高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示第2课时课后测评

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1．函数y＝ eq \f(2,1－\r(1－x))的定义域为( )
A．(－∞，1) B．(－∞，0)∪(0，1]
C．(－∞，0)∪(0，1)D．[1，＋∞)
解析：选B．由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－x≥0，,1－\r(1－x)≠0，))解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x≤1，, x≠0.))故选B．
2．已知函数y＝f(x)与函数y＝ eq \r(x＋3)＋ eq \r(1－x)是同一个函数，则函数y＝f(x)的定义域是( )
A．[－3，1] B．(－3，1)
C．(－3，＋∞)D．(－∞，1]
解析：选A．由于y＝f(x)与y＝ eq \r(x＋3)＋ eq \r(1－x)是同一个函数，故二者定义域相同，所以y＝f(x)的定义域为{x|－3≤x≤1}．写成区间形式为[－3，1].故选A．
3．函数y＝x2＋x(－1≤x≤3)的值域是( )
A．[0，12] B． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，12))
C． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，12)) D． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，12))
解析：选B．二次函数y＝x2＋x的图象开口向上，对称轴为x＝－ eq \f(1,2)，当x＝－ eq \f(1,2)时，函数取得最小值－ eq \f(1,4)，当x＝3时，函数取得最大值12.因此函数的值域为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，12)).
4．函数y＝x＋ eq \r(2－x)的值域为( )
A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,4)，＋∞)) B． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,4)，＋∞))
C． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(9,4))) D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(9,4)))
解析：选C．令t＝ eq \r(2－x)，则t≥0，可得x＝2－t2(t≥0)，于是函数y＝x＋ eq \r(2－x)转化为f(t)＝2－t2＋t(t≥0)，f(t)的图象开口向下，对称轴为直线t＝ eq \f(1,2).因为t≥0，所以当t＝ eq \f(1,2)时，函数f(t)取得最大值为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝ eq \f(9,4)，所以函数f(t)的值域为 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(9,4))).所以函数y＝x＋ eq \r(2－x)的值域为 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(9,4))).
5．若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(25,4)，－4))，则m的取值范围是( )
A．[0，4] B． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，4))
C． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，3)) D． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞))
解析：选C．画出函数y＝x2－3x－4的图象，如图所示．y＝x2－3x－4＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2))) eq \s\up12(2)－ eq \f(25,4)≥－ eq \f(25,4)，
当x＝0时，y＝－4，当x＝3时，y＝－4.结合图象可知，m的取值范围是 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，3)).
6．若[a，3a－1]为一确定区间，则a的取值范围是________．
解析：若[a，3a－1]为一确定区间，则a＜3a－1，解得a＞ eq \f(1,2)，所以a的取值范围是 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)).
答案： eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
7．函数f(x)＝ eq \r(2)＋ eq \f(1,\r(x2－2x＋3))的值域是________．
解析：因为x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，所以 eq \r(x2－2x＋3)≥ eq \r(2)，所以0＜ eq \f(1,\r(x2－2x＋3))≤ eq \f(\r(2),2)，所以 eq \r(2)＜f(x)≤ eq \f(3\r(2),2).
答案： eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(3\r(2),2)))
8．已知函数f(3x－2)的定义域是[－2，0)，则函数f(x)的定义域是________；若函数g(x)的定义域是(－2，4]，则g(－2x＋2)的定义域是________．
解析：因为函数f(3x－2)的定义域是[－2，0)，所以x∈[－2，0)，所以3x－2∈[－8，－2)，所以f(x)的定义域是[－8，－2)；若函数g(x)的定义域是(－2，4]，所以－2x＋2∈(－2，4]，解得x∈[－1，2)，所以函数g(－2x＋2)的定义域是[－1，2).
答案：[－8，－2) [－1，2)
9．求函数y＝ eq \f(\r(x＋2),\r(6－2x)－1)的定义域，并用区间表示．
解：要使函数解析式有意义，需满足 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋2≥0，,6－2x≥0，,6－2x≠1，))即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x≥－2，,x≤3，,x≠\f(5,2)，))
所以－2≤x≤3且x≠ eq \f(5,2).
