数学人教B版 (2019)11.1.5 旋转体测试题

11.1.5　旋转体

1.下列几何体是台体的是(　　)

2．下列说法中正确的是(　　)

A．将正方形旋转不可能形成圆柱

B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体

C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台

D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线

3．下列命题正确的是________(只填序号)．

①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；

②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；

③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；

④以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴，其余各边旋转180°形成的曲面围成的几何体是圆锥；

⑤球面上四个不同的点一定不在同一平面内；

⑥球的半径是球面上任意一点和球心相连的线段.

4.圆柱的一个底面积是S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是(　　)

A．4πSB．2πS

C．πSD.πS

5．若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为(　　)

A．1：2B．1：

C．1：D.：2

6．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的表面积为574π，则圆台较小的底面半径为________.

7.一个球的表面积是16π，则它的半径是(　　)

A．6B．8

C．4D．2

8．已知球的半径为10cm，若它的一个截面圆的面积为36πcm2，则球心与截面圆圆心的距离是________cm.

9．一个球内有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49πcm2和400πcm2，求球的表面积．

一、选择题

1．下列说法正确的是(　　)

A．到定点的距离等于定长的点的集合是球

B．球面上不同的三点可能在同一条直线上

C．用一个平面截球，其截面是一个圆

D．球心与截面圆心(截面不过球心)的连线垂直于该截面

2．底面半径为2且底面水平放置的圆锥被过高的中点平行于底面的平面所截，则截得的截面圆的面积为(　　)

A．πB．2π

C．3πD．4π

3．圆锥的母线长为5，底面半径为3，则其侧面积为(　　)

A．15B．15π

C．24πD．30π

4．若圆台的高为4，母线长为5，侧面积为45π，则圆台的上、下底面的面积之和为(　　)

A．9πB．36π

C．45πD．81π

5．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积之比为(　　)

A.B.

C.D.

6．(易错题)以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其它两边旋转一周所得的几何体是(　　)

A．两个圆锥拼接而成的组合体

B．一个圆台

C．一个圆锥

D．一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥

二、填空题

7．用长为4，宽为2的矩形做侧面围成一个圆柱，此圆柱轴截面面积为________．

8．如图一个圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则圆锥的底面圆的面积为________，圆锥的高为________．

9．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则所截得的图形可能是________．

三、解答题

10．圆台的母线长为8cm，母线与底面成60°角，轴截面的两条对角线互相垂直，求圆台的表面积．

1．(多选)圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则圆台的(　　)

A．母线长是20B．表面积是1100π

C．高是10D．体积是π

2．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O­ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为________．

3．(学科素养——直观想象)圆台的上、下底面半径分别为5cm,10cm，母线长AB＝20cm，从圆台母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到点A，求：

(1)绳子的最短长度；

(2)在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离．

11．1.5　旋转体

必备知识基础练

1．答案：D

解析：台体包括棱台和圆台两种，A的错误在于四条侧棱没有交于一点；B的错误在于截面与圆锥底面不平行；C是棱锥；结合圆台的定义可知D正确．

2．答案：C

解析：将正方形绕其一边所在直线旋转可以形成圆柱，所以A错误；B中没有说明这两个平行截面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时正确，其他情况下结论不一定正确，所以B错误；通过圆台侧面上一点，只有一条母线，所以D错误．

3．答案：④⑥

解析：①以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周才可以得到圆锥，错误；②以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周才可以得到圆台，错误；③它们的底面为圆面，错误；④正确；作球的一个截面，在截面的圆周上任意取四个不同的点，则这四点就在球面上，故⑤错误；根据球的半径定义，知⑥正确．

4．答案：A

解析：设底面半径为r，则πr2＝S，

∴r＝，

∴底面周长为2πr＝2π，

又侧面展开图为一个正方形，

∴侧面积是2＝4πS.

5．答案：C

解析：设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，∴其母线长l＝r，∴S侧＝πrl＝πr2，S底＝πr2，S底：S侧＝1：.

6．答案：7

解析：设圆台较小的底面半径为r，那么较大的底面半径为3r，由已知得π(r＋3r)×3＋πr2＋9πr2＝574π，解得r＝7.

7．答案：D　

解析：设球的半径为R，则由题意可知4πR2＝16π，故R＝2.所以球的半径为2.

8．答案：8

解析：如图，设截面圆的半径为r，球心与截面圆圆心之间的距离为d，球半径为R.由示意图易构造出一个直角三角形，解该直角三角形即可．

由题意知，R＝10 cm，由πr2＝36π，得r＝6，

所以d＝＝＝8(cm)．

9．解析：第一种情况　当截面在球心的同侧时，如图所示为球的轴截面，由截面性质知AO1∥BO2，O1，O2为两截面圆的圆心，且OO1⊥AO1，OO2⊥BO2，

设球的半径为R，

∵π(O2B)2＝49π，∴O2B＝7 cm，

同理得：O1A＝20 cm.

设OO1＝x，则OO2＝(x＋9) cm，

在Rt△O1OA中，R2＝x2＋202，①

在Rt△OO2B中，R2＝72＋(x＋9)2，②

联立①②可得x＝15，R＝25.

