高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.5 全称量词与存在量词随堂练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.5 全称量词与存在量词随堂练习题，共10页。试卷主要包含了已知命题p，命题p，下列命题中为真命题的是[来#源，已知命题等内容，欢迎下载使用。

A．∀x，y∈R，都有x2+y2≥2xy
B．∃x，y∈R，都有x2+y2≥2xy
C．∀x＞0，y＞0，都有x2+y2≥2xy
D．∃x＜0，y＜0，都有x2+y2≤2xy
【答案】A
【详解】
对于任意实数x，y，不等式x2+y2≥2xy都成立，于是将“x2+y2≥2xy”改写成全称量词命题为“∀x，y∈R，都有x2+y2≥2xy”.
故选A.[w*^ww.zzst&e~p.#cm]
2．已知命题p：∀x＞0，x2+x＞0，则它的否定是（ ）
A．∃x＞0，x2+x＞0B．∃x＞0，x2+x≤0
C．∀x＞0，x2+x≤0D．∃x＞0，x2+x＜0
【答案】B
【详解】
因为全称量词命题的否定是存在量词命题，
所以命题p：∀x＞0，x2+x＞0的否定是∃x＞0，x2+x≤0．
故选B．
3．已知命题p：∃x0∈R，2x0+1≤0，则命题p的否定是（ ）
A．∃x0∈R，2x0+1＞0B．∀x∈R，2x+1＞0
C．∃x0∈R，2x0+1≥0D．∀x∈R，2x+1≥0
【答案】B[来^#源:中教&~网@]
【详解】
由存在量词命题的否定可知命题p的否定是∀x∈R，2x+1＞0.
故选B．
4．已知命题“∃x∈R，使”是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．a<0B．0≤a≤4[来源#*:中国%教育出~&版网]
C．a≥4D．0【答案】D
【详解】
∵命题“∃x∈R，使”是假命题，
∴命题“∀x∈R，使”是真命题，[来源@:zzstep.*%c&#m]
则判别式Δ＝(a－2)2－4×4×<0，
解得0故选D.
5．命题p：∀x∈R，ax2+ax+1≥0，若命题p的否定是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．{a|0＜a≤4}B．{a|0≤a≤4}C．{a|a≤0或a≥4}D．{a|a＜0或a＞4}
【答案】D
【详解】
由题意可知，命题p的否定是∃x∈R，ax2+ax+1＜0，
因为命题p的否定是真命题，
所以a＜0或，解得a＜0或a＞4，
故实数a的取值范围是{a|a＜0或a＞4}.[来源:中@国&教育^出#版网~]
故选D.[w%ww.#z*zstep.cm@~]
6．下列结论中，错误的是（ ）[中国#&教育出*版~@网]
A．“”是“”的充分不必要条件
B．已知命题，则
C．“”是“”的充分不必要条件
D．命题 “，”的否定是“，”
【答案】C
【详解】
当时，.当时，或.“”是“”的充分不必要条件，A对.
对于含有一个量词的全称量词命题：“任意的”，的否定，是“存在”，.B对.同理，D对.
当时，或.当时，.“”是“”的必要不充分条件，C错.
故选C.
7．下列命题中为真命题的是（ ）[来#源:%中国@教育~出&版网]
A．“”的充要条件是“”[来源@:zzstep^.c%&m*]
B．“”是“”的充分不必要条件
C．命题“，”的否定是“，”[来@源#:^中国教育出&版~网]
D．“，”是“”的必要条件
【答案】C
【详解】
对于A，当时，不存在，A错误；
对于B，当，时，不成立，B错误；[来源:zzs@t#e^*%p.cm]
根据存在量词命题的否定是全称量词命题知C正确；[w&^ww~.*zz@step.cm]
对于D，“，”是“”的充分条件，不是必要条件，D错误．
故选C.
8．已知命题： “，”，命题： “，”，若命题，均为真命题，则实数的取值范围为（ ）[w&@ww.z^zste~p.c%m]
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】[www~.z#zste&*p%.cm]
由命题为真命题，得，恒成立，=1，得；[来源:%^*中~国教育出版#网]
由命题为真命题，知成立，得或.
