数学必修 第四册11.1.2 构成空间几何体的基本元素课时作业

11.1.2　构成空间几何体的基本元素

1.若点A在直线b上，b在平面β内，则点A，直线b，平面β之间的关系用符号可以记作________．

2．根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A∈α，B∉α；(2)l⊂α，m∩α＝A，A∉l；(3)P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α.

3.若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是(　　)

A．平行B．异面

C．相交D．平行、相交或异面

4．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，

(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；

(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；

(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；

(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________.

5.下列命题中正确的个数是(　　)

①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；

②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；

③如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α.

A．0B．1

C．2D．3

6．如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是(　　)

A．平行B．相交

C．平行或相交D．垂直

7.下列说法中，正确的有(　　)

①如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内无数条直线相交；③过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行；④一条直线上有两点到平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面．

A．0个B．1个

C．2个D．3个

8．以下四个命题中，正确的命题有(　　)

①在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；

②在平面α内有无数条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；

③平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧且到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行；

④平面α内有无数个点到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行或相交．

A．③④B．②③④

C．②④D．①④

9．如图所示，Rt△BMC中，斜边BM＝5，它在平面ABC上的射影AB长为4，则直线MA与平面ABC的关系为________；点M到平面ABC的距离为________．

一、选择题

1．如果a⊂α，b⊂α，l∩a＝A，l∩b＝B，那么下列关系成立的是(　　)

A．l⊂αB．l∉α

C．l∩α＝AD．l∩α＝B

2．长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有(　　)

A．2对B．3对　

C．6对D．12对

3．两平面α，β平行，a⊂α，下列四个命题：

①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；

③直线a与β内任何一条直线都不垂直；④a与β没有公共点．

其中正确的个数是(　　)

A．1B．2　

C．3D．4

4．直线c、d与异面直线a、b都相交，则c、d的位置关系是(　　)

A．平行B．相交

C．异面D．相交于一点或异面

5．若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是(　　)

A．α内的所有直线均与a异面

B．α内不存在与a平行的直线

C．α内的直线均与a相交

D．直线a与平面α有公共点

6．(易错题)与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是(　　)

A．都平行

B．都相交

C．在两个平面内

D．至少与其中一个平面平行

二、填空题

7．若点A∈α，B∉α，C∉α，则平面ABC与平面α的位置关系是________．

8．在四棱锥P­ABCD中，各棱所在的直线互相异面的有________对．

9．如果空间的三个平面两两相交，则下列判断正确的是________(填序号)．

①不可能只有两条交线；

②必相交于一点；

③必相交于一条直线；

④必相交于三条平行线．

三、解答题

10．(探究题)如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中M，N分别是A1B1和BB1的中点，则下列直线、平面间的位置关系是什么？

(1)AM所在的直线与CN所在的直线的位置关系；

(2)CN所在的直线与平面ABCD的位置关系；

(3)AM所在的直线与平面CDD1C1的位置关系；

(4)平面ABCD与平面CDD1C1的位置关系．

1．(多选)若两个平面相交，则分别在这两个平面内的两条直线可能的位置关系为(　　)

A．平行B．异面

C．相交D．垂直

2．在三棱柱ABC­A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，且AD＝2，则直线AB到平面A1B1C1的距离是________．

3．(学科素养——直观想象)如图，ABCD­A1B1C1D1是正方体，在图1中，E，F分别是C1D1，BB1的中点，画出图1，图2中有阴影的平面与平面ABCD的交线，并给出证明．

图1　　　　　　　　　图2

11．1.2　构成空间几何体的基本元素

必备知识基础练

1．答案：A∈b，b⊂β，A∈β

2．解析：(1)点A在平面α内，点B不在平面α内，如图①；

(2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，如图②；

(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q，如图③.

3．答案：D

解析：可借助长方体来判断．

如图，在长方体ABCD ­ A′B′C′D′中，A′D′所在直线为a，AB所在直线为b，已知a和b是异面直线，b和c是异面直线，则c可以是长方体ABCD­A′B′C′D′中的B′C′，CC′，DD′.故a和c可以平行、相交或异面．

4．答案：(1)平行　(2)异面　(3)相交　(4)异面

解析：(1)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，∴四边形A1BCD1为平行四边形，

∴A1B∥D1C.

(2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内．

(3)直线D1D与直线D1C相交于点D1.

(4)直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内．

5．答案：B

解析：如图，在正方体ABCD­A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′在过BB′的平面ABB′A′内，故命题①不正确；AA′∥平面BCC′B′，BC⊂平面BCC′B′，但AA′不平行于BC，故命题②不正确；假设b与α相交，因为a∥b，所以a与α相交，这与a∥α矛盾，故b∥α，即命题③正确．故选B.

