北师大版必修27.1简单几何体的侧面积综合训练题

2020-2021学年北师大版必修二 简单几何体的面积与体积   课时作业

一、选择题

1、已知平面截一球面得圆，球中过小圆心的直径为，过点且与成角的平面截该球面得圆，若该球的半径为4，圆的面积为，则圆的面积为（    ）

A. B. C. D.

2、已知圆锥的高是底面半径的3倍，且圆锥的底面直径、体积分别与圆柱的底面半径、体积相等，则圆锥与圆柱的侧面积之比为（    ）.

A． B． C． D．

3、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 （ ）

A． B． C． D．

4、《周髀算经》中记录了一种“盖天天地模型”如图所示，“天之中央亦高四旁六万里.四旁犹四极也，地穹隆而高，如盖笠.故日光外所照径八十一万里，周二百四十三万里.”意思为“天的中央亦高出四周六万里，四旁就是四极，随地穹隆而天也高凸，如盖笠.所以日光向外照射的最大直径是八十一万里，周长是二百四十三万里.”将地球看成球体，以此数据可估算地球半径大约为（    ）

A．万里 B．万里 C．万里 D．万里

5、《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积的经验公式为：.弧田（如图1阴影部分）由圆弧和其所对弦围成，弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.类比弧田面积公式得到球缺(如图 2)近似体积公式：圆面积矢.球缺是指一个球被平面截下的一部分，厦门嘉庚体育馆近似球缺结构（如图3)，若该体育馆占地面积约为18000，建筑容积约为340000，估计体育馆建筑高度(单位：)所在区间为（   ）

参考数据: ，，，

，.

A． B． C． D．

6、已知正方体的棱长为1，给出下列四个命题：①对角线被平面和平面、三等分；②正方体的内切球、与各条棱相切的球、正方体的外接球的表面积之比为；③以正方体的顶点为顶点的四面体的体积都是；④正方体与以为球心，1为半径的球的公共部分的体积是．其中正确的序号是（    ）

A．①② B．②④ C．①②③ D．①②④

7、已知某几何体的三视图如图所示，正视图是斜边长为2的等腰直角三角形，侧视图是直角边长为1的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（   ）

A． B． C． D．

8、已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，平面，，，若三棱锥的体积为，则球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

9、底面直径和高都是4的圆柱的侧面积为（    ）

A． B． C． D．

10、四面体的三组对棱分别相等，且长度依次为，5.则该四面体的外接球的表面积（   ）

A． B． C． D．

11、各顶点都在一个球面上的正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直于底面）高为2，体积为8，则这个球的表面积是（    ）

A． B． C． D．

12、在三棱锥中，，，，且二面角为120°，则三棱锥外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

13、已知直三棱柱的顶点都在球的表面上，四边形的面积为．若是等边三角形，则球体积的最小值为______.

14、在平面上，将两个半圆弧和、两条直线和围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分．记D绕y轴旋转一周而成的几何体为，过作的水平截面，所得截面面积为，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出的体积值为__________

15、将半径为1的半圆形纸片卷成一个圆锥，使半圆圆心为圆锥的顶点，直径的两个端点重合，则圆锥的体积是_____.

16、设OA是球O的半径,M是OA的中点,过M且与OA成角的平面截球O的表面得到圆C．若圆C的面积等于,则球O的表面积等于         .

参考答案

1、答案D

先求出圆M的半径，然后根据勾股定理求出OM的长，找出线面角，从而求出ON的长，最后利用垂径定理即可求出圆N的半径，从而求出面积．

详解

∵圆M的面积为4π，

∴圆M的半径为2，

根据勾股定理可知OM2，

∵过点且与成角的平面截该球面得圆，

∴∠OMN＝30°，

在直角三角形OMN中，ON＝2，

∴圆N的半径为，

∴圆N的面积为：13π．

故选：D．

2、答案A

设圆锥的底面半径为，可求得圆锥的母线长，根据圆锥侧面积公式求得侧面积；由圆锥体积与圆柱体积相等可构造方程求得圆柱的高，进而根据圆柱侧面积公式求得圆柱侧面积，从而求得比值.

详解：设圆锥的底面半径为，则高为，圆锥的母线长，

圆锥的侧面积为；

圆柱的底面半径为，高为，

又圆锥的体积，，，

圆柱的侧面积为，

圆锥与圆柱的侧面积之比为.

故选：.

