北师大版 (2019)选择性必修 第一册第七章 统计案例2 成对数据的线性相关性2.2 成对数据的线性相关性当堂达标检测题

课后素养落实(四十七)　成对数据的线性相关性

1．下列数据x，y符合哪一种函数模型(　　)

A．y＝2＋x B．y＝2ex

C．y＝2e D．y＝2＋ln x

D　[分别将x的值代入解析式判断知满足y＝2＋ln x．]

2．两个变量满足如下表关系．

则两个变量线性相关程度(　　)

A．较高　　B．较低　　C．不相关　　D．不确定

A　[xi＝75，yi＝543，x＝1 375，xiyi＝8 285，y＝59 051，＝15，＝108.6．

r＝

＝≈0.982 6．

故两个变量间的线性相关程度较高．]

3．对相关系数r，下列说法正确的是(　　)

A．r越大，相关程度越大

B．r越小，相关程度越大

C．|r|越大，相关程度越小，|r|越小，相关程度越大

D．|r|≤1且|r|越接近于1，相关程度越大，|r|越接近0，相关程度越小

D　[|r|越接近于1，偏差越小，相关程度越大，|r|越接近于0，偏差越大，相关程度越小，故选D．]

4．对变量X，Y有观测数据(xi，yi)(i＝1，2，…，10)，得散点图①；对变量U，V有观测数据(ui，vi)(i＝1，2，…，10)，得散点图②．由这两个散点图可以判断(　　)

①　　　　　　　　　②

A．变量X与Y正相关，U与V正相关

B．变量X与Y正相关，U与V负相关

C．变量X与Y负相关，U与V正相关

D．变量X与Y负相关，U与V负相关

C　[由题图①可知，各点整体呈递减趋势，X与Y负相关，由题图②可知，各点整体呈递增趋势，U与V正相关．]

5．若回归直线方程中的回归系数b＝0，则相关系数为(　　)

A．r＝1 B．r＝－1

C．r＝0 D．无法确定

C　[当b＝0时，有 (xi－)(yi－)＝0，故相关关系r＝0．]

二、填空题

6．某单位为了了解用电量Y(度)与气温X(℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了如下对照表：

由表中数据得线性回归直线方程＝x＋中的＝－2，预测当气温为－4 ℃时，用电量为________度．

68　[回归直线方程过点(，)，根据题意得＝＝10，＝＝40，将(10，40)代入＝－2x＋，解得＝60，则＝－2x＋60，当x＝－4时，＝(－2)×(－4)＋60＝68，即当气温为－4 ℃时，用电量约为68度．]

7．面对竞争日益激烈的消费市场，众多商家不断扩大自己的销售市场，以降低生产成本．某白酒酿造企业市场部对该企业9月份的产品销量(单位：千箱)与单位成本(单位：元)的资料进行线性回归分析，结果如下：

＝，＝71，x＝79，xiyi＝1 481．

＝≈－1.818 2，

＝71－(－1.818 2)×≈77.36，

则销量每增加1 000箱，单位成本下降________元．

1.818 2　[由已知可得，＝－1.818 2x＋77.36，销量每增加1千箱，则单位成本下降1.818 2元．]

8．在研究教育与贫穷两个因素之间的关系时，收集了美国50个州的成年人受过9年或更少教育的百分比(X)和收入低于官方规定的贫困线的人数占本州人数的百分比(Y)的数据，建立的回归直线方程如下：Y＝0.8X＋4.6，斜率的估计值等于0.8，说明________；成年人受过9年或更少教育的百分比(X)和收入低于官方的贫困线的人数占本州人数的百分比(Y)之间的相关系数________(填“大于0”或“小于0”)．

