高考数学一轮复习第四章第四节数系的扩充与复数的引入课时作业理含解析北师大版

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第四节 数系的扩充与复数的引入授课提示：对应学生用书第321页[A组　基础保分练]1．（1＋3i）（1－i）＝（　　）A．4＋2i　　　　　　　 B．2＋4iC．－2＋2i  D．2－2i解析：（1＋3i）（1－i）＝1＋3i－i－3i2＝4＋2i．答案：A2．复数z满足2＋3i＝zi（其中i是虚数单位），则z的虚部为（　　）A．2　　　 B．－3　　　　C．3　　　 D．－2解析：由2＋3i＝zi可得z＝＝＝3－2i，所以z的虚部为－2．答案：D3．已知a＋bi（a，b∈R）是的共轭复数，则a＋b＝（　　）A．－1  B．－ C．  D．1解析：＝＝＝－i＝a－bi，所以a＝0，b＝1，所以a＋b＝1．答案：D4．（2021·漳州一检）已知复数z满足z（3＋i）＝3＋i2 020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（　　）A．－i  B．－  C．i  D．解析：∵i2 020＝（i4）505＝1，∴z＝＝＝－i，∴＝＋i，因此，复数的虚部为．答案：D5．（2021·西安模拟）复数z＝2i2＋i5的共轭复数在复平面上对应的点在（　　）A．第一象限  B．第二象限C．第三象限  D．第四象限解析：因为z＝2i2＋i5＝－2＋i，所以＝－2－i，其在复平面上对应的点为（－2，－1），位于第三象限．答案：C6．设复数z满足|z－1－i|＝，则|z|的最大值为（　　）A．  B．2  C．2  D．4解析：复数z满足|z－1－i|＝，故复数z对应的复平面上的点是以A（1，1）为圆心，为半径的圆，|AO|＝（O为坐标原点），故|z|的最大值为＋＝2．答案：C7．设复数z满足＝|1－i|＋i（i为虚数单位），则复数z＝_________．解析：复数z满足＝|1－i|＋i＝＋i，则复数z＝－i．答案：－i8．已知复数z＝（i为虚数单位）在复平面内对应的点在直线x－2y＋m＝0上，则m＝_________．解析：z＝＝＝＝1－2i，复数z在复平面内对应的点的坐标为（1，－2），将其代入x－2y＋m＝0，得m＝－5．答案：－59．设复数z＝lg（m2－2m－2）＋（m2＋3m＋2）i（i是虚数单位），试求实数m取何值时：（1）z是纯虚数；（2）z是实数；（3）z对应的点位于复平面的第二象限．解析：（1）由题意可得解得m＝3．（2）由题意可得解得m＝－1或m＝－2．（3）由题意可得即解得－1<m<1－或1＋<m<3．10．（1）复数z＝|（－i）i|＋i2 018（i为虚数单位），求|z|；（2）定义：＝ad－bc，若复数z满足＝－1－i，求z．解析：（1）z＝|（－i）i|＋i2 018＝|1＋i|＋i2 016＋2＝2＋i2＝2－1＝1，故|z|＝1．（2）根据定义，得＝－zi－i＝－1－i，则iz＝1，∴z＝＝＝－i．[B组　能力提升练]1．（2021·成都模拟）已知（1＋i）（1－ai）＞0（i为虚数单位），则实数a等于（　　）A．－1  B．0  C．1  D．2解析：（1＋i）（1－ai）＝（1＋a）＋（1－a）i＞0，所以所以a＝1．答案：C2．设复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z1＝2＋i，则＝（　　）A．1＋i  B．＋iC．1＋i  D．1＋i解析：因为复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z1＝2＋i，所以z2＝2－i，所以＝＝＝＋i．答案：B3．（2021·咸宁联考）若复数z满足＝1－i，则z的共轭复数是（　　）A．＋i  B．－iC．－＋i  D．－－i解析：∵＝1－i，∴z＝＝，∴＝－－i．答案：D4．