所以实数的取值范围为.[来~#源:中国教育出版&%网^]
故选A.
二、多选题[来%^~&源#:中教网]
9． 下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是（ ）
A．至少有一个实数，使得[w*w^w.zzste&~p.c@m]
B．菱形的对角线互相垂直
C．，的否定
D．，的否定
【答案】AC
【详解】[来源:中^%&教网@#]
对于选项A，命题是存在量词命题，当时，，所以A中命题是真命题；
对于选项B，命题是全称量词命题，不满足题意；
对于选项C，，的否定为，，是存在量词命题，，当时，，所以C中命题是真命题；
对于选项D，，的否定是，，是全称量词命题，不符合题意.
故选AC.
10． 对下列命题的否定，其中说法正确的是（ ）
A．p：∀x≥3，x2－2x－3≥0；p的否定：∃x≥3，x2－2x－3<0
B．p：存在一个四边形的四个顶点不共圆；p的否定：每一个四边形的四个顶点共圆
C．p：有的三角形为正三角形；p的否定：所有的三角形不都是正三角形
D．p：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0；p的否定：∀x∈R，x2＋2x＋2>0
【答案】ABD
【分析】
利用全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题，直接写出四个命题的否定，即可判断.[来*源:中国教育出&版@^网~]
【详解】
对于A，p：∀x≥3，x2－2x－3≥0的否定是∃x≥3，x2－2x－3<0，故A正确.
对于B，p：存在一个四边形的四个顶点不共圆的否定是每一个四边形的四个顶点共圆，故B正确.[w#ww.zzs%te*p^.cm@]
对于C， p：有的三角形为正三角形的否定是所有的三角形都不是正三角形，故C错误．
对于D，p：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0的否定是∀x∈R，x2＋2x＋2>0，故D正确.[来%源:&~中*^教网]
故选ABD.
11.下列说法错误的是（ ）[来%^源#:&中教网@]
A．命题“，”的否定是“，”
B．“”是“”的既不充分也不必要条件
C．若a，b，，则“”的充要条件是“，且”[来源:*%中国教育出#版网&~]
D．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要而不充分条件
【答案】AC
【详解】
A．命题“，”的否定是“，”，故A错误；
B．，而不能推出，也不能推出，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故B正确；
C．当“，，”，也满足“”，故C错误；
D．关于x的方程有一正一负根的充要条件是，“”是“”的必要不充分条件，故D正确．[来源:中*国教育出版^网%~#]
故选AC.
12．下列说法正确的是（ ）
A．“”是“”的必要不充分条件
B．若集合中只有一个元素，则或
C．已知，则
D．已知集合，则满足条件的集合N的个数为4
【答案】AD
【详解】
对于A，“a＞b”⇒“a+1＞b”，反之未必，如 a＝0.5，b＝1，“a+1＞b”成立，但“a＞b”不成立，所以A对；
对于B，集合A＝{x|ax2+ax+1＝0}中只有一个元素，分类讨论：
当a＝0时，A＝，当a≠0时，＝a2﹣4a＝0⇒a＝4，所以B错；
对于C，已知，则或，所以C不正确；
对于D，M∪N＝M⇔N⊆M，满足条件M∪N＝M的集合N的个数为4，所以D对.
故选AD.
三、填空题
13．命题“对于任意三个正数a，b，c，三个数a+，b+，c+中至少有一个不小于2”的否定是___________.[中国^&%教育出@版~网]
【答案】存在三个正数a，b，c，三个数a+，b+，c+全小于2.
【详解】
根据全称量词命题的否定是存在量词命题，得
命题“对于任意三个正数a，b，c，三个数a+，b+，c+中至少有一个不小于2”的否定为“存在三个正数a，b，c，三个数a+，b+，c+全小于2”.[来&源:@~中教^#网]
故答案为存在三个正数a，b，c，三个数a+，b+，c+全小于2.
