高考数学一轮复习第八章第九节第1课时直线与圆锥曲线的位置关系课时作业理含解析北师大版

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第1课时 直线与圆锥曲线的位置关系

授课提示：对应学生用书第369页
[A组　基础保分练]
1．过抛物线y2＝8x的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则|AB|等于（　　）
A．8　　　　　　　 B．10
C．12 D．14
解析：由题设知线段AB的中点到准线的距离为5，
设A，B两点到准线的距离分别为d1，d2，
由抛物线的定义知：|AB|＝|AF|＋|BF|＝d1＋d2＝2×5＝10．
答案：B
2．（2021·广州调研）在平面直角坐标系xOy中，直线x＋y－2＝0与椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）相切，且椭圆C的右焦点F（c，0）关于直线l：y＝x的对称点E在椭圆C上，则△OEF的面积为（　　）
A． B．
C．1 D．2
解析：联立方程可得消去x，化简得（a2＋2b2）y2－8b2y＋b2（8－a2）＝0，由Δ＝0得2b2＋a2－8＝0．设F′为椭圆C的左焦点，连接F′E（图略），易知F′E∥l，所以F′E⊥EF，又点F到直线l的距离d＝＝，所以|EF|＝，|F′E|＝2a－|EF|＝，在Rt△F′EF中，|F′E|2＋|EF|2＝|F′F|2，化简得2b2＝a2，代入2b2＋a2－8＝0得b2＝2，a＝2，所以|EF|＝|F′E|＝2，所以S△OEF＝S△F′EF＝1．
答案：C
3．椭圆ax2＋by2＝1（a＞0，b＞0）与直线y＝1－x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为（　　）
A． B．
C． D．
解析：把y＝1－x代入椭圆ax2＋by2＝1得ax2＋b（1－x）2＝1，
整理得（a＋b）x2－2bx＋b－1＝0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1＋x2＝，y1＋y2＝2－＝，
所以线段AB的中点坐标为，
所以过原点与线段AB中点的直线的斜率
k＝＝＝，
所以＝．
答案：B
4．已知椭圆C：＋＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，直线l与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点为M（－2，1），则直线l的斜率为（　　）
A． B．
C． D．1
解析：由e＝＝，得＝＝，
所以a2＝4b2，则椭圆方程为x2＋4y2＝4b2．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2，
把A，B的坐标代入椭圆方程得

①－②得（x1－x2）（x1＋x2）＝－4（y1－y2）（y1＋y2），
所以＝－＝－＝．
所以直线l的斜率为．
答案：C
5．在直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直l于点Q，M，N分别为PQ，PF的中点，直线MN与x轴交于点R，若∠NFR＝60°，则|NR|＝（　　）
A．2 B．
C．2 D．3
解析：如图，连接MF，QF，设准线l与x轴交于点H．

∵y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，∴|FH|＝2，|PF|＝|PQ|．
∵M，N分别为PQ，PF的中点，
∴MN∥QF．∵PQ垂直l于点Q，∴PQ∥OR，∵|PQ|＝|PF|，∠NFR＝60°，
∴△PQF为等边三角形，∴MF⊥PQ，∴F为HR的中点，∴|FR|＝|FH|＝2，∴|NR|＝2．
答案：A
6．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的准线方程为x＝－1，焦点为F，A，B，C为抛物线上不同的三点，||，||，||成等差数列，且点B在x轴下方，若＋＋＝0，则直线AC的方程为（　　）
A．2x－y－1＝0 B．x－2y－1＝0
C．2x－y＋1＝0 D．x－2y＋1＝0
解析：抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－＝－1，
∴p＝2，
∴抛物线方程为y2＝4x，F（1，0）．设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），根据抛物线的定义得，||＝x1＋1，||＝x2＋1，||＝x3＋1，∵||，||，||成等差数列，∴2||＝||＋||，即2（x2＋1）＝x1＋1＋x3＋1，整理得x1＋x3＝2x2．又＋＋＝0，∴x1－1＋x2－1＋x3－1＝0，y1＋y2＋y3＝0，∴x2＝1．又y2＜0，∴y2＝－2，∴x1＋x3＝2，y1＋y3＝2，∴AC的中点坐标为（1，1），kAC＝＝＝＝2，∴直线AC的方程为y－1＝2（x－1），即2x－y－1＝0．
答案：A
7．（2021·广州模拟）已知F为抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点，曲线C1是以F为圆心，为半径的圆，直线2x－6y＋3p＝0与曲线C，C1从左至右依次相交于P，Q，R，S，则＝_________．
解析：可得直线2x－6y＋3p＝0与y轴交点是抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点F，