若复数z＝cos x－1＋（sin x＋2）i为纯虚数（x∈R，i是虚数单位），则|z|等于（　　）A．2  B．3C．4  D．与x的取值有关解析：依题意得，cos x－1＝0，则cos x＝1，∵sin2x＋cos2x＝1，∴sin x＝0，则z＝2i，则|z|＝2．答案：A5．（2021·蓉城名校高三第一次联考）设复数z＝x＋yi（x，y∈R）满足z＝3＋2i2＋i5，则的值为（　　）A．  B．  C．1  D．解析：z＝3＋2i2＋i5＝1＋i＝x＋yi，所以x＝1，y＝1，所以＝．答案：A6．（2021·衡水中学高三联考）已知i为虚数单位，是复数z的共轭复数，复数z＝，则复数在复平面内对应的点位于（　　）A．第二象限  B．第四象限C．直线3x－2y＝0上  D．直线3x＋2y＝0上解析：z＝＝＝－＋i，＝－－i，它在复平面内的点为，位于第三象限，且在直线3x－2y＝0上．答案：C7．（2020·高考全国卷Ⅱ）设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝＋i，则|z1－z2|＝_________．解析：法一：设z1－z2＝a＋bi，a，b∈R，因为z1＋z2＝＋i，所以2z1＝（＋a）＋（1＋b）i，2z2＝（－a）＋（1－b）i．因为|z1|＝|z2|＝2，所以|2z1|＝|2z2|＝4，所以＝4，①＝4，②①2＋②2得a2＋b2＝12．所以|z1－z2|＝＝2．法二：设复数z1，z2在复平面内分别对应向量，，则z1＋z2对应向量＋．由题知||＝||＝|＋|＝2，如图所示，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则z1－z2对应向量，OA＝AC＝OC＝2，可得BA＝2OAsin 60°＝2．故|z1－z2|＝||＝2．答案：28．已知复数z＝（2＋i）（a＋2i3）在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围是_________．解析：复数z＝（2＋i）（a＋2i3）＝（2＋i）（a－2i）＝2a＋2＋（a－4）i，其在复平面内对应的点（2a＋2，a－4）在第四象限，则2a＋2>0，且a－4<0，解得－1<a<4，则实数a的取值范围是（－1，4）．答案：（－1，4）[C组　创新应用练]1．（2021·南昌模拟）欧拉公式eix＝cos x＋isin x（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，ei表示的复数位于复平面中的（　　）A．第一象限  B．第二象限C．第三象限  D．第四象限解析：由题意可得ei＝cos＋isin＝＋i，即ei表示的复数位于复平面中的第一象限．答案：A2．若实数a，b，c满足a2＋a＋bi<2＋ci，集合A＝{x|x＝a}，B＝{x|x＝b＋c}，则A∩（∁RB）为（　　）A．∅B．{0}C．{x|－2<x<1}D．{x|－2<x<0或0<x<1}解析：由于只有实数之间才能比较大小，故a2＋a＋bi<2＋ci⇔解得因此A＝{x|－2<x<1}，B＝{0}，故A∩（∁RB）＝{x|－2<x<1}∩{x|x∈R，x≠0}＝{x|－2<x<0或0<x<1}．答案：D3．设有下面四个命题：p1：若复数z满足∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝1；p4：若复数z∈R，则∈R．其中的真命题为（　　）A．p1，p3  B．p1，p4C．p2，p3  D．p2，p4解析：p1：设z＝a＋bi，则＝＝∈R，得到b＝0，所以z∈R．故p1正确；p2：若z2＝－1，满足z2∈R，而z＝i，不满足z∈R，故p2不正确；p3：若z1＝1，z2＝2，则z1z2＝2，满足z1z2∈R，而它们实部不相等，不是共轭复数，故p3不正确；p4：实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故p4正确．答案：B