高中数学苏教版 (2019)必修 第一册6.2 指数函数第2课时课后复习题

课后素养落实(二十六)　指数函数的图象与性质的应用

 (建议用时：40分钟)

一、选择题

1．(多选题)若函数f(x)＝3(2a－1)x＋3在R上是减函数，则实数a的可能取值为

(　　)

A．－1 B．1

C．－2 D．2

AC　[由于底数3∈(1，＋∞)，所以函数f(x)＝3(2a－1)x＋3的单调性与y＝(2a－1)x＋3的单调性相同，由于函数f(x)＝3(2a－1)x＋3在R上为减函数．所以y＝(2a－1)x＋3在R上为减函数．所以2a－1<0.即a<.故选AC.]

2．函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y＝2ax－1在[0,1]上的最大值为(　　)

A．6 B．1

C．3 D．

C　[函数y＝ax在[0,1]上单调，最大值与最小值都在端点处取到．故有a0＋a1＝3.解得a＝2.因此y＝2ax－1＝4x－1在[0,1]上单调递增．故x＝1时ymax＝3.]

3．函数y＝x2－1的值域是(　　)

A．(0,2) B．(0,2]

C．[0,2) D．[0,2]

B　[∵x2－1≥－1，∴y≤－1＝2，又y>0，

∴y∈(0,2]．]

4．定义运算a⊗b＝则函数f(x)＝3－x⊗3x的值域为(　　)

A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)

C．(0,1) D．(0,1]

D　[由题设可得f(x)＝3－x⊗3x＝其图象如图实线所示，由图知函数f(x)的值域为(0,1]．]

5．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是(　　)

A．(－∞，2] B．(－∞，＋∞)

C．[2，＋∞) D．∅

C　[由f(1)＝，得a2＝，

所以a＝，

即f(x)＝|2x－4|.

由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，

所以f(x)在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．]

二、填空题

6．函数f(x)＝1－x2的单调递增区间为________．

[0，＋∞)　[由于底数∈(0,1)，所以f(x)＝1－x2的单调性与y＝1－x2的单调性相反．f(x)＝1－x2的单调递增区间就是y＝1－x2的单调递减区间．当x≥0时，y＝1－x2是减函数．故f(x)＝1－x2的单调递增区间为[0，＋∞)．]

7．用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留污垢不超过原来的1%，则至少要漂洗________次．

4　[设原来污垢数为1个单位，则经过第一次漂洗，存留量为原来的；经过第二次漂洗，存留量为第一次漂洗后的，也就是原来的2；经过第三次漂洗，存留量为原来的3；经过第四次漂洗，存留量为原来的4，……，经过第x次漂洗，存留量为原来的x.由题意得，x≤，4x≥100,2x≥10，

∴x≥4，即至少漂洗4次．]

8．设0≤x≤2，y＝4x－3×2x＋5的最大值为________，最小值为________．

　　[令t＝2x,0≤x≤2，

∴1≤t≤4.

则y＝22x－1－3×2x＋5＝t2－3t＋5

＝(t－3)2＋，t∈[1,4]，

∴y＝(t－3)2＋在[1,3]上是减函数，在[3,4]上是增函数，

∴当t＝3时，ymin＝；

当t＝1时，ymax＝.

故函数的最大值为，最小值为.]

三、解答题

9．已知函数f(x)＝ax2－4x＋3.

(1)当a＝－1时，求函数f(x)的单调增区间；

(2)如果函数f(x)有最大值3，求实数a的值．

[解]　(1)当a＝－1时，f(x)＝－x2－4x＋3，

令g(x)＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7，

由于g(x)在[－2，＋∞)上递减，

y＝x在R上是减函数，

∴f(x)在[－2，＋∞)上是增函数，

即f(x)的单调增区间是[－2，＋∞)．

(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝h(x)，

由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1.

因此必有解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值为1.

10．某医药研究所开发一种抗流感新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．

(1)结合图象，求k与a的值；

(2)写出服药后y与t之间的函数关系式y＝f(t)；

(3)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.5微克时治疗疾病有效，求服药一次治疗有效的时间范围？

[解]　(1)由题意，当0≤t≤1时，函数图象是一条线段，由于过原点与点(1,4)，所以k＝4.

当t≥1时，函数的解析式为y＝t－a，

此时M(1,4)在曲线上，将此点的坐标代入函数解析式得4＝1－a，解得a＝3.

(2)由(1)知，f(t)＝

(3)由(2)知，令f(t)≥0.5，即

∴≤t≤4.

1．(多选题)若函数f(x)＝的定义域为R，则实数a的取值可能是

(　　)

A．－1 B．1 

C．－ D．

AC　[依题意，2x2＋2ax－a－1≥0对任意x∈R恒成立，即x2＋2ax－a≥0恒成立，

∴Δ＝4a2＋4a≤0，∴－1≤a≤0.]

2．函数f(x)＝[(1＋2x)－|1－2x|]的图象大致为(　　)

 　　            A　　　 　B　　　　C　　　　D

A　[根据题意，由于函数f(x)＝[(1＋2x)－|1－2x|]＝＝根据解析式，结合分段函数的图象可知， 在y轴右侧是常函数， 所以排除B，D，而在y轴的左侧，是递增的指数函数，故排除C，因此选A.]

3．现有某种细胞100个，其中占总数的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞．按这种规律发展下去，经过________小时，细胞总数可以超过1010个？(参考数据：lg 3≈0.477，lg 2≈0.301)

46　[由题意知1小时后细胞总数为×100＋×100×2＝×100，

2小时后细胞总数为××100＝2×100，

3小时后细胞总数为×2×100＝3×100.

可见细胞总数y与时间x(小时)之间的函数关系为y＝100×x，x∈N*，

由100×x>1010得x>108，

两边取对数得xlg>8，

∴x>≈≈45.45.∴x>45.45，

∴经过46小时，细胞总数超过1010个．]

4．如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0且a≠1)在[－1,1]上有最大值14，a的值为________．

或3　[设t＝ax>0，则原函数可化为y＝(t＋1)2－2，

①若a>1，∵x∈[－1,1]，∴－1<≤t≤a.

∵t＝ax在[－1,1]上递增，y＝(t＋1)2－2在上也递增，

∴原函数在[－1,1]上递增．

故当x＝1时，ymax＝a2＋2a－1.

由a2＋2a－1＝14，解得a＝3或a＝－5(舍去)．

②若0<a<1，可得当x＝－1时，

ymax＝a－2＋2a－1－1＝14，

解得a＝或a＝－(舍去)．

综上，a＝或3.]

设函数f(x)＝(a>0且a≠1)．

(1)判断f(x)的奇偶性；

(2)若f(x)≥，求x的取值范围．

[解]　(1)函数f(x)＝(a>0且a≠1)，定义域为R，

所以f(－x)＝＝＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．

(2)f(x)≥，即≥，ax>0,2－2ax≥1＋ax，解得ax≤，

当a>1时，x＝logaax≤loga＝－loga3，

当0<a<1时，x＝logaax≥loga＝－loga3，

综上所述：当a>1时，x≤－loga3，当0<a<1时，x≥－loga3.