高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册3.1 独立性检验课时训练

课后素养落实(四十八)　独立性检验问题

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法中正确的是(　　)

A．若随机变量χ2>6.635，我们有99%以上的把握说吸烟与患肺病有关，则某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病

B．若从统计量中求出有99%以上的把握说吸烟与患肺病有关，则在100个吸烟者中必有99人患有肺病

C．若从统计量中求出有95%以上的把握说吸烟与患肺病有关，是指有5%的可能性使得推断错误

D．以上说法均错误

C　[由随机变量χ2的意义可知答案C正确．]

2．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：

已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是(　　)

A．列联表中c的值为30，b的值为35

B．列联表中c的值为15，b的值为50

C．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”

D．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”

C　[由题意知，成绩优秀的学生数是30，成绩非优秀的学生数是75，所以c＝20，b＝45，选项A、B错误．根据列联表中的数据，得到χ2＝≈6.109>3.841，因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”，选项C正确．]

3．下列选项中，哪一个χ2的值可以有95%以上的把握认为“A与B有关系”(　　)

A．χ2＝2.700 B．χ2＝2.710

C．χ2＝3.765 D．χ2＝5.014

D　[∵5.014>3.841，故D正确．]

4．以下关于独立性检验的说法中，错误的是(　　)

A．独立性检验依据小概率原理

B．独立性检验得到的结论一定正确

C．样本不同，独立性检验的结论可能有差异

D．独立性检验不是判断两分类变量是否相关的唯一方法

B　[独立性检验得到的结论不一定正确，如我们得出有90%的把握认为A与B有关，只是说这种判断的正确性为90%，具体问题中A与B可能有关，也可能无关．]

5．两个分类变量X和Y，值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数分别是a＝10，b＝21，c＋d＝35．若X与Y有关系的可信程度不小于95%，则c等于(　　)

A．3　　B．7　　C．5　　D．6

A　[列2×2列联表如下：

故χ2＝≥3.841．

把选项A，B，C，D代入验证可知选A．]

二、填空题

6．为了了解长头发与女性头晕是否有关系，随机抽查301名女性，得到如下列联表，试根据表格中已有数据填空．

则空格中的数据应分别为：①________；②________；③________；④________．

86　180　229　301　[最右侧的总计是对应的行上的两个数据的和，由此可求出①和②；而最下面的总计是相应的列上两个数据的和，由刚才的结果可求得③④．]

7．某大学在研究性别与职称(分正教授、副教授)之间是否有关系，你认为应该收集的数据是________．

男正教授人数，女正教授人数，男副教授人数，女副教授人数　[由研究的问题可知，需收集的数据应为男正教授人数，女正教授人数，男副教授人数，女副教授人数．]

8．两个分类变量X，Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其列联表为：

若两个分类变量X，Y没有关系，则下列结论正确的是________(填序号)．

①ad≈bc；②≈；③a＋b≈c＋d；④a＋c≈b＋d；⑤≈0．

①②⑤　[因为分类变量X，Y独立，所以≈，化简得ad≈bc，所以①②⑤正确，③④显然不正确．]

三、解答题

9．某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层随机抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分别加以统计，得到如下图所示的频率分布直方图．

25周岁以上组

25周岁以下组

规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？

[解]　由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手60×0.25＝15(人)，“25周岁以下组”中的生产能手40×0.375＝15(人)，据此可得2×2列联表如下：

所以得χ2＝

＝＝≈1.79．

因为1.79<2.706，

所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．

10．为了研究患慢性气管炎与吸烟量的关系，调查了228人，其中每天的吸烟支数在10支以上的20支以下的调查者中，患者人数有98人，非患者人数有89人，每天的吸烟支数在20支以上的调查者中，患者人数有25人，非患者人数有16人．

(1)根据以上数据建立两个分类变量的列联表；

(2)试问患慢性气管炎是否与吸烟量相互独立？

[解]　(1)根据已知数据建立的列联表如下：

(2)χ2＝

＝≈0.994，

因为χ2≈0.994<2.706，

所以我们没有充分证据判定患慢性气管炎与吸烟量有关，即可以认为患慢性气管炎与吸烟量相互独立．

11．假设有两个分类变量X与Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为：

则当m取下面何值时，X与Y的关系最弱(　　)

A．8　　B．9　　C．14　　D．19

C　[由10×26≈18m，解得m≈14.4，所以当m＝14时，X与Y的关系最弱．]

12．假设有两个变量X与Y，它们的取值分别为x1，x2和y1，y2，其列联表为：

以下各组数据中，对于同一样本能说明X与Y有关系的可能性最大的一组为(　　)

A．a＝50，b＝40，c＝30，d＝20

B．a＝50，b＝30，c＝40，d＝20

C．a＝20，b＝30，c＝40，d＝50

D．a＝20，b＝30，c＝50，d＝40

D　[当(ad－bc)2的值越大，随机变量χ2＝的值越大，可知X与Y有关系的可能性就越大．显然选项D中，(ad－bc)2的值最大．]

13．(多选题)根据下面的2×2列联表得到如下判断，则正确的选项是(　　)

A．至少有99.9%的把握认为“患肝病与嗜酒有关”

B．至少有99%的把握认为“患肝病与嗜酒无关”

C．在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“患肝病与嗜酒有关”

D．在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“患肝病与嗜酒无关”

AC　[由2×2列联表中数据可求得χ2的观测值

χ2＝≈7.349>6.635，

所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“患肝病与嗜酒有关”，即至少有99%的把握认为“患肝病与嗜酒有关”．因此AC正确．]

14．(一题两空)某高校《统计初步》课程的教师随机调查了选该课程的学生的一些情况，具体数据如下表：

则χ2≈________，有________的把握判定主修统计专业与性别有关．

4.914　95%　[依题意知：χ2＝≈4.914，

∵4.914>3.841，∴有95%的把握判定主修统计专业与性别有关．]

15．中国调查网有一项关于午休问题的调查，其结果如下：(单位：人)

(1)将题表补充完整，应填入的数据是多少？

(2)试分析性别与对午睡的看法是否有关？

(3)请再列举一些可能与对午睡看法有关的分类变量．(至少两个)

[解]　(1)①＝283－214＝69，②＝264＋182＝446，∴①填69，②填446．

(2)∵χ2＝≈86.490>6.635，

∴至少有99%的把握认为性别与对午睡的看法有关．

(3)年龄、职业、季节等．