所以函数的定义域是 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(－2≤x≤3，且x≠\f(5,2))))).
用区间表示为 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(5,2)))∪ eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，3)).
10．求下列函数的值域．
(1)y＝ eq \r(16－x2)；
(2)y＝ eq \f(x,x＋1)；
(3)y＝2x＋4 eq \r(1－x).
解：(1)因为0≤16－x2≤16，所以0≤ eq \r(16－x2)≤4，即函数y＝ eq \r(16－x2)的值域为[0，4].
(2)(分离常数法)因为y＝ eq \f(x,x＋1)＝1－ eq \f(1,x＋1)，
且定义域为{x|x≠－1}，所以 eq \f(1,x＋1)≠0，即y≠1.所以函数y＝ eq \f(x,x＋1)的值域为{y|y∈R，且y≠1}．
(3)(换元法)令t＝ eq \r(1－x)(t≥0)，则x＝1－t2，
则y＝－2t2＋4t＋2＝－2(t－1)2＋4(t≥0)，
结合图象可得函数的值域为(－∞，4].
[B 能力提升]
11．若函数f(x)满足f(x)－2f(2－x)＝－x2＋8x－8，则f(1)的值为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B．在关系式f(x)－2f(2－x)＝－x2＋8x－8中，令x＝1，得f(1)－2f(1)＝－1，即f(1)＝1.
12．(多选)下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( )
A．y＝ eq \r(x) B．y＝ eq \f(100,\r(x＋2))
C．y＝ eq \f(16,x2) D．y＝x2＋x＋1
解析：选BC．A选项中，y的值可以取0；B选项的值域是(0，＋∞)；C选项中，x2≠0，故y＝ eq \f(16,x2)＞0；对于D选项，x2＋x＋1＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋ eq \f(3,4)，故其值域为 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，＋∞)).故选BC．
13．设函数y＝f(x)对任意正实数x，y都有f(x·y)＝f(x)＋f(y)，已知f(8)＝3，则f( eq \r(2))＝________．
解析：因为f(x·y)＝f(x)＋f(y)，所以令x＝y＝ eq \r(2)，得f(2)＝f( eq \r(2))＋f( eq \r(2))，令x＝y＝2，得f(4)＝f(2)＋f(2)，令x＝2，y＝4，得f(8)＝f(2)＋f(4)，所以f(8)＝3f(2)＝6f( eq \r(2))，又f(8)＝3，所以f( eq \r(2))＝ eq \f(1,2).
答案： eq \f(1,2)
14．规定符号*表示一种运算，即a*b＝ eq \r(ab)＋a＋b(a，b为正实数)且1*k＝3.
(1)求正整数k；
(2)求函数y＝k*x的值域．
解：(1)由已知得，1*k＝ eq \r(k)＋1＋k＝3，
解得 eq \r(k)＝1或 eq \r(k)＝－2(舍去)，所以k＝1.
(2)y＝k*x＝ eq \r(x)＋1＋x＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)＋\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋ eq \f(3,4)(x＞0)，
令t＝ eq \r(x)，则y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋ eq \f(3,4)(t＞0)在(0，＋∞)上是增函数，
故y＞ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0＋\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋ eq \f(3,4)＝1，所以函数的值域为(1，＋∞).
[C 拓展探究]
15．已知函数f(x)＝ eq \f(1,2)x2－x＋ eq \f(3,2)，是否存在实数m，使得函数的定义域和值域都是[1，m](m＞1)？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
解：存在．理由如下：
f(x)＝ eq \f(1,2)x2－x＋ eq \f(3,2)＝ eq \f(1,2)(x－1)2＋1的对称轴为直线x＝1, 顶点(1，1)且开口向上．
因为m＞1，所以当x∈[1，m]时，y随x的增大而增大，
所以要使f(x)的定义域和值域都是[1，m]，
则有 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f(1)＝1，,f(m)＝m，))
所以 eq \f(1,2)m2－m＋ eq \f(3,2)＝m，
即m2－4m＋3＝0，
所以m＝3或m＝1(舍去)，
所以存在实数m＝3满足条件．