所属成套资源：2023版新高考人教A版数学一轮复习讲义
2023版步步高新高考人教A版一轮复习讲义第三章 §3.1 导数的概念及其意义、导数的运算
展开§3.1 导数的概念及其意义、导数的运算考试要求 1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f(ax＋b))的导数．知识梳理1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作f′(x0)或.f′(x0)＝eq \o(lim,\s\do4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \o(lim,\s\do4(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx).(2)函数y＝f(x)的导函数f′(x)＝eq \o(lim,\s\do4(Δx→0)) eq \f(fx＋Δx－fx,Δx).2．导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．3．基本初等函数的导数公式4.导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))′＝eq \f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)；[cf(x)]′＝cf′(x)．5．复合函数的定义及其导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．常用结论1．区分在点处的切线与过点处的切线(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条．(2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条．2.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,fx)))′＝eq \f(－f′x,[fx]2)(f(x)≠0)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．( × )(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( × )(3)f′(x0)＝[f(x0)]′.( × )(4)若f(x)＝sin (－x)，则f′(x)＝cos (－x)．( × )教材改编题1．函数f(x)＝ex＋eq \f(1,x)在x＝1处的切线方程为________．答案 y＝(e－1)x＋2解析 f′(x)＝ex－eq \f(1,x2)，∴f′(1)＝e－1，又f(1)＝e＋1，∴切点为(1，e＋1)，切线斜率k＝f′(1)＝e－1，即切线方程为y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x＋2.2．已知函数f(x)＝xln x＋ax2＋2，若f′(e)＝0，则a＝________.答案 －eq \f(1,e)解析 f′(x)＝1＋ln x＋2ax，∴f′(e)＝2ae＋2＝0，∴a＝－eq \f(1,e).3．若f(x)＝ln(1－x)＋e1－x，则f′(x)＝________.答案 eq \f(1,x－1)－e1－x题型一 导数的运算例1 (1)(多选)(2022·济南质检)下列求导运算正确的是( )A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,ln x)))′＝－eq \f(1,xln2x)B．(x2ex)′＝2x＋exC.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))))′＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))′＝1＋eq \f(1,x2)答案 AD解析 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,ln x)))′＝－eq \f(1,ln2x)·(ln x)′＝－eq \f(1,xln2x)，故A正确；(x2ex)′＝(x2＋2x)ex，故B错误；eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))))′＝－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))，故C错误；eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))′＝1＋eq \f(1,x2)，故D正确．(2)函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)＝x2＋f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))sin x，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝________.答案 eq \f(π2,36)＋eq \f(2π,3)解析 f′(x)＝2x＋f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))cos x，∴f