2022届一轮复习专题练习3 第16练 导数的概念及其意义、导数的运算（解析版）

这是一份2022届一轮复习专题练习3 第16练 导数的概念及其意义、导数的运算（解析版），共7页。试卷主要包含了下列求导运算不正确的是等内容，欢迎下载使用。

考点一 导数的运算
1．(2020·河北省枣强中学检测)下列求导运算不正确的是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(tan x))′＝－tan x
B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg2x))′＝eq \f(1,xln 2)
C.
D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(x))))′＝－eq \f(1,2x\r(x))
2．已知函数f(x)＝eq \f(1,x)cs x，则f(π)＋f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))等于( )
A．－eq \f(3,π2) B.eq \f(1,π2)
C．－eq \f(3,π) D．－eq \f(1,π)
3．已知函数f(x)＝(x2＋ax)ex＋e1－x，若f′(1)＝e－1，则实数a的值为( )
A．－2 B．－1 C．－eq \f(3,2) D．3
4．已知函数f(x)＝f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))cs x＋sin x，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))的值为________．
考点二 导数的几何意义
5．已知函数f(x)＝(2x－a)ex，且f′(1)＝3e，则曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为( )
A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0
C．x－3y＋1＝0 D．x＋3y＋1＝0
6．曲线f(x)＝x3＋x－2在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，则P0点的坐标为( )
A．(1,0) B．(2,8)
C．(1,0)和(－1，－4) D．(2,8)和(－1，－4)
7．设曲线y＝eax－lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋1))在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，则a等于( )
A．0 B．1 C．2 D．3
8．函数f(x)＝x－g(x)的图象在x＝2处的切线方程是y＝－x－1，则g(2)＋g′(2)等于( )
A．7 B．4 C．0 D．－4
9．函数f(x)＝aln x－eq \f(2,x)＋x存在与x轴平行的切线，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－eq \r(2)]
B．[－2eq \r(2)，＋∞)
C．(－∞，－2eq \r(2)]
D．(－∞，－2eq \r(2)]∪[2eq \r(2)，＋∞)
10．若函数y＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))具有T性质，下列函数中具有T性质的是( )
①y＝cs x；②y＝ln x；③y＝ex；④y＝x2.
A．①② B．①④ C．②③ D．②④
11．德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念．在研究切线时认识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意义．设f′(x)是函数f(x)的导函数，若f′(x)>0，对∀x1，x2∈R，且x1≠x2，总有eq \f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1))＋f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2)),2)A．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π))B．f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π))>f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(e))>f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2))
C．f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2))D．f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1))12．给出定义：若函数feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))在D上可导，即f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))存在，且导函数f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))在D上也可导，则称feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))在D上存在二阶导函数，记f″eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(f′\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))))′，若f″eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))<0在D上恒成立，则称feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))在D上为凸函数．以下四个函数在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上不是凸函数的是( )
A．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝sin x＋cs x B．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝ln x－2x
C．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝－x3＋2x－1 D．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝xex
13．若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋3的切线，也是曲线y＝ln(x＋2)的切线，则实数b的值是( )
A．2＋lneq \f(2,3) B．2－ln 6
C．2＋ln 6 D．2＋lneq \f(3,2)
14．已知函数feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋3x，x≤0，,ln x，x>0，))geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))－kx＋1.若geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))恰有4个零点，则实数k的取值范围是________．
答案精析
1．A [eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(tan x))′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(sin x,cs x)))′＝eq \f(cs x·cs x＋sin x·sin x,cs2x)＝eq \f(1,cs2x)，故A错误；
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg2x))′＝eq \f(1,xln 2)，故B正确；
，故C正确；
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(x))))′＝＝＝－eq \f(1,2x\r(x))，故D正确．]
2．C [f′(x)＝－eq \f(1,x2)cs x＋eq \f(1,x)(－sin x)，
∴f(π)＝－eq \f(1,π)，
f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝eq \f(2,π)×(－1)＝－eq \f(2,π)，
∴f(π)＋f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝－eq \f(3,π).]
3．B [f′(x)＝(2x＋a)ex＋(x2＋ax)·ex－e1－x，
f′(1)＝(a＋2)e＋(a＋1)e－1
＝(2a＋3)e－1＝e－1，
∴2a＋3＝1，
∴a＝－1.]
4．1
解析 ∵f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝－f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))·sin x＋cs x，
∴f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝－f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))·sineq \f(π,4)＋cseq \f(π,4)，
解得f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝eq \r(2)－1，故f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))cseq \f(π,4)＋sineq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)－1))＋eq \f(\r(2),2)＝1.
5．B [∵f′(x)＝2ex＋(2x－a)ex＝(2x＋2－a)ex，
∴f′(1)＝(4－a)e＝3e，解得a＝1，
即f(x)＝(2x－1)ex，f(0)＝－1，
则f′(x)＝(2x＋1)ex，∴f′(0)＝1，
∴曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为y＋1＝1×(x－0)，即x－y－1＝0.]
