2021学年1.4 空间向量的应用第2课时导学案

这是一份2021学年1.4 空间向量的应用第2课时导学案，共16页。学案主要包含了证明线线平行，证明线面平行，证明面面平行等内容，欢迎下载使用。
第2课时　空间中直线、平面的平行
学习目标　熟练掌握用方向向量、法向量证明线线、线面、面面间的平行关系．

知识点一　线线平行的向量表示
设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则
l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2.
知识点二　线面平行的向量表示
设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则
l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0.
知识点三　面面平行的向量表示
设n1 ，n2 分别是平面α，β的法向量，则
α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2 .
思考　怎么利用向量证明或判定直线和平面的位置关系？
答案　证明或判定直线和平面的位置关系有两类思路
(1)转化为线线关系，然后利用两个向量的关系进行判定；(2)利用直线的方向向量和平面的法向量进行判定．

1．已知直线l的方向向量为a＝(－1,2,0)，平面α的法向量为n＝(2,1，－1)，则(　　)
A．l⊥α B．l∥α
C．l⊂α D．l∥α或l⊂α
答案　D
2．若平面α∥β，且平面α的一个法向量为n＝，则平面β的法向量可以是(　　)
A. B．(2，－1,0)
C．(1,2,0) D.
答案　A
3．若两个不同平面α，β的法向量分别为u＝(1,2，－1)，v＝(－4，－8,4)，则平面α，β的位置是________．
答案　α∥β
解析　∵u＝－v，∴α∥β.

一、证明线线平行
例1　在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，点M在棱BB1上，且BM＝2MB1，点S在DD1上，且SD1＝2SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点．求证：MN∥RS.
证明　方法一　如图所示，建立空间直角坐标系，

根据题意得M，N(0,2,2)，R(3,2,0)，S.
则，分别为MN，RS的方向向量，
所以＝，＝，
所以＝，所以∥，因为M∉RS，
所以MN∥RS.
方法二　设＝a，＝b，＝c，
则＝＋＋＝c－a＋b，
＝＋＋＝b－a＋c.
所以＝，所以∥.
又R∉MN，所以MN∥RS.
反思感悟　利用向量证明线线平行的思路
证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可．
跟踪训练1　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点．求证：四边形AEC1F是平行四边形．

证明　以点D为坐标原点，分别以，，为正交基底建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，E，C1(0,1,1)，F，

∴＝，＝，＝，＝，
∴＝，＝，
∴∥，∥，
又∵F∉AE，F∉EC1，
∴AE∥FC1，EC1∥AF，
∴四边形AEC1F是平行四边形．
二、证明线面平行
例2　在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．证明：PA∥平面EDB.
证明　如图所示，建立空间直角坐标系，D是坐标原点，设PD＝DC＝a.
连接AC，交BD于点G，连接EG，

依题意得D(0,0,0)，A(a，0,0)，P(0,0，a)，E.
方法一　设平面BDE的法向量为n＝(x，y，z)，
又＝，
＝，
则有
即
即
令z＝1，则所以n＝(1，－1,1)，
又＝(a，0，－a)，
所以n·＝(1，－1,1)·(a，0，－a)＝a－a＝0.
所以n⊥.
又PA⊄平面EDB，所以PA∥平面EDB.
方法二　因为四边形ABCD是正方形，
所以G是此正方形的中心，
故点G的坐标为，所以＝.
又＝(a，0，－a)，
所以＝2，这表明PA∥EG.
而EG⊂平面EDB，且PA⊄平面EDB，
所以PA∥平面EDB.
方法三　假设存在实数λ，μ使得＝λ＋μ，
即(a，0，－a)＝λ＋μ，
则有
解得
所以＝－＋，又PA⊄平面EDB，
所以PA∥平面EDB.
反思感悟　证明线面平行问题的方法
(1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；
(2)证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内；
(3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内．
跟踪训练2　在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中点，求证：AB∥平面DEG.

