高考数学一轮复习第四章第二节平面向量的基本定理及坐标表示课时作业理含解析北师大版

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平面向量的基本定理及坐标表示授课提示：对应学生用书第317页[A组　基础保分练]1．在平行四边形ABCD中，AC为对角线，若＝（2，4），＝（1，3），则＝（　　）A．（－2，－4）　　　　　　 B．（－3，－5）C．（3，5）  D．（2，4）解析：由题意得＝－＝－＝（－）－＝－2＝（1，3）－2（2，4）＝（－3，－5）．答案：B2．若向量a＝（2，1），b＝（－2，3），则以下向量中与向量2a＋b共线的是（　　）A．（－5，2）  B．（4，10）C．（10，4）  D．（1，2）解析：因为向量a＝（2，1），b＝（－2，3），所以2a＋b＝（2，5）．因为4×5－10×2＝0，故向量（4，10）与向量2a＋b共线．答案：B3．如图所示，在△OAB中，P为线段AB上的一点，＝x＋y，且＝2，则（　　）A．x＝，y＝B．x＝，y＝C．x＝，y＝D．x＝，y＝解析：由题意知＝＋，又＝2，所以＝＋＝＋（－）＝＋，所以x＝，y＝．答案：A4．已知在平面直角坐标系xOy中，P1（3，1），P2（－1，3），P1，P2，P3三点共线且向量与向量a＝（1，－1）共线，若＝λ＋（1－λ），则λ＝（　　）A．－3  B．3C．1  D．－1解析：设＝（x，y），则由∥a知x＋y＝0，于是＝（x，－x）．若＝λ＋（1－λ），则有（x，－x）＝λ（3，1）＋（1－λ）（－1，3）＝（4λ－1，3－2λ），即所以4λ－1＋3－2λ＝0，解得λ＝－1．答案：D5．在平面直角坐标系xOy中，已知A（1，0），B（0，1），C为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC＝，且|OC|＝2，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝（　　）A．2  B．C．2  D．4解析：因为|OC|＝2，∠AOC＝，所以C（，），又＝λ＋μ，所以（，）＝λ（1，0）＋μ（0，1）＝（λ，μ），所以λ＝μ＝，λ＋μ＝2．答案：A6．（2021·合肥质检）已知向量a＝（1，3），b＝（－2，k），且（a＋2b）∥（3a－b），则实数k＝_________．解析：a＋2b＝（－3，3＋2k），3a－b＝（5，9－k），由题意可得－3（9－k）＝5（3＋2k），解得k＝－6．答案：－67．（2021·荆门阶段检测）在△AOB中，＝，D为OB的中点，若＝λ＋μ，则λμ的值为_________．解析：因为＝，所以＝（－），因为D为OB的中点，所以＝，所以＝＋＝－＋（＋）＝－＋＋（－）＝－，所以λ＝，μ＝－，则λμ的值为－．答案：－8．已知在△ABC中，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝120°，AD为角平分线．（1）求AD的长度；（2）过点D作直线交AB，AC的延长线于不同两点E，F，且满足＝x，＝y，求＋的值，并说明理由．解析：（1）根据角平分线定理：＝＝2，所以＝，所以＝＋＝＋＝＋（－）＝＋，所以2＝2＋·＋2＝－＋＝，所以AD＝．（2）因为＝x，＝y，所以＝＋＝＋，因为E，D，F三点共线，所以＋＝1，所以＋＝3．9．已知A（－2，4），B（3，－1），C（－3，－4），设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b．求：（1）3a＋b－3c；（2）满足a＝mb＋nc的实数m，n；（3）M，N的坐标及的坐标．解析：由已知得a＝（5，－5），b＝（－6，－3），c＝（1，8）．（1）3a＋b－3c＝3（5，－5）＋（－6，－3）－3（1，8）＝（15－6－3，－15－3－24）＝（6，－42）．（2）∵mb＋nc＝（－6m＋n，－3m＋8n）＝（5，－5），∴解得（3）设O为坐标原点，∵＝－＝3c，∴＝3c＋＝（3，24）＋（－3，－4）＝（0，20），∴M（0，20）．又∵＝－＝－2b，∴＝－2b＋＝（12，6）＋（－3，－4）＝（9，2），∴N（9，2），∴＝（9，－18）．[B组　能力提升练]1．已知O为△ABC的外心，AB＝2，AC＝3，若＝x＋y（xy≠0），x＋2y＝1，则cos∠BAC的值为（　　）A．  