2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：微专题（二十七） 圆与一些知识的交汇

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[例] (1)已知m＝(2cs α，2sin α)，n＝(3cs β，3sin β)，若m与n的夹角为60°，则直线xcs α－ysin α＋eq \f(1,2)＝0与圆(x－cs β)2＋(y＋sin β)2＝eq \f(1,2)的位置关系是( )
A．相交 B．相交且过圆心
C．相切 D．相离
(2)集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|(x－3)2＋(y－4)2＝r2，r＞0}，若A∩B中有且仅有一个元素，则r的值为__________．
解析：(1)由向量的夹角公式得cs〈m，n〉＝eq \f(m·n,|m||n|)＝cs αcs β＋sin αsin β＝cs(α－β)＝eq \f(1,2)，圆心(cs β，－sin β)到直线的距离d＝eq \f(|cs βcs α＋sin βsin α＋\f(1,2)|,\r(cs2α＋sin2α))＝1＞eq \f(\r(2),2)，
∴直线与圆相离．
(2)∵A∩B中有且仅有一个元素，∴两圆x2＋y2＝4，(x－3)2＋(y－4)2＝r2相切．当两圆内切时，5＝|r－2|，∴r＝7；当两圆外切时，5＝|r＋2|，∴r＝3.
答案：(1)D (2)7或3
名师点评
1．直线、圆与其他知识的交汇成为高考的热点，本例是直线、圆、平面向量与三角函数的交汇，直线、圆还经常与不等式、集合等知识交汇．
2．解决此类创新问题时，一定要读懂题目的本质含义，紧扣题目所给条件，结合题目要求进行恰当转化，将问题转化为熟知的问题解决．
[变式练] 在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，B(5,0)，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝0，则点A的横坐标为________．

微专题(二十七)
变式练
解析：解法一 设A(a,2a)，a>0，则Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋5,2)，a))，
∴圆C的方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(a＋5,2)))2＋(y－a)2＝eq \f(a－52,4)＋a2，
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(a＋5,2)))2＋y－a2＝\f(a－52,4)＋a2，,y＝2x，))
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(xD＝1，,yD＝2，))
∴eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝(5－a，－2a)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－a－3,2)，2－a))＝eq \f(a2－2a－15,2)＋2a2－4a＝0，∴a＝3或a＝－1，又a>0，∴a＝3，∴点A的横坐标为3.
解法二 由题意易得∠BAD＝45°.
设直线DB的倾斜角为θ，则tan θ＝－eq \f(1,2)，
∴tan∠ABO＝－tan(θ－45°)＝3，
∴kAB＝－tan∠ABO＝－3.
∴AB的方程为y＝－3(x－5)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝－3x－5，,y＝2x，))得xA＝3.
答案：3