证明　∵EF⊥平面AEB，AE⊂平面AEB，BE⊂平面AEB，
∴EF⊥AE，EF⊥BE.
又∵AE⊥EB，
∴EB，EF，EA两两垂直．
以点E为坐标原点，EB，EF，EA分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．

由已知得，A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，F(0,3,0)，D(0,2,2)，G(2,2,0)，
∴＝(0,2,2)，＝(2,2,0)，＝(2,0，－2)．
设平面DEG的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令y＝1，得z＝－1，x＝－1，则n＝(－1,1，－1)，
∴·n＝－2＋0＋2＝0，即⊥n.
∵AB⊄平面DEG，
∴AB∥平面DEG.
三、证明面面平行
例3　已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，
求证：平面ADE∥平面B1C1F.
证明　建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，

则D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)，
所以＝(0,2,1)，＝(2,0,0)，＝(0,2,1)，＝(2,0,0)，
设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，
则n1⊥，n1⊥，
即得
令z1＝2，则y1＝－1，所以可取n1＝(0，－1,2)．
同理，设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量．
由n2⊥，n2⊥，
得
解得
令z2＝2，得y2＝－1，
所以n2＝(0，－1,2)．
因为n1＝n2，即n1∥n2，
所以平面ADE∥平面B1C1F.
反思感悟　证明面面平行问题的方法
(1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行．
(2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明．
跟踪训练3　在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，F是棱AB的中点．

试用向量的方法证明：平面AA1D1D∥平面FCC1.
证明　因为AB＝4，BC＝CD＝2，F是棱AB的中点，
所以BF＝BC＝CF，所以△BCF为正三角形．
因为ABCD为等腰梯形，AB＝4，BC＝CD＝2，所以∠BAD＝∠ABC＝60°.
取AF的中点M，连接DM，
则DM⊥AB，所以DM⊥CD.
以D为原点，DM为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系Dxyz，

则D(0,0,0)，D1(0,0,2)，A(，－1,0)，F(，1,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，
所以＝(0,0,2)，＝(，－1,0)，＝(，－1,0)，＝(0,0,2)，
所以∥，∥，
所以DD1∥CC1，DA∥CF，
又DD1∩DA＝D，CC1∩CF＝C，DD1，DA⊂平面AA1D1D，CC1，CF⊂平面FCC1，
所以平面AA1D1D∥平面FCC1.

面面平行之探究
典例　如图所示，在正方体AC1中，O为底面ABCD中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO.

解　如图所示，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，在CC1上任取一点Q，连接BQ，D1Q.

设正方体的棱长为1，
则O，P，
A(1,0,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，
则Q(0,1，z)，
则＝，＝(－1，－1,1)，
∵＝2，∴∥，∴OP∥BD1.
＝，＝(－1,0，z)，
当z＝时，＝，
即AP∥BQ，又AP∩OP＝P，BQ∩BD1＝B，
AP，OP⊂平面PAO，BQ，BD1⊂平面D1BQ，
则有平面PAO∥平面D1BQ，
∴当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.
[素养提升]　(1)求点的坐标：可设出对应点的坐标，根据面面平行的判定定理转化为向量共线问题或者利用两个平面的法向量共线，进而建立与所求点的坐标有关的等式．
(2)由结论推应具备的条件的逆向推理是逻辑推理中的一种基本形式，通过应用推理的方式与方法，能较好的培养学生的合乎逻辑的思维品质．

1．已知向量 a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y) 分别是直线 l1，l2 的方向向量，若 l1∥l2 ，则(　　)
A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝
C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝
答案　D
解析　由题意得，＝＝，∴x＝6，y＝ .
2．如果直线l的方向向量是a＝(－2,0,1)，且直线l上有一点P不在平面α上，平面α的法向量是b＝(2,0,4)，那么(　　)
A．l⊥α B．l∥α
C．l⊂α D．l与α斜交
答案　B
解析　∵直线l的方向向量是a＝(－2,0,1)，平面α的法向量是b＝(2,0,4)，
∴a·b＝－4＋0＋4＝0，
∴直线l在平面α内或者与平面平行，
又直线l上有一点P不在平面α上，
∴l∥α.
3．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是(　　)
A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)
B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)
C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)
D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)
答案　D
解析　若l∥α，则a·n＝0.
而A中a·n＝－2，
B中a·n＝1＋5＝6，
C中a·n＝－1，只有D选项中a·n＝－3＋3＝0.
4．设平面α，β的一个法向量分别为u＝(1,2，－2)，v＝(－3，－6,6)，则α，β的位置关系为____________．
答案　平行
解析　∵v＝－3(1,2，－2)＝－3u，∴α∥β.
5．已知直线l∥平面ABC，且l的一个方向向量为a＝(2，m，1)，A(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0,1,0)则实数m的值是________．
答案　－3
解析　∵l∥平面ABC，
∴存在实数x，y，使a＝x＋y，＝(1,0，－1)，＝(0,1，－1)，
∴(2，m，1)＝x(1,0，－1)＋y(0,1，－1)＝(x，y，－x－y)，
∴∴m＝－3.