6．C [依题意，令f′(x)＝3x2＋1＝4，解得x＝±1，
f(1)＝0，f(－1)＝－4.
故P0点的坐标为(1,0)和(－1，－4)．]
7．D [y＝eax－lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋1))，y′＝aeax－eq \f(1,x＋1)，
当x＝0时，y′＝a－1.
又曲线y＝eax－lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋1))在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，
即y＝2x＋1，从而a－1＝2，即a＝3.]
8．A [∵feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝x－geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))，
∴f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝1－g′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))，
∵函数feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝x－geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的图象在x＝2处的切线方程是y＝－x－1，
∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2))＝－3，f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2))＝－1，
∴geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2))＋g′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2))＝2－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2))＋1－f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2))＝7，故选A.]
9．C [f′(x)＝eq \f(a,x)＋eq \f(2,x2)＋1(x>0)，
依题意eq \f(a,x)＋eq \f(2,x2)＋1＝0有解，
即当x>0时，－a＝eq \f(2,x)＋x有解．
又当x>0时，eq \f(2,x)＋x≥2eq \r(2)，
当且仅当x＝eq \r(2)时取“＝”．
∴－a≥2eq \r(2)，
∴a≤－2eq \r(2).]
10．B [由题意知，若y＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))具有T性质，则存在x1，x2，使得f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1))f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2))＝－1.
对于①，因为f′(x)＝－sin x，所以存在x1＝eq \f(π,2)，x2＝－eq \f(π,2)，使得f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1))f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2))＝－1；
对于②，因为f′(x)＝eq \f(1,x)>0，所以不存在x1，x2，使得f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1))f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2))＝－1；
对于③，因为f′(x)＝ex>0，所以不存在x1，x2，使得f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1))f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2))＝－1；
对于④，因为f′(x)＝2x，所以存在x1＝1，x2＝－eq \f(1,4)，使得f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1))f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2))＝4x1x2＝－1.]
11．C [由f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))>0，得feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))在R上单调递增，因为π>e>2，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π))>feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(e))>feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2))，故A不正确；
对∀x1，x2∈R，且x1≠x2，总有eq \f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1))＋f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2)),2)f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))表示函数图象上各点处的切线的斜率，由函数图象可知，随着x的增大，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的图象越来越平缓，即切线的斜率越来越小，所以f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π))feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2))－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1))＝eq \f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2))－f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1)),2－1)＝kAB，表示点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1))))与点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2))))连线的斜率，
由图可知f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2))12．D [对于A选项，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝sin x＋cs x，f′(x)＝cs x－sin x，
则f″eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝－sin x－cs x，
当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，恒有f″eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))<0，是凸函数；
对于B选项，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝ln x－2x，f′(x)＝eq \f(1,x)－2，
则f″eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝－eq \f(1,x2)，当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，恒有f″eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))<0，是凸函数；
对于C选项，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝－x3＋2x－1，f′(x)＝－3x2＋2，
则f″eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝－6x<0在x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上恒成立，是凸函数；
对于D选项，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝xex，f′(x)＝(x＋1)ex，
则f″eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋2))ex，则f″eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))>0在x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上恒成立，故不是凸函数．]
13．A [已知直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋3的切线，也是曲线y＝ln(x＋2)的切线，
设切点分别为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1，ln x1＋3))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2，ln\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋2)))) ，
令f(x)＝ln x＋3, 则f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝eq \f(1,x) ，
令g(x)＝lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋2))，则g′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝eq \f(1,x＋2)，
可知eq \f(1,x1)＝eq \f(1,x2＋2) ，即x1＝x2＋2，
过切点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1，ln x1＋3))表示切线方程：y－ln x1－3＝eq \f(1,x1)(x－x1), 整理得y＝eq \f(1,x1)x＋ln x1＋2 ，
过切点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2，ln\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋2))))表示切线方程：y－lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋2))＝eq \f(1,x2＋2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－x2))，
整理得y＝eq \f(1,x2＋2)x－eq \f(x2,x2＋2)＋lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋2))＝eq \f(1,x1)x－eq \f(x2,x2＋2)＋ln x1，
故 eq \f(x2,x2＋2)＝－2，解得x2＝－eq \f(4,3)，
故b＝2＋lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋2))＝2＋lneq \f(2,3).]
14.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1))
解析 geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))恰有4个零点等价于方程feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝kx－1有四个不同的根，
等价于y＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))，y＝kx－1的图象有四个不同的交点，
作出y＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))，y＝kx－1的图象，
由图可知当k＝0时，两图象有三个交点，
由x2＋3x＝kx－1，Δ＝0⇒k＝1或k＝5(舍去)，
此时y＝x－1过y＝heq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝ln x 上的点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，0))，h′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝eq \f(1,x)，
所以h′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1))＝1，即y＝x－1与y＝ln x相切，
可得k＝1时，两图象有两个交点，
由图可知，当0即geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))恰有4个零点，
所以若geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))恰有4个零点，则实数k的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1)).