3、答案B

由三视图可知此几何体是两个底面相同高也相同的圆锥的组合体．其中圆锥的底面半径为1,高也为1.所以此几何体的表面积为．故B正确．

4、答案B

设地球半径为万里，由此可得出方程，解出即可.

详解

设地球半径为万里，如下图所示：

由题意可知，日光向外照射到地球上所形成的截面圆的半径为万里，

则有，解得（万里）.

故选：B.

5、答案B

详解：设体育馆建筑高度为，则，

若，则；若，则，若，则，

，∴，

故选B.

6、答案D

对①，画出图象，设对角线与平面相交于点，则平面，用等体积的方法计算出，从而证得被平面和平面三等分；对②，计算正方体的内切球、与各条棱相切的球、正方体的外接球的半径，再计算其表面积之比；对③，显然；对④，正方体与以为球心，1为半径的球的公共部分是球的.

详解：①如图所示，假设对角线与平面相交于点，

可得平面，所以，

解得，因此对角线被平面和平面三等分，正确；

②易得正方体的内切球、与各条棱相切的球、正方体的外接球的半径分别为，，

，因此表面积之比为，正确；

③，不正确；

④正方体与以为球心，1为半径的球的公共部分的体积，正确，

故选：D．

7、答案B

几何体如图：为外接球的球心，表面积为，选B.

8、答案B

一条棱垂直底面的三棱锥和与其同底等高的三棱柱的外接球是同一个，再结合正弦定理求出底面三角形外接圆半径，最后即可求出外接球半径（其中为三棱柱垂直底面的棱长），再结合球的表面积公式,即可求解。

详解

解：如图所示，

三棱锥的外接球就是三棱柱的外接球，

∵三棱锥的体积为，

∴

由正弦定理得：外接圆的直径

∴三棱锥的外接球的半径

∴球O的表面积为，故选B.

9、答案C

先求出底面圆的周长，再乘圆柱的高即可得侧面积.

详解：解：圆柱底面圆的周长为，则侧面积为.

故选:C.

10、答案D

详解：因为将四面体补成一个长方体，相邻三个面的对角线长分别为，5，所以由得

因为四面体的外接球为长方体的外接球，所以外接球直径为

因此四面体的外接球的表面积为，

选D.

11、答案B

先求出正四棱柱的底面边长，再求其对角线的长，即为外接球的直径，然后求出球的表面积．

详解：因为正四棱柱高为2，体积为8，

所以它的底面边长是2，

所以它的体对角线的长是，

因此它的外接球的直径是，

所以这个球的表面积是：.

故选：B．

12、答案D

将三棱锥置于一个直三棱柱，计算外接球的半径，得到答案.

详解：由题意可得，将三棱锥置于一个直三棱柱，如图所示，由二面角为120°可知，

直三棱柱的外接球即三棱锥的外接球，

外接球的球心O在上下底面三角形外心连线段的中点.

在中，，，得.

设外接球的半径为R，外接圆的半径为r，正弦定理得，

解得，又球心到底面的距离，

所以外接球的半径，所以外接球的表面积为.

故选：D.

13、答案

根据三棱柱是正三棱柱，得到外接球的球心为上下底面中心连线的中点，由四边形的面积为，得到底面边长和高的关系，然后利用基本不等式求得半径的最小值，再代入球的体积公式求解.

详解：如图所示：

因为三棱柱是正三棱柱，

所以外接球的球心为上下底面中心连线的中点，

设外接球的半径为R，底面边长为a，高为h，

因为四边形的面积为．

所以ah=，

所以，

当且仅当，即时，取等号，

所以，

所以球体积的最小值为.

故答案为：

14、答案

根据提示，一个半径为1，高为的圆柱平放，一个高为2，底面面积的长方体，这两个几何体与放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即的体积值为．

考点定位考查旋转体组合体体积的计算，重点考查空间想象能力，属难题．

15、答案

根据题意可知圆锥的母线长为1，底面周长为半圆的弧长，求出圆锥底面半径，进而求出底面面积，利用底面半径与母线长度求出圆锥的高，利用圆锥的体积公式即可求解.

详解：设圆锥的底面半径为，圆锥的高为，

圆锥底面周长为半圆的弧长，

则，解得，底面面积

，

所以.

故答案为：

16、答案8

设球半径为R，圆C的半径为r，

由，得．

因为．

由,得

故球的表面积等于8π