1．知识清单：
(1)线线平行的向量表示．
(2)线面平行的向量表示．
(3)面面平行的向量表示．
2．方法归纳：坐标法、转化化归．
3．常见误区：通过向量和平面平行直接得到线面平行，忽略条件直线不在平面内．


1．与向量a＝(1，－3,2)平行的一个向量的坐标是(　　)
A. B．(－1，－3,2)
C. D．(，－3，－2)
答案　C
解析　a＝(1，－3,2)＝－2.
2．若平面α，β的一个法向量分别为m＝，n＝，则(　　)
A．α∥β B．α⊥β
C．α与β相交但不垂直 D．α∥β或α与β重合
答案　D
解析　因为n＝－3m，所以m∥n，所以α∥β或α与β重合．
3．已知直线l的方向向量是a＝(3,2,1)，平面α的法向量是u＝(－1,2，－1)，则l与α的位置关系是(　　)
A．l⊥α B．l∥α
C．l与α相交但不垂直 D．l∥α或l⊂α
答案　D
解析　因为a·u＝－3＋4－1＝0，所以a⊥u.所以l∥α或l⊂α.
4．(多选)若直线l的一个方向向量为d＝(6,2,3)，平面α的一个法向量为n＝(－1,3,0)，则直线l与平面α的位置关系是(　　)
A．垂直 B．平行
C．直线l在平面α内 D．不能确定
答案　BC
解析　∵d·n＝－6＋2×3＋0＝0，∴d⊥n，∴直线l与平面α的位置关系是直线l在平面α内或平行．
5．已知平面α的法向量是(2,3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，若α∥β，则λ的值是(　　)
A．－ B．6 C．－6 D.
答案　B
解析　∵α∥β，∴α的法向量与β的法向量也互相平行．
∴＝＝，∴λ＝6.
6．已知平面α内的三点A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面β的一个法向量为n＝(－1，－1，－1)，且β与α不重合，则β与α的位置关系是________．
答案　α∥β
解析　＝(0,1，－1)，＝(1,0，－1)，
n·＝(－1，－1，－1)·(0,1，－1)
＝－1×0＋(－1)×1＋(－1)×(－1)＝0，
n·＝(－1，－1，－1)·(1,0，－1)
＝－1×1＋0＋(－1)·(－1)＝0，
∴n⊥，n⊥.
∴n也为α的一个法向量，又 α与β不重合，
∴α∥β.
7．若a＝是平面α的一个法向量，且b＝(－1,2,1)，c＝均与平面α平行，则向量a＝________.
答案　
解析　由题意，知
即解得
所以a＝.
8．已知α，β为两个不重合的平面，设平面α与向量a＝(－1,2，－4)垂直，平面β与向量b＝(－2,4，－8)垂直，则平面α与β的位置关系是________．
答案　平行
解析　由题意得a，b分别为α，β的一个法向量，又a∥b，∴α∥β.
9．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，E，F分别为A1C1和BC的中点．求证：C1F∥平面ABE.