B．C．  D．解析：设A（0，0），C（3，0），∠BAC＝α，则B（2cos α，2sin α）．∵O是△ABC的外心，∴O的横坐标是，∵＝x＋y，∴＝x·2cos α＋3y，又x＋2y＝1，∴x＋3y＝，∴x·2cos α＋3y＝x＋3y，∴2cos α＝，即cos∠BAC＝．答案：A2．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝（a，b）与n＝（cos A，sin B）平行，则A＝（　　）A．  B．C．  D．解析：因为m∥n，所以asin B－bcos A＝0，由正弦定理，得sin Asin B－sin Bcos A＝0，又sin B≠0，从而tan A＝，由于0＜A＜π，所以A＝．答案：B3．（2021·衡水中学调研）直线l与平行四边形ABCD中的两边AB，AD分别交于点E，F，交AC于点M，若＝2，＝3，＝λ－μ（λ，μ∈R），则μ－λ＝（　　）A．－  B．1C．  D．－3解析：由题意及几何关系可得AM＝AC，则＝，即＝0－，所以μ＝－，λ＝0，则μ－λ＝－．答案：A4．已知a＝（1，x），b＝（y，1），x＞0，y＞0．若a∥b，则的最大值为（　　）A．  B．1C．  D．2解析：a∥b⇒xy＝1，所以y＝，所以＝＝≤＝，所以的最大值为．答案：A5．设向量a，b满足|a|＝2，b＝（2，1），且a与b的方向相反，则a的坐标为_________．解析：∵b＝（2，1），且a与b的方向相反，∴设a＝（2λ，λ）（λ＜0）．∵|a|＝2，∴4λ2＋λ2＝20，λ2＝4，λ＝－2．∴a＝（－4，－2）．答案：（－4，－2）6．设＝（1，－2），＝（a，－1），＝（－b，0），a＞0，b＞0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则＋的最小值是_________．解析：据已知可知∥，又∵＝（a－1，1），＝（－b－1，2），∴2（a－1）－（－b－1）＝0，∴2a＋b＝1，∴＋＝＋＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号，∴＋的最小值是8．答案：87．已知点A，B为单位圆O上的两点，点P为单位圆O所在平面内的一点，且与不共线．（1）在△OAB中，点P在AB上，且＝2，若＝r＋s，求r＋s的值；（2）已知点P满足＝m＋（m为常数），若四边形OABP为平行四边形，求m的值．解析：（1）因为＝2，所以＝，所以＝（－）＝－，又因为＝r＋s，所以r＝，s＝－，所以r＋s＝0．（2）因为四边形OABP为平行四边形，所以＝＋，又因为＝m＋，所以＝＋（m＋1），依题意，是非零向量且不共线，所以m＋1＝0，解得m＝－1．[C组　创新应用练]1．（2021·包河区校级月考）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB分为两线段AC，CB，使得其中较长的一段AC是全长与另一段CB的比例中项，即满足＝＝，后人把这个数称为黄金分割数，把点C称为线段AB的黄金分割点．在△ABC中，若点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，设＝x1＋y1，＝x2＋y2，则＋＝（　　）A．  B．2C．  D．＋1解析：由题意，＝＋＝＋＝＋（－）＝＋＝＋，同理，＝＋＝＋＝＋（－）＝＋．所以x1＝y2＝，x2＝y1＝．所以＋＝＋＝．答案：C2．已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝5，I是△ABC的内心，P是△IBC内部（不含边界）的动点．若＝λ＋μ（λ，μ∈R），则λ＋μ的取值范围是_________．解析：以B为原点，BA，BC所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则B（0，0），A（3，0），C（0，4）．设△ABC的内切圆的半径为r，因为I是△ABC的内心，所以（5＋3＋4）×r＝4×3，解得r＝1，所以I（1，1）．设P（x，y），因为点P在△IBC内部（不含边界），所以0＜x＜1．因为＝（－3，0），＝（－3，4），＝（x－3，y），且＝λ＋μ，所以解得所以λ＋μ＝1－x，又0＜x＜1，所以λ＋μ∈．答案：