高中数学北师大版 (2019)必修 第一册4.1 函数的奇偶性练习题

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第一册4.1 函数的奇偶性练习题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

A 组·素养自测
一、选择题
1．幂函数y＝xα(α是常数)的图象( B )
A．一定经过点(0，0) B．一定经过点(1，1)
C．一定经过点(－1，1) D．一定经过点(1，－1)
[解析] x＝1时，y＝1，所过点(1，1)．
2．下列函数中，定义域为R的是( C )
A．y＝x－2 B．y＝xeq \s\up6(\f(1,2))
C．y＝x2 D．y＝x－1
[解析] 对A，由y＝x－2＝eq \f(1,x2)，知x≠0；
对B，由y＝xeq \f(1,2)＝eq \r(x)，知x≥0；
对D，由y＝x－1＝eq \f(1,x)，知x≠0．
故A，B，D中函数的定义域均不为R，从而选C．
3．已知幂函数f(x)的图象过点(16，4)，则f(2015)等于( B )
A．20152 B．eq \r(2015)
C．eq \f(2015,2) D．eq \f(2015,4)
[解析] 由题意，设f(x)＝xm，则由题意知16m＝4，
所以m＝eq \f(1,2)，
故f(x)＝xeq \f(1,2)，所以f(2015)＝2015eq \f(1,2)＝eq \r(2015)．故选B．
4．设α∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－1，1，\f(1,2)，3))，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为( A )
A．1，3 B．－1，1
C．－1，3 D．－1，1，3
[解析] 定义域为R的函数中，α可取1，3；若函数y＝xα为奇函数，α可取－1，1，3，故α取1，3．故选A．
5．函数y＝x－eq \f(1,2)在区间[4，64]上的最大值为( A )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(1,8)
C．2 D．8
[解析] 因为函数y＝x－eq \f(1,2)为(0，＋∞)上的减函数，所以该函数在[4，64]上单调递减，当x＝4时y取得最大值，最大值为4－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)，故选A．
6．如图所示，曲线是幂函数y＝xα在第一象限内的图象，已知α取±2，±eq \f(1,2)四个值，则对应于曲线C1，C2，C3，C4的指数α依次为( B )
A．－2，－eq \f(1,2)，eq \f(1,2)，2B．2，eq \f(1,2)，－eq \f(1,2)，－2
C．－eq \f(1,2)，－2，2，eq \f(1,2)D．2，eq \f(1,2)，－2，－eq \f(1,2)
[解析] 要确定一个幂函数y＝xα在坐标系内的分布特征，就要弄清幂函数y＝xα随着α值的改变图象的变化规律．随着α的变大，幂函数y＝xα的图象在直线x＝1的右侧由低向高分布．从图中可以看出，直线x＝1右侧的图象，由高向低依次为C1，C2，C3，C4，所以C1，C2，C3，C4的指数α依次为2，eq \f(1,2)，－eq \f(1,2)，－2．
二、填空题
7．(2021·济南济钢中学高一期中测试)幂函数f(x)的图象过点(3，eq \r(4,27))，则f(x)＝__xeq \s\up6(\f(3,4))__．
[解析] 设f(x)＝xα，
由题意得eq \r(4,27)＝3α，
∴3eq \s\up6(\f(3,4))＝3α，∴α＝eq \f(3,4)，∴f(x)＝xeq \s\up6(\f(3,4))．
8．已知函数f(x)＝(m2＋3m＋1)xm2＋m－1是幂函数，且其图象过原点，则m＝__－3__．
[解析] 由题意得m2＋3m＋1＝1，
∴m2＋3m＝0，
∴m＝0或m＝－3．当m＝0时，f(x)＝x－1＝eq \f(1,x)，
其图象不过原点，∴m＝－3．
三、解答题
9．函数f(x)＝(m2－m－5)xm－1是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，试确定m的值．
[解析] 根据幂函数的定义，得m2－m－5＝1，
解得m＝3或m＝－2．
当m＝3时，f(x)＝x2在(0，＋∞)上是增函数；
当m＝－2时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求，故m＝3．
10．已知函数f(x)＝xm－eq \f(2,x)且f(4)＝eq \f(7,2)．
(1)求m的值；
(2)判断f(x)的奇偶性；
(3)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明．
[解析] (1)因为f(4)＝eq \f(7,2)，所以4m－eq \f(2,4)＝eq \f(7,2)，所以m＝1．
(2)由(1)知f(x)＝x－eq \f(2,x)，
因为f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称
又f(－x)＝－x－eq \f(2,－x)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2,x)))＝－f(x)．
所以f(x)是奇函数．