证明　如图，以B为坐标原点，分别以BC，BA，BB1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
设BC＝a，AB＝b，BB1＝c，

则B(0,0,0)，A(0，b，0)，C1(a，0，c)，F，E.
所以＝(0，－b，0)，＝.
设平面ABE的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则
即
令x＝2，则y＝0，z＝－，即n＝.
又＝，所以 n·＝0，
又C1F⊄平面ABE，
所以C1F∥平面ABE.
10．已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M分别是A1C1，A1D和B1A上任意一点．求证：平面A1EF∥平面B1MC.
证明　如图，建立空间直角坐标系Dxyz，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，C1(0,1,1)，A(1,0,0)，D(0,0,0)，C(0,1,0)，
则 ＝(－1,1,0), ＝(－1,0，－1), ＝(1,0,1), ＝(0，－1，－1)，

设＝λ，＝μ,＝v(λ，μ，v∈R，且均不为0)．
设n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)分别是平面A1EF与平面B1MC的法向量，
可得
可得即
所以可取n1＝(1,1, －1)．
由
可得
即
可取n2＝(1,1，－1)，所以n1＝n2，所以n1∥n2，
所以平面A1EF∥平面B1MC.

11.如图，在正方体AC1中，PQ与直线A1D和AC都垂直，则直线PQ与BD1的关系是(　　)

A．异面直线
B．平行直线
C．垂直不相交
D．垂直且相交
答案　B
解析　设正方体的棱长为1，取D点为坐标原点建系后，＝(1,0,1), ＝(－1,1,0)，

设＝(a，b，c)，
则
取＝(1,1，－1)，
∵＝(0,0,1)－(1,1,0)＝(－1，－1,1)＝－ ，
∴∥ ，
∴PQ∥BD1.
12.如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE.则M点的坐标为(　　)

A．(1,1,1) B.
C. D.
答案　C
解析　方法一　以C为原点，建立空间直角坐标系如图所示．

则C(0,0,0)，D(，0,0)，B(0，，0)，E(0,0,1)，A(，，0)，
＝(－，0,1)，＝(，－，0)，
设M(a，a，1)，平面BDE的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令z＝，则x＝1，y＝1，所以n＝(1,1，)，
又＝(a－，a－，1)，
∴·n＝a－＋a－＋＝0，
∴a＝，即M.
方法二　设AC与BD相交于O点，连接OE，由AM∥平面BDE，且AM⊂平面ACEF，平面ACEF∩平面BDE＝OE，
所以AM∥EO，

又O是正方形ABCD对角线交点，
所以M为线段EF的中点．
在空间直角坐标系中，E(0,0,1)，F(，，1)．
由中点坐标公式，知点M的坐标为.
13．(多选)如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等．下列结论中正确的是(　　)

A．A1M∥D1P
B. A1M∥B1Q
C．A1M∥平面DCC1D1
D．A1M∥平面D1PQB1
答案　ACD
解析　因为＝＋＝＋ ，
＝＋＝＋ ，
所以∥，从而A1M∥D1P，可得ACD正确．
又B1Q与D1P不平行，故B不正确．
14．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B，AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是________．
答案　平行
解析　建立如图所示的空间直角坐标系，

设正方体的棱长为2，则A(2,2,2)，A1(2,2,0)，C(0,0,2)，B(2,0,2)，
∴M(2,1,1)，N(1,1,2)，
∴＝(－1,0,1)．
又平面BB1C1C的一个法向量为
n＝(0,1,0)，
∵－1×0＋0×1＋1×0＝0，
∴⊥n，
∴MN∥平面BB1C1C.

15．直线l的方向向量s＝(－1,1,1)，平面α的法向量为n＝(2，x2＋x，－x)，若直线l∥平面α，则实数x的值为(　　)
A．－2 B．－ C. D．±
答案　D
解析　∵直线l的方向向量s＝(－1,1,1)，平面α的法向量为n＝(2，x2＋x，－x)，直线l∥平面α，∴x2－2＝0，解得x＝±.
16.如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝AB＝BC＝AD＝1.问：在棱PD上是否存在一点E，使得CE∥平面PAB？若存在，求出E点的位置；若不存在，请说明理由．

解　分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图．

则P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0), 设E(0，y，z)，则
＝(0，y，z－1)，
＝(0,2，－1)，
∵∥，
∴＝，①
∵＝(0,2,0)是平面PAB的法向量，
＝(－1，y－1，z)，
∴由CE∥平面PAB， 可得⊥，
∴(－1，y－1，z)·(0,2,0)＝2(y－1)＝0，
∴y＝1，代入①式得z＝.
∴E是PD的中点，
即存在点E为PD中点时，CE∥平面PAB.