数学人教B版 (2019)11.1.5 旋转体教案设计

11.5 旋转体

本节课是立体几何初步的起始课之一，继学习了多面体、棱柱、棱锥、棱台的概念之后，进一步学习旋转体的，为后续立体几何的进一步学习作好铺垫。对于简单的旋转体，教材中介绍了圆柱、圆锥、圆台和球。进入高中后，随着学生逻辑思维能力和抽象思维能力的加强，不能再局限于一些结论的获得，而要注重结论的推导过程，揭示知识的来龙去脉，也就是不仅要知其然还要知其所以然。教材也要求学生要对学生要对发现到的结论进行推理论证，本节课着重于理解.圆柱和圆锥学生已经有所接触，但只是生活意义上的理解，课本中给出了数学上的定义，圆柱与圆锥内容的承上之处在于它们与棱柱、棱锥都是四边形或三角形构成的，区别在于构成的方式不同，这里学生认知上的一个重要发展是曲面的概念及其形成的数学理解，是学生发展的最近发展区.

【教学重点】

圆柱、圆锥、圆台、球的定义、结构特征、侧面积和表面积

【教学难点】

旋转体有关的几何问题

问题1：圆柱、圆锥、圆台

知识点1：圆柱

以矩形的一边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体称为圆柱．如图(1)．

知识点2：圆锥

以直角三角形一直角边所在直线为旋转轴，将直角三角形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体称为圆锥．如图(2)．

知识点3：圆台

以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，将直角梯形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体称为圆台．如图(3)．

知识点4：旋转体 

(1)定义：用类似圆柱、圆锥、圆台的形成方式构成的几何体都是旋转体．

(2)有关概念：旋转轴称为旋转体的轴，在轴上的边(或它的长度)称为旋转体的高，垂直于轴的边旋转而成的圆面称为旋转体的底面，不垂直于轴的边旋转而成的曲面称为旋转体的侧面.无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都称为母线．

知识点5：轴截面

在旋转体中，通过轴的平面所得到的截面通常简称为轴截面．如圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形.

答：圆台可以看出平行于圆锥底面的平面截圆锥所得到的几何体.

例1.写出圆台中任意两条母线的位置关系，任意一条母线与底面的位置关系，以及两个底面的位置关系。

解：圆台中任意两条母线都相交，任意一条母线与底面都相交，两个底面相互平行.

【对点练习】

1．圆柱的母线长为10，则其高等于(　　)

A．5　　 B．10　　

C．20　　 D．不确定

答案：B　圆柱的母线长与高相等，则其高等于10.

2．圆锥的高与底面半径相等，母线等于5，则底面半径等于________.

答案：5　圆锥的轴截面如图所示，

由图可知，底面半径r＝，

∴r＝5.

问题2：圆柱、圆锥、圆台的侧面积、表面积

知识点1：旋转体的侧面积

旋转体侧面的面积称为旋转体的侧面积．

知识点2：旋转体的表面积

侧面积与底面积之和称为旋转体的表面积(全面积)．

知识点3：圆柱的底面积、侧面积、表面积

底面积：S底＝πr2

侧面积：S侧＝2πrl

表面积：S＝2πr2＋2πrl

知识点4：圆锥的底面积、侧面积、表面积

底面积：S底＝πr2

侧面积：S侧＝πrl

表面积：S＝πr2＋πrl

知识点5：圆台的底面积、侧面积、表面积

上底面面积：S上底＝πr′2

下底面面积：S下底＝πr2

侧面积：S侧＝π(r＋r′)l

表面积：S＝πr2＋πr′2＋π(r＋r′)l

【对点练习】

1．圆柱OO′的底面直径为4，母线长为6，则该圆柱的侧面积为________，表面积为________.

答案　24π　32π

2．如图，圆锥的底面半径为1，高为，则圆锥的侧面积为________.

答案　2π

问题3：球

知识点1：球的定义

一个半圆绕着以它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面称为球面；球面围成的几何体，称为球．

知识点2：球的相关概念

形成球面的半圆的圆心称为球的球心，连接球面上一点和球心的线段称为球的半径，连接球面上两点且通过球心的线段称为球的直径．

如图所示的球中，点O是球心，OA，OB，OC都是球的半径，AB为球的直径，如果，则

知识点3：球的表示方法

用表示它的球心的字母来表示，如球O.

球面可以看成空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合．

知识点4：球的截面

(1)球面被经过球心的平面截得的圆称为球的大圆．此时，大圆的半径等于球的半径.

(2)球面被不经过球心的平面截得的圆称为球的小圆．

如图，设OO′＝d，球的半径为R，则小圆的半径＝.