6．答案：C

解析：根据题意作图，把自然语言转化为图形语言，即可得出两平面的位置关系．如图所示．

7．答案：B

解析：如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的直线平行或异面，所以①错；如果一条直线与一个平面相交，在这个平面内作过交点的直线都与这条直线相交，有无数条，所以②正确；对于③显然有无数条；而④，也有可能相交，所以错误．

8．答案：A

解析：当两个平面相交时，一个平面内有无数条直线平行于它们的交线，即平行另一个平面，所以①②错误．

9．答案：垂直　3

解析：由射影的定义知，MA⊥平面ABC，由勾股定理，得MA＝3，所以点M到平面ABC的距离为MA＝3.

关键能力综合练

1．答案：A

解析：∵l∩a＝A又a⊂α，∴A∈l且A∈α.同理B∈l且B∈α.∴l⊂α.

2．答案：C

解析：如图所示，在长方体中没有与体对角线平行的棱，要求与长方体体对角线AC1异面的棱所在的直线，只要去掉与AC1相交的六条棱，其余的都与体对角线异面，∴与AC1异面的棱有BB1，A1D1，A1B1，BC，CD，DD1，∴长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有6对，故选C.

3．答案：B

解析：①错误，a不是与β内的所有直线平行，而是与β内的无数条直线平行，有一些是异面；②正确；③错误，直线a与β内无数条直线垂直；④根据定义，a与β没有公共点，正确．

4．答案：D

解析：已知直线a与b是异面直线，设直线c与直线d分别与两条异面直线a与直线b相交于点A，B，C，D，

当点B与点C重合时，两条直线c与d相交，当点B与点D不重合时，两条直线c与d异面．

5．答案：D

解析：若直线a不平行于平面α，则a∩α＝A或a⊂α，故D项正确．

6．答案：D

解析：一条直线与两个平面的交线平行，有两种情形，其一是分别与这两个平面平行，其二是在一个平面内且平行于另一个平面，符合至少与其中一个平面平行．

7．答案：相交

解析：∵点A∈α，B∉α，C∉α，

∴平面ABC与平面α有公共点，且不重合，

∴平面ABC与平面α的位置关系是相交．

8．答案：8

解析：以底边所在直线为准进行考察，因为四边形ABCD是平面图形，4条边在同一平面内，不可能组成异面直线，而每一边所在直线能与2条侧棱组成2对异面直线，所以共有4×2＝8(对)异面直线．

9．答案：①

解析：空间的三个平面两两相交，可能只有一条交线，也可能有三条交线，这三条交线可能交于一点．

10．解析：(1)AM所在的直线与CN所在的直线异面；

(2)CN所在的直线与平面ABCD相交；

(3)AM所在的直线与平面CDD1C1平行；

(4)平面ABCD与平面CDD1C1相交．

学科素养升级练

1．答案：ABCD　

解析：平面α、β相交于直线l，如图所示，

则a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，此时a∥b；

又a⊂α，c⊂β，a、c异面；c⊂β，d⊂α，c、d相交；a⊂α，c⊂β，c⊥α， a与c垂直．

所以分别在这两个平面内的两条直线可能平行，也可能异面，也可能相交，也可能垂直．

2．答案：2　

解析：如图，取BC的中点E，连接AE，则AE⊥BC.

设各棱长为a，则AE＝a，DE＝a.

∵侧棱垂直于底面，∴DE⊥平面ABC, DE⊥AE，

∴AE2＋DE2＝AD2＝22，∴a＝2.

∵BB1⊥平面A1B1C1，

∴直线AB到平面A1B1C1的距离是BB1＝2DE＝a＝2.

3．解析：在图1中，设N为CD的中点，连接NE，NB，则EN∥BF，∴B，N，E，F四点共面．∴EF与NB的延长线相交，设交点为M，连接AM.∵M∈EF，且M∈NB，EF⊂平面AEF，NB⊂平面ABCD，∴M是平面ABCD与平面AEF的公共点，又∵点A是平面ABCD和平面AEF的公共点，∴AM为两平面的交线．

在图2中，延长DC到点M，使CM＝DC，连接BM，C1M，则C1M∥D1C∥A1B，∴M在平面A1BC1内．

又∵M在平面ABCD内，∴M是平面A1BC1与平面ABCD的公共点，又B是平面A1BC1与平面ABCD的公共点，∴BM是平面A1BC1与平面ABCD的交线．

图1　　　　　　　　　图2