由得x2－px－p2＝0⇒xP＝－p，xS＝p⇒yP＝p，yS＝p．
|RS|＝|SF|－＝yS＋－＝p，|PQ|＝|PF|－＝yP＋－＝p．
∴则＝．
答案：
8．已知点A（0，1），抛物线C：y2＝ax（a＞0）的焦点为F，连接FA，与抛物线C相交于点M，延长FA，与抛物线C的准线相交于点N，若|FM|∶|MN|＝1∶2，则实数a的值为_________．
解析：依题意得抛物线的焦点F的坐标为，过M作抛物线的准线的垂线，垂足为K（图略），由抛物线的定义知|MF|＝|MK|．因为|FM|∶|MN|＝1∶2，所以|KN|∶|KM|＝∶1，又kFN＝＝－，kFN＝－＝－，所以－＝－，解得a＝．
答案：
9．（2021·北京海淀区模拟）已知椭圆C：＋＝1，直线l：x＋y－2＝0与椭圆C相交于两点P，Q，与x轴交于点B，点P，Q与点B不重合．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）当S△OPQ＝2时，求椭圆C的方程；
（3）过原点O作直线l的垂线，垂足为N．若|PN|＝λ|BQ|，求实数λ的值．
解析：（1）a2＝3m，b2＝m，c2＝2m，e2＝＝，故e＝．（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），y1y2≠0，将x＋y－2＝0代入椭圆C的方程并整理得4x2－12x＋12－3m＝0，依题意，由Δ＝（－12）2－4×4×（12－3m）＞0得m＞1．且有
|PQ|＝|x1－x2|＝·＝，
原点到直线l的距离d＝，所以S△OPQ＝|PQ|·d＝×·×＝2．
解得m＝＞1，故椭圆方程为＋＝1．
（3）直线l的垂线为ON：y＝x，
由解得交点N（1，1）．
因为|PN|＝λ|BQ|，又x1＋x2＝3，
所以λ＝＝＝＝1，
故λ的值为1．
10．（2020·高考全国卷Ⅲ）已知椭圆C：＋＝1（0＜m＜5）的离心率为，A，B分别为C的左、右顶点．
（1）求C的方程；
（2）若点P在C上，点Q在直线x＝6上，且|BP|＝|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ的面积．
解析：（1）由题设可得＝，得m2＝，
所以C的方程为＋＝1．
（2）设P（xP，yP），Q（6，yQ），根据对称性可设yQ＞0，由题意知yP＞0．
由已知可得B（5，0），直线BP的方程为y＝－（x－5），
所以|BP|＝yP，|BQ|＝．
因为|BP|＝|BQ|，所以yP＝1．
将yP＝1代入C的方程，解得xP＝3或－3．
由直线BP的方程得yQ＝2或8．所以点P，Q的坐标分别为P1（3，1），Q1（6，2）；P2（－3，1），Q2（6，8）．
|P1Q1|＝，直线P1Q1的方程为y＝x，点A（－5，0）到直线P1Q1的距离为，故△AP1Q1的面积为××＝．
|P2Q2|＝，直线P2Q2的方程为y＝x＋，点A到直线P2Q2的距离为，故△AP2Q2的面积为××＝．
综上，△APQ的面积为．
[B组　能力提升练]
1．（2021·郑州调研）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）与圆D：x2＋y2－2ax＋a2＝0交于A，B两点，连接OA，AD，DB，OB，若四边形OADB（O为原点）是菱形，则椭圆C的离心率为（　　）
A． B．
C． D．
解析：由已知得圆D：（x－a）2＋y2＝a2，圆心D（a，0），则菱形OADB对角线的交点的坐标为．将x＝代入圆D的方程，得y＝±a，不妨设点A在x轴上方，即A．将点A的坐标代入椭圆C的方程可得＋＝1，所以a2＝b2＝a2－c2，得a＝2c，所以椭圆C的离心率e＝＝．
答案：B
2．（2021·长沙模拟）已知F1，F2分别是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，P是其一条渐近线上的一点，且以F1F2为直径的圆经过点P，则△PF1F2的面积为（　　）
A． B．1
C． D．2
解析：设P（x0，y0），不妨设点P在双曲线C的过一、三象限的渐近线x－y＝0上，因此可得x0－y0＝0．易知F1（0，），F2（0，－），所以|F1F2|＝2，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝2，又以F1F2为直径的圆经过点P，所以x＋y＝2．由得|x0|＝1，于是S△PF1F2＝|F1F2|·|x0|＝×2×1＝．
答案：C
3．如图，点A为双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的右顶点，点P为双曲线上一点，作PB⊥x轴，垂足为B，若A为线段OB的中点，且以A为圆心，AP为半径的圆与双曲线C恰有三个公共点，则双曲线C的离心率为（　　）