∴S球＝4πR2＝2 500π cm2，

故球的表面积为2 500π cm2.

第二种情况　当截面在球心的两侧时，如图所示为球的轴截面，由球的截面性质知，O1A∥O2B，且O1，O2分别为两截面圆的圆心，则OO1⊥O1A，

OO2⊥O2B.

设球的半径为R，

∵π·(O2B)2＝49π，∴O2B＝7 cm.

∵π·(O1A)2＝400π，∴O1A＝20 cm.

设O1O＝x cm，则OO2＝(9－x) cm.

在Rt△OO1A中，R2＝x2＋400.

在Rt△OO2B中，R2＝(9－x)2＋49.

∴x2＋400＝(9－x)2＋49，

解得x＝－15，不合题意，舍去．

综上所述，球的表面积为2 500π cm2.

关键能力综合练

1．答案：D

解析：对于A，球是球体的简称，球体的外表面我们称之为球面，球面是一个曲面，是空心的，而球是几何体，是实心的，故A错；对于B，球面上不同的三点一定不共线，故B错；对于C，用一个平面截球，其截面是一个圆面，而不是一个圆，故C也是错误的．所以选D.

2．答案：A

解析：由圆锥的性质可知截面圆的半径为1，∴截面圆的面积S＝π.故选A.

3．答案：B

解析：S侧＝πrl＝π×3×5＝15π.故选B.

4．答案：C

解析：由题意得π(r＋R)×5＝45π，∴r＋R＝9，又R－r＝＝＝3，得R＝6，r＝3，∴S上＋S下＝π×62＋π×32＝45π.故选C.

5．答案：A

解析：设圆柱的底面半径为r，高为h，则有h＝2πr，所以表面积与侧面积的比为2π(r2＋rh)：2πrh＝(r＋h)：h＝(2π＋1)：2π.故选A.

6.

答案：D

解析：如图所示，以AB为轴所得的几何体是一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥．

7．答案：

解析：若4为底面圆的周长，由2πr＝4，得r＝，∴轴截面面积S＝2rl＝×2＝；若2为底面圆的周长，由2πr＝2，得r＝，∴轴截面面积S＝2rl＝×4＝.

8．答案：π　

解析：∵圆锥的轴截面是一个边长为2的正三角形，

∴圆锥的母线长l＝2，底面圆的半径为r＝＝1，

∴圆锥的底面圆的面积为πr2＝π，高h＝ ＝.

9．答案：(1)(5)

解析：当用过圆锥顶点的竖直平面去截几何体时，所得到的图形是(1)；当竖直平面不过圆锥顶点时，所截得的图形是(5)．

10．解析：如图所示的是圆台的轴截面ABB1A1，其中∠A1AB＝60°，过A1作A1H⊥AB于H，则O1O＝A1H＝A1A·sin 60°＝4(cm)，AH＝A1A·cos 60°＝4(cm)．

设O1A1＝r1，OA＝r2，

则r2－r1＝AH＝4.①

设A1B与AB1的交点为M，

则A1M＝B1M.

又∵A1B⊥AB1，

∴∠A1MO1＝∠B1MO1＝45°.

∴O1M＝O1A1＝r1.

同理OM＝OA＝r2.

∴O1O＝O1M＋OM＝r1＋r2＝4，②

由①②可得r1＝2(－1)，r2＝2(＋1)．

∴S表＝πr＋πr＋π(r1＋r2)l＝32(1＋)π(cm2)．

学科素养升级练

1．答案：ABD

解析：如图所示，设圆台的上底面周长为C，因为扇环的圆心角为180°，

所以C＝π·SA，又C＝10×2π，

所以SA＝20，同理SB＝40，

故圆台的母线AB＝SB－SA＝20，

高h＝＝10，体积V＝π×10×(102＋10×20＋202)＝π，表面积S＝π(10＋20)×20＋100π＋400π＝1 100π，故选A，B，D.

2．答案：144π

解析：如图所示，设球的半径为R，

∵∠AOB＝90°，

∴S△AOB＝R2.

∵V三棱锥O ­ ABC＝V三棱锥C ­ AOB，

而△AOB的面积为定值，

∴当点C到平面AOB的距离最大时，三棱锥O ­ ABC的体积最大，

∴当动点C为与球的大圆面AOB垂直的直径的端点时，三棱锥O ­ ABC的体积最大，

此时V三棱锥O ­ ABC＝V三棱锥C ­ AOB＝×R2×R＝R3＝36，

解得R＝6，

则球O的表面积为S＝4πR2＝144π.

3.

解析：(1)如图所示，将侧面展开，绳子的最短长度为侧面展开图中AM的长度，

设OB＝l，

则θ·l＝2π×5，θ·(l＋20)＝2π×10，

解得θ＝，l＝20 cm.

∴OA＝40 cm，OM＝30 cm.

∴AM＝＝50 cm.

即绳子最短长度为50 cm.

(2)作OQ⊥AM于点Q，交弧BB′于点P，

则PQ为所求的最短距离．

∵OA·OM＝AM·OQ，∴OQ＝24 cm.

故PQ＝OQ－OP＝24－20＝4(cm)，即上底圆周上的点到绳子的最短距离为4 cm.