区间上是增函数，则ω的取值范围是________．

【解析】函数f(x)＝2sin ωx(ω＞0)，则f(x)的最大值为2，

f(x)在区间上是增函数，

由函数f(x)＝2sin ωx(ω＞0)，·≥，解得0<ω≤.

答案：2　

三、解答题(每小题10分，共30分)

7．已知函数f(x)＝－cos .

(1)求函数f(x)的最小值及取得最小值时x的值；

(2)求函数f(x)的单调递减区间．

【解析】(1)令2x－＝2kπ，k∈Z，

可得x＝kπ＋，k∈Z.

此时y＝cos (2x－)取得最大值为1，

所以f(x)＝－cos 取得最小值为－1，

此时x＝kπ＋，k∈Z.

(2)令2kπ－π≤2x－≤2kπ，k∈Z，

解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，

所以函数f(x)的单调递减区间为，k∈Z.

8．已知函数f(x)＝cos (Ω＞0，0≤φ＜2π)的图象关于y轴对称．

(1)求φ的值；

(2)若函数f(x)在(0，3)上单调递减，试求当Ω取得最小值时，f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 020)的值．

【解析】(1)由函数f(x)＝cos 的图象关于y轴对称，所以f(－x)＝f(x)，

即cos ＝cos ＝

cos ，所以φ＝kπ；又0≤φ＜2π，

所以φ＝0或φ＝π.

(2)若φ＝π，则f(x)＝－cos x，可知函数f(x)不满足在(0，3)上单调递减；

若φ＝0，则函数f(x)＝cos x，由Ω＞0，0＜x＜3，

得0＜x＜，又f(x)在(0，3)上单调递减，所以≤π，解得Ω≥3；当Ω取最小值3时，f(x)＝cos x，它的最小正周期为T＝＝6，

所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 020)

＝336[f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(6)]＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)

＝336×(cos ＋cos ＋cos π＋cos ＋cos ＋cos 2π)

＋cos ＋cos ＋cos π＋cos ＝336×0＋－－1－＝－.

9．若函数f(x)＝，

(1)求证：y＝f(x)是偶函数；

(2)求f的值．

【解析】(1)因为f(x)＝

＝＝

＝＝cos x，

即f(x)＝cos x，x∈R.则f(－x)＝cos (－x)＝cos x＝f(x)，

所以y＝f(x)是偶函数．

(2)由(1)知f＝cos ＝.