A． B．
C．2 D．
解析：法一：由题意可得A（a，0），又A为线段OB的中点，所以可得B（2a，0），
令x＝2a，则y＝±b，可取P（2a，－b）．
由题意可得圆A经过双曲线的左顶点（－a，0），即|AP|＝2a，即2a＝，可得a＝b，e＝＝＝．
法二：设双曲线C的左顶点为M，圆A与x轴的正半轴交于点N．由已知易得|PB|＝b，|BM|＝3a，|BN|＝a，连接PM，PN（图略），则PM⊥PN，在Rt△PMN中，PB⊥MN，所以|PB|2＝|BM|·|BN|，所以3b2＝3a2，因为c2＝b2＋a2，所以e＝＝．
答案：A
4．（2021·济南模拟）已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）上一点M（4，y0）到焦点F的距离为5．
（1）求抛物线E的方程；
（2）直线l与圆C：x2＋y2－4x＝0相切且与抛物线E相交于A，B两点，若△AOB的面积为4（O为坐标原点），求直线l的方程．
解析：（1）由抛物线的定义知4＋＝5，所以p＝2，
因此，抛物线E的方程为y2＝4x．
（2）由题意知，直线l与y轴不垂直，
设直线l的方程为x＝my＋n．
因为直线l与圆C相切，
又圆C的圆心为（2，0），
所以＝2，
所以4m2＝n2－4n．
设点A（x1，y1），B（x2，y2），
由
消去x得y2－4my－4n＝0，
由根与系数的关系得y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n．
则|AB|＝·|y1－y2|
＝·
＝·
＝4·，
又原点O到直线l的距离为d＝，
所以S△AOB＝|AB|·d
＝×4··
＝2，
所以2＝4，
所以（m2＋n）n2＝4，
又4m2＝n2－4n，
解得n＝±2．
当n＝2时，m2＝－1不成立；
当n＝－2时，m2＝3，所以m＝±．
经检验，所求直线方程为x＝±y－2，
即x±y＋2＝0．
5．已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的一个顶点是B（0，2），离心率e＝，
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知直线l与椭圆交于M，N两点，且△BMN的重心恰好是椭圆的右焦点F，求直线l的方程．
解析：（1）由b＝2，e＝，得c2＝1，a2＝5，
所以椭圆的标准方程为＋＝1．
（2）设P为MN的中点，
由题意得＝2，B（0，2），F（1，0），
设P（x，y），则
＝（1，－2），＝（x－1，y），
得
所以
所以P．
设M（x1，y1），N（x2，y2），
所以＝，＝－1，
代入椭圆方程得
得kMN＝＝，
所以直线MN的方程为y＋1＝，
即直线l的方程为6x－5y－14＝0．
[C组　创新应用练]
1．设双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|AF2|＋|BF2|的最小值为（　　）
A．13 B．12
C．11 D．10
解析：由题意得双曲线的实半轴长a＝2，虚半轴长b＝．根据双曲线的定义得|AF2|－|AF1|＝2a＝4，①　|BF2|－|BF1|＝2a＝4，②　①＋②得|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋8＝|AB|＋8．又|AB|min＝＝3，所以|AF2|＋|BF2|的最小值为11．
答案：C
2．如图，过抛物线y2＝4x的焦点F作直线l，交抛物线于P，Q两点，以线段PQ为直径的圆M交x轴于A，B两点，交y轴于C，D两点，则的最小值为（　　）

A． B．
C． D．
解析：由题意知F（1，0），设直线l的方程为x＝my＋1，代入y2＝4x，并消去x，得y2－4my－4＝0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，M（2m2＋1，2m），圆M的半径r＝|PQ|＝|y1－y2|＝＝2m2＋2．过M作MG⊥AB于点G，MH⊥CD于点H（图略），则|AB|2＝（2|AG|）2＝4（r2－|MG|2）＝4[（2m2＋2）2－（2m）2]＝16（m4＋m2＋1），|CD|2＝（2|DH|）2＝4（r2－|MH|2）＝4[（2m2＋2）2－（2m2＋1）2]＝4（4m2＋3）．令4m2＋3＝t，则t≥3，m2＝，＝4×＝4×＝＝≥（－1），故当t＝，即t＝，m2＝时，取得最小值．
答案：D
3．（2021·嘉兴教学测试）如图，已知抛物线C1：y2＝4x和圆C2：（x－1）2＋y2＝1，直线l经过C1的焦点F，自上而下依次交C1和C2于A，B，C，D四点，则·的值为（　　）

A． B．
C．1 D．2
解析：法一：因为直线l经过抛物线C1的焦点F（1，0），所以可设l：x＝my＋1．将直线方程与抛物线方程联立，消元化简可得y2－4my－4＝0，设A（x1，y1），D（x2，y2），则y1y2＝－4．·＝||·||＝（x1＋1－1）（x2＋1－1）＝x1x2＝·＝＝1．
法二：不妨考虑特殊情况，即l⊥x轴，则A（1，2），B（1，1），C（1，－1），D（1，－2），所以＝（0，－1），＝（0，－1），所以·＝1．
答案：C