新教材2022届高考数学人教版一轮复习课件：4.1 导数的概念与运算

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2．导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝ ______ .
3．基本初等函数的导数运算
f′(x)±g′(x)
f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
题组三　易错自纠1．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是(　　)
解析：由y＝f′(x)的图象知，y＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y＝f(x)的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A，C；又由图象知y＝f′(x)与y＝g′(x)的图象在x＝x0处相交，说明y＝f(x)与y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线的斜率相同，故可排除B，故选D.
3．(一题两空)已知函数f(x)＝(bx－1)ex＋a(a，b∈R)．若曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝x，则a，b的值分别为a＝________，b＝________．
解析：∵f(x)＝(bx－1)ex＋a∴f′(x)＝ex(bx＋b－1)又f′(0)＝1，f(0)＝0∴f′(0)＝b－1＝1，－1＋a＝0解得a＝1，b＝2.
类题通法(1)求导之前，应利用代数运算、三角恒等式等对函数进行化简，然后求导，尽量避免不必要的求导，这样可以减少运算，提高运算速度减少差错．(2)①若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导．②复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元．
(3)若函数f(x)＝eax＋ln (x＋1)，f′(0)＝4，则a＝________．
类题通法求曲线在点P(x0，y0)处的切线，则表明P点是切点，只需求出函数在P处的导数，然后利用点斜式写出切线方程，若在该点P处的导数不存在，则切线垂直于x轴，切线方程为x＝x0.
巩固训练2：[2020·全国卷Ⅰ]函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为(　　)A．y＝－2x－1 B．y＝－2x＋1C．y＝2x－3 D．y＝2x＋1
解析：f′(x)＝4x3－6x2，则f′(1)＝－2，易知f(1)＝－1，由点斜式可得函数f(x)的图象在(1，f(1))处的切线方程为y－(－1)＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.故选B.
类题通法求切点坐标的思路已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式，求出切点的纵坐标．
角度3|求参数的值(或范围)[例4]　函数f(x)＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是(　　)A．(－∞，－2] B．(－∞，2)C．(2，＋∞) D．(0，＋∞)
类题通法利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．[提醒]　(1)注意曲线上横坐标的取值范围；(2)切点既在切线上，又在曲线上．
巩固训练4：直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1，3)，则2a＋b的值等于(　　)A．2 B．－1C．1 D．－2
角度4|两曲线的公切线问题[例5]　若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln (x＋1)的切线，则b＝________．
类题通法解决公切线问题的思路分别设出两切线的切点坐标，然后求导得到切线的斜率，则求得两条切线方程，接着让两切线方程的斜率和截距分别相等，得到两个关于切点的方程组，解方程组即可．
巩固训练5：已知f(x)＝ex(e为自然对数的底数)，g(x)＝ln x＋2，直线l是f(x)与g(x)的公切线，则直线l的方程为________．
答案：y＝ex或y＝x＋1
[预测2]　新题型——一题两空已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x3－3x2＋a，则f(－2)＝________；曲线y＝f(x)在点(－2，f(－2))处的切线方程为________________．
解析：f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)＝a＝0，故a＝0，f(－2)＝－f(2)＝－(16－12)＝－4，当x0，故f(－x)＝－2x3－3x2.f(x)＝－f(－x)＝2x3＋3x2，f′(x)＝6x2＋6x，f′(－2)＝12，故切线方程为：y＝12(x＋2)－4，即12x－y＋20＝0.
答案：－4　12x－y＋20＝0
　状 元 笔 记　明晰求切线方程中“在”与“过”的不同求曲线的切线问题时，要明晰所运算的对象(切线)涉及的点是“在”还是“过”，然后利用求切线方程的方法进行求解．(1)“在”曲线上一点处的切线问题，先对函数求导，代入点的横坐标得到斜率．(2)“过”曲线上一点的切线问题，此时该点未必是切点，应先设切点，求切点坐标．
[典例]　若存在过点O(0，0)的直线l与曲线y＝x3－3x2＋2x和y＝x2＋a都相切，则a的值为________．