14．某中学采用小组合作学习模式，高一某班某组王小一同学给组内王小二同学出题如下:若命题“，”是假命题，求实数的取值范围. 王小二略加思索，反手给了王小一一道题:若命题“，”是真命题，求实数的取值范围. 你认为两位同学题中所求实数的取值范围一致吗?答:___________.(填“一致”或“不一致”)
【答案】一致
【详解】
根据全称量词命题与存在量词命题的关系，
可得命题“，”的否定为“，”，
因为命题“，”是假命题与命题“，”是真命题等价，所以两位同学题中所求实数的取值范围是一致的.
故答案为一致.
15．根据下述事实，得到含有量词的全称量词命题或存在量词命题为_______________.
13+23＝（1+2）2，
13+23+33＝（1+2+3）2，
13+23+33+43＝（1+2+3+4）2，
13+23+33+43+53＝（1+2+3+4+5）2，[来&%源~^:中@教网]
……
【答案】∀n∈N*，13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2
【详解】
根据已知条件的规律可得：∀n∈N*，13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2.
故答案为∀n∈N*，13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2.
16．若命题，为假命题，则实数的取值范围是___________.
【答案】[来^@源:zz#ste&p%.cm]
【详解】
命题，为假命题，[中国教@%育*出版#网^]
则，为真命题.
当时，恒成立；
当时，满足，解得.
综上，实数的取值范围是，
故答案为.
四、解答题
17．用符号“”与“”表示下面含有量词的命题并判断其真假：
（1）自然数的平方大于零；
（2）存在一对整数，，使；
（3）存在一个无理数，它的立方是有理数．
【答案】答案见解析
【详解】(1)，．
因为也是自然数，的平方是，
所以，全称量词命题“自然数的平方大于零”是假命题．
（2），，．
由，得，
若，，则也是整数，不可能等于，
所以，存在量词命题“存在一对整数，，使”是假命题．
（3）{无理数}，．
是无理数，是有理数．
所以，存在量词命题“{无理数}，”是真命题．
18．判断下列命题是否为全称量词命题或存在量词命题，如果是，写出这些命题的否定，并说明这否定的真假，不必证明；如果不是全称量词命题和存在量词命题，则不用写出否命题，只需判断命题真假，并给出证明.
（1）存在实数x，使得；[来源&:@z*zstep.%c^m]
（2）有些三角形是等边三角形；
（3）方程的每一个根都不是奇数.
（4）若，则的充要条件是.
【答案】答案见解析.
【详解】（1）该命题是存在量词命题，
该命题的否定是对任意一个实数x，都有，
该命题的否定是真命题.
（2）该命题是存在量词命题，
该命题的否定是所有三角形都不是等边三角形.
该命题的否定是假命题.[来源:中#国教^@育出版*网%]
（3）该命题是全称量词命题，
该命题的否定是 方程至少有一个根是奇数.
该命题的否定是假命题.[来@#^源:中教~网*]
（4）该命题既不是全称量词命题又不是存在量词命题，
该命题是假命题.
证明：当时，有，
则，[来源~#:中国教育出版网*&%]
因为，所以且，
所以，即，
故由推不出，
由此即可判断的充要条件是是假命题.
19．已知集合.
（1）若，求实数m的取值范围.
（2）命题q：“，使得”是真命题，求实数m的取值范围.
【答案】（1）；（2）.[来*@#&源:^中教网]
【详解】
（1）①当B为空集时，成立.
②当B不是空集时，∵，
∴，∴.
综上①②，得.
（2），使得，∴B为非空集合且.
当时，，无解或，，
∴.
20．已如命题：" 恒成立"是真命题.[www.z#&zst^ep~.c@m]
（1）求实数的取值集合；
（2）设不等式的解集为A，若 ，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）因为命题：" 恒成立"是真命题，
所以，解得.
故.
（2）因为，所以.
解方程可得或.
①若，则，
若,则，解得；
②若，即a=1，则，显然，符合题意；
③若,则，
若，则，无解.
综上, 或a=1.
即实数的取值范围是.