【对点练习】

1．球的任意两条直径不一定具有的性质是(　　)

A．相交 B．平分

C．垂直 D．都经过球心

答案：C　球的任意两条直径不一定垂直．

2．下列命题正确的个数是(　　)

①球的半径是球面上任一点与球心的连线段的长；

②球的直径是球面上任意两点间的连线段；

③用一个平面截一个球，得到的是一个圆；

④用一个平面截一个球，得到的截面是圆面．

A．0个 B．1个

C．2个 D．3个

答案：C　命题①是正确的；命题②是错误的，只有两点的连线段经过球心时才为直径；命题③是错误的，命题④是正确的，截面为圆面(圆及其内部)而不是圆．

例2. 一个球内有相距9 cm的两个平行截面，它们的面积分别为49π cm2和400π cm2，求球的表面积．

解　(1)当截面在球心的同侧时，如图①所示为球的轴截面，由截面性质知AO1∥BO2，O1，O2为两截面圆的圆心，且OO1⊥AO1，OO2⊥BO2，

设球的半径为R，

∵π(O2B)2＝49π，∴O2B＝7 cm，

同理得：O1A＝20 cm.

设OO1＝x，则OO2＝(x＋9) cm，

在Rt△O1OA中，R2＝x2＋202，①

在Rt△OO2B中，R2＝72＋(x＋9)2，②

联立①②可得x＝15，R＝25.

∴S球＝4πR2＝2 500π cm2，

故球的表面积为2 500π cm2.

(2)当截面在球心的两侧时，如图②所示为球的轴截面，由球的截面性质知，O1A∥O2B，且O1，O2分别为两截面圆的圆心，则OO1⊥O1A，

OO2⊥O2B．

设球的半径为R，

∵π·(O2B)2＝49π，∴O2B＝7 cm.

∵π·(O1A)2＝400π，∴O1A＝20 cm.

设O1O＝x cm，则OO2＝(9－x) cm.

在Rt△OO1A中，R2＝x2＋400.

在Rt△OO2B中，R2＝(9－x)2＋49.

∴x2＋400＝(9－x)2＋49，

解得x＝－15，不合题意，舍去．

综上所述，球的表面积为2 500π cm2.

【变式练习】

已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的倍，且AC＝8，BC＝6，AB＝10，求球的表面积．

解　如图，设球的半径为R，球心为O，截面圆心为O1，则OO1＝R.

在△ABC中，∵AC2＋BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，

∴O1是AB的中点，即O1B＝5.

又OO＋O1A2＝OA2，

∴2＋52＝R2，

∴R2＝100，R＝10.

∴球的表面积S球＝4πR2＝4π×102＝400π.

（3）当把地球看成一个球时，经线就是球面从北极到南极的半个大圆；赤道是一个大圆，其余的纬线都是小圆。经度（取值区间为）与纬度（取值区间为），如图所示.

例3.把地球看成一个半径为6370Km的球，已知我国首都北京靠近北纬，求北纬纬线的长度（ 结果精确到1Km）

解：作出界面图，如图所示，设A是北纬圈上的一点，AK是北纬圈的半径，O为球心，所以。

设北纬的纬线长为，因为，所以

知识点5：球的表面积

如果设球的半径为R，那么球的表面积为S＝4πR2

【对点练习】

1．直径为6的球的表面积是(　　)

A．36π B．18π

C．144π D．9π

答案：A　球的半径为3，表面积S＝4π×32＝36π.

2．一个球的表面积是16π，则它的半径是(　　)

A．6 B．8

C．4 D．2

答案：D　设球的半径为R，则由题意可知4πR2＝16π，故R＝2.所以球的半径为2.

例4.已知一个长方体的8个顶点都在一个球面上，且长方体的棱长为3，4，5，求球的表面积.

解：由题设可知，长方体的体对角线的中的就是球心，又因为：

所以所求的球的表面积为：

【变式练习】

1.若棱长为2的正方体的各个顶点均在同一球面上，求此球的表面积．

解　正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图，

所以正方体的外接球直径等于正方体的对角线长，即2R＝，

所以R＝.

∴球的表面积S＝4π×()2＝12π.

2. 　将条件改为“球与棱长为2的正方体的面都相切”，如何求解？

解　正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面(正方形)的中心，经过四个切点及球心作截面，如图，

所以球的直径是正方体的棱长，即2R＝2，∴R＝1，

∴球的表面积S＝4π×12＝4π.

小结：

1．圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示．

2．旋转体的轴截面中有母线、底面半径、高等主要元素，因而，在涉及这些元素的计算时，通常利用轴截面求解．在圆台的轴截面中，将等腰梯形的两腰延长，在三角形中可借助相似求解．这种立体问题平面化是解答旋转体中计算问题最常用的方法．

3．圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解有关问题的关键．

4．球的轴截面图形，球半径、截面圆半径、球心到截面的距离所构成的直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要方法．

5．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图．