[答案]　一个地区受过9年或更少教育的百分比每增加1%，收入低于官方规定的贫困线的人数占本州人数的百分比将增加0.8%左右　大于0

三、解答题

9．测得10对父子身高(单位：英寸)如下：

(1)对变量Y与X进行相关性检验；

(2)如果Y与X之间具有相关关系，求回归直线方程；

(3)如果父亲身高为73英寸，试估计儿子的身高．

参考数据：＝66.8，＝67.01，x＝44 794，y＝4 494 1.93，2＝4 462.24，2＝4 490.34，xiyi＝44 842.4，

[解]　　(1)r＝≈0.980 4，

因为r≈0.980 4非常接近于1，所以Y与X之间具有较强的线性相关关系．

(2)设回归直线方程为Y＝bX＋a，＝≈0.464 6，＝－≈35.97，

所以回归直线方程为Y＝0.464 6X＋35.97．

(3)x＝73时，y＝69.9，所以父亲身高为73英寸时，儿子的身高约为69.9英寸．

10．下面的数据是年龄在40到60岁的男子中随机抽出的6个样本，分别测定了心脏的功能水平Y(满分100)，以及每天花在看电视上的平均时间X(小时)．

(1)求心脏功能水平Y与每天花在看电视上的平均时间X之间的相关系数r；

(2)求心脏功能水平Y与每天花在看电视上的平均时间X的线性回归方程，并讨论方程是否有意义；(系数保留两位小数)

(3)估计平均每天看电视3小时的男子的心脏功能水平．

[解]　n＝6，＝(4.4＋4.6＋2.7＋5.8＋0.2＋4.6)≈3.716，＝(52＋53＋69＋57＋89＋65)≈64.166 7，

x－62＝(4.42＋4.62＋2.72＋5.82＋0.22＋4.62)－6×3.7162≈19.798 0，

y－62＝(522＋532＋692＋572＋892＋652)－6×64.166 72≈964.833 3，

xiyi－6＝(4.4×52＋4.6×53＋…＋4.6×65)－6×3.716×64.166 7≈－124.360 7．

(1)心脏功能水平Y与每天花在看电视上的平均时间X之间的相关系数：

r＝≈－0.899 8．

(2)＝≈－6.28，＝－＝87.50，心脏功能水平Y与每天花在看电视上的平均时间x的线性回归方程为Y＝－6.28X＋87.50．

因为|r|＝0.898，所以有相当大的把握认为Y与X之间有线性关系，这个方程是有意义的．

(3)将x＝3代入线性回归方程，可得y＝68.66，即平均每天看电视3小时，心脏功能水平约为68.66．

11．两个变量Y与X的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关系数r如下，其中拟合效果最好的模型是(　　)

A．模型1的相关系数r为0.98

B．模型2的相关系数r为0.80

C．模型3的相关系数r为0.50

D．模型4的相关系数r为0.25

A　[在两个变量Y与X的回归模型中，它们的相关系数|r|越近于1，模拟效果越好，在四个选项中A的相关系数最接近1，所以拟合效果最好的是模型1．]

12．已知两个变量X和Y之间具有线性相关性，甲、乙两个同学各自独立地做了10次和15次试验，并且利用线性回归的方法求得回归直线分别为l1和l2，已知两个人在试验中发现对变量X的观测数据的平均数都为s，对变量Y的观测数据的平均数都是t，则下列说法正确的是(　　)

A．l1与l2一定有公共点(s，t)

B．l1与l2相交，但交点一定不是(s，t)

C．l1与l2必定平行

D．l1与l2必定重合

A　[由于回归直线Y＝bX＋a恒过(，)点，又两人对变量X的观测数据的平均值为s，对变量Y的观测数据的平均值为t，所以l1和l2恒过点(s，t)．]

13．(多选题)下列说法中正确的是(　　)

A．线性相关系数r∈[－1，1]

B．在线性回归分析中，偏差越小，线性相关系数的绝对值越大

C．相关系数r越小，说明变量之间的线性相关程度越小

D．在散点图中，若n个点在一条直线上，|r|＝1

ABD　[由线性相关系数的定义知，只有C不正确．]

14．(一题两空)某市居民2015～2019年家庭年平均收入X(单位：万元)与年平均支出Y(单位：万元)的统计资料如下表所示：

根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是________，家庭年平均收入与年平均支出有________相关关系(填“正”或“负”)．

13　正　[中位数是13．由相关性知识，根据统计资料可以看出，当年平均收入增多时，年平均支出也增多，因此两者之间具有正相关关系．]

15．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x6，y6)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，6)都在曲线y＝bx2－附近波动．经计算xi＝12，yi＝14，x＝23，则实数b的值为________．

　[令t＝x2，则曲线的回归方程变为线性的回归方程，即y＝bt－，此时＝＝，＝＝，代入y＝bt－，得＝b×－，解得b＝．]