(3)f(x)在(0，＋∞)上单调递增，证明：设x1＞x2＞0，则f(x1)－f(x2)＝x1－eq \f(2,x1)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－\f(2,x2)))＝(x1－x2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(2,x1x2)))，
因为x1＞x2＞0，所以x1－x2＞0，1＋eq \f(2,x1x2)＞0，
所以f(x1)＞f(x2)，
所以f(x)在(0，＋∞)上为单调递增函数．
B 组·素养提升
一、选择题
1．下列6个函数：y＝xeq \s\up6(\f(5,3))，y＝xeq \s\up6(\f(3,4))，y＝x－eq \f(1,3)，y＝xeq \s\up6(\f(2,3))，y＝x－2，y＝x2中，定义域为R的函数有( B )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
[解析] 函数y＝xeq \s\up6(\f(5,3))，y＝xeq \s\up6(\f(2,3))，y＝x2的定义域为R，函数y＝xeq \s\up6(\f(3,4))的定义域为[0，＋∞)，函数y＝x－eq \f(1,3)及y＝x－2的定义域均为(－∞，0)∪(0，＋∞)，所以定义域为R的函数有3个，应选择B．
2．已知函数f(x)＝(m2－m－1)xm2－2m－1是幂函数，且在(0，＋∞)上是减函数，则m＝( D )
A．－1 B．0
C．1 D．2
[解析] 由题意得m2－m－1＝1，
∴m2－m－2＝0，∴m＝－1或m＝2．
当m＝－1时，f(x)＝x2在(0，＋∞)上是增函数，
∴m≠－1；
当m＝2时，f(x)＝x－1＝eq \f(1,x)在(0，＋∞)上是减函数，
∴m＝2．
3．(多选题)幂函数f(x)＝x3m－5(m∈Z)在(0，＋∞)上是减函数，且f(－x)＝f(x)，则m可能等于( BD )
A．0 B．1
C．－2 D．－3
[解析] 因为f(x)＝x3m－5(m∈Z)在(0，＋∞)上是减函数，
所以3m－5＜0，故m＜eq \f(5,3)．
又因为m∈Z，所以m＝1，0，－1，－2，－3，…．当m＝0时，
f(x)＝x－5，f(－x)≠f(x)，不符合题意；当m＝1时，
f(x)＝x－2，f(－x)＝f(x)，符合题意；
当m＝－2时，f(x)＝x－11，f(x)≠f(－x)不符合题意，当m＝－3时，f(x)＝x－14，f(x)＝f(－x)，符合题意，故选BD．
4．(多选题)设α∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－1，1，\f(1,3)，3))，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的α是( BCD )
A．－1 B．1
C．eq \f(1,3) D．3
[解析] α依次取值时，y＝x－1＝eq \f(1,x)，y＝x，y＝xeq \f(1,3)＝eq \r(3,x)，y＝x3，显然除α＝－1外，其他函数的定义域都是R且都为奇函数．
二、填空题
5．若函数f(x)是幂函数，且满足eq \f(f(4),f(2))＝3，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))的值为__eq \f(1,3)__．
[解析] 由题意可设f(x)＝xα，则由eq \f(f(4),f(2))＝3，得eq \f(4α,2α)＝3，即2α＝3，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(α)＝2－α＝3－1＝eq \f(1,3)．
6．幂函数f(x)＝xα的图象过点(3，9)，那么函数f(x)的单调递增区间是__[0，＋∞)__．
[解析] 由题设知f(3)＝9，
即3α＝9，所以α＝2．
所以f(x)＝x2，其单调递增区间为[0，＋∞)．
三、解答题
7．已知幂函数f(x)＝x－m2＋2m＋3(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数，求函数f(x)的解析式．
[解析] ∵f(x)在区间(0，＋∞)上是单调增函数，
∴－m2＋2m＋3＞0，即m2－2m－3＜0，解得－1＜m＜3．又m∈Z，∴m＝0，1，2，而m＝0，2时，f(x)＝x3不是偶函数，m＝1时，f(x)＝x4是偶函数．∴f(x)＝x4．
8．点(eq \r(2)，2)与点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，－\f(1,2)))分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问：当x为何值时，有：(1)f(x)＞g(x)?
(2)f(x)＝g(x)？(3)f(x)＜g(x)?
[解析] 设f(x)＝xα，g(x)＝xβ，
因为点(eq \r(2)，2)与点(－2，－eq \f(1,2))分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，所以(eq \r(2))α＝2，(－2)β＝－eq \f(1,2)，
所以α＝2，β＝－1．
所以f(x)＝x2，g(x)＝x－1．
分别作出它们的图象，如图所示．
由图象知当x∈(－∞，0)∪
(1，＋∞)时，f(x)＞g(x)；
当x＝1时，f(x)＝g(x)；
当x∈(0，1)时，f(x)＜g(x)．