高考数学一轮复习第八章第九节第2课时最值范围证明问题课时作业理含解析北师大版

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第2课时 最值、范围、证明问题授课提示：对应学生用书第371页[A组　基础保分练]1．（2021·河北武邑中学模拟）抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．（1）O为坐标原点，求证：·＝－3；（2）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．解析：（1）证明：依题意得F（1，0），且直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为x＝my＋1．联立消去x得y2－4my－4＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4．x1x2＝（my1＋1）（my2＋1）＝m2y1y2＋m（y1＋y2）＋1＝1，故·＝x1x2＋y1y2＝－3．（2）由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2S△AOB．由（1）知2S△AOB＝2×|OF||y1－y2|＝＝4，所以当m＝0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4．2．（2021·张家口联考）过椭圆C：＋＝1（0＜b＜3）的上顶点A作相互垂直的两条直线，分别交椭圆于不同的两点M，N（点M，N与点A不重合）．（1）设椭圆的下顶点为B（0，－b），当直线AM的斜率为时，若S△ANB＝2S△AMB，求b的值；（2）若存在点M，N，使得|AM|＝|AN|，且直线AM，AN的斜率的绝对值都不为1，求实数b的取值范围．解析：设M（x1，y1），N（x2，y2）．设直线AM的斜率为k，则由条件可知，直线AM的方程为y＝kx＋b，于是消去y整理得（9k2＋b2）x2＋18kbx＝0，∴x1＝－，同理，x2＝．（1）由S△ANB＝2S△AMB，得x2＝－2x1，于是＝2·，即2b2k2＋18＝b2＋9k2，其中k＝，代入得b＝．（2）|AM|＝·|x1|＝·，|AN|＝ ·|x2|＝ ·．由|AM|＝|AN|，得＝ ·，不妨设k＞0，且k≠1，则有b2＋9k2＝b2k3＋9k，整理得（k－1）[b2k2＋（b2－9）k＋b2]＝0．则b2k2＋（b2－9）k＋b2＝0有不为1的正根．只需解得0＜b＜．∴实数b的取值范围是（0，）．[B组　能力提升练]1．（2021·成都高三一诊）已知椭圆＋＝1的右焦点为F，设直线l：x＝5与x轴的交点为E，过点F且斜率为k的直线l1与椭圆交于A，B两点，M为线段EF的中点．（1）若直线l1的倾斜角为，求△ABM的面积S的值；（2）过点B作直线BN⊥l于点N，证明：A，M，N三点共线．解析：（1）由题意，知F（1，0），E（5，0），M（3，0）．设A（x1，y1），B（x2，y2）．∵直线l1的倾斜角为，∴k＝1．∴直线l1的方程为y＝x－1，即x＝y＋1．代入椭圆方程，可得9y2＋8y－16＝0．∴y1＋y2＝－，y1y2＝－．∴S△ABM＝·|FM|·|y1－y2|＝＝ ＝．（2）证明：设直线l1的方程为y＝k（x－1）．代入椭圆方程，得（4＋5k2）x2－10k2x＋5k2－20＝0，即x1＋x2＝，x1x2＝．∵直线BN⊥l于点N，∴N（5，y2）．∴kAM＝，kMN＝．而y2（3－x1）－2（－y1）＝k（x2－1）（3－x1）＋2k（x1－1）＝－k[x1x2－3（x1＋x2）＋5]＝－k＝0，∴kAM＝kMN，故A，M，N三点共线．2．已知椭圆M：＋＝1（a＞0）的一个焦点为F（－1，0），左、右顶点分别为A，B，经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．（1）当直线l的倾斜角为45°时，求线段CD的长；（2）记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求|S1－S2|的最大值．解析：（1）由题意，c＝1，b2＝3，所以a2＝4，所以椭圆M的方程为＋＝1，易求直线方程为y＝x＋1，联立方程，得消去y，得7x2＋8x－8＝0，Δ＝288＞0，设C（x1，y1），D（x2，y2），x1＋x2＝－，x1x2＝－，所以|CD|＝|x1－x2|＝ ＝．（2）当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝－1，此时△ABD与△ABC面积相等，|S1－S2|＝0；当直线l的斜率存在时，设直线方程为y＝k（x＋1）（k≠0），联立方程，得消去y，得（3＋4k2）x2＋8k2x＋4k2－12＝0，Δ＞0，且x1＋x2＝－，x1x2＝，此时|S1－S2|＝2||y2|－|y1||＝2|y2＋y1|＝2|k（x2＋1）＋k（x1＋1）|＝2|k（x1＋x2）＋2k|＝，因为k≠0，上式＝≤＝＝，所以|S1－S2|的最大值为．[C组　创新应用练]（2021·石家庄摸底）圆O的方程为x2＋y2＝9，P为圆上任意一点，过P作x轴的垂线，垂足为D，点Q在PD上，且＝．（1）求点Q的轨迹C的方程；（2）过点F（－，0）的直线与曲线C交于A，B两点，点M的坐标为（3，0），△MAB的面积为S，求S的最大值，及S取得最大值时直线AB的方程．解析：（1）设P（x0，y0），则D（x0，0），设Q（x，y），则＝（0，y0），＝（x－x0，y），因为＝，所以把P（x0，y0）代入圆的方程得x2＋y2＝9，所以点Q的轨迹C的方程为＋＝1．（2）由题意易知直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为x＝ty－，A（x1，y1），B（x2，y2），由得（4t2＋9）y2－8ty－16＝0，所以y1＋y2＝，y1y2＝－．S＝×（3＋）×|y1－y2|＝×＝＝12（3＋）·≤12（3＋）×＝＝，当且仅当t＝±时取等号，所以△MAB的面积S的最大值为，当S取得最大值时，直线AB的方程为y＝2x＋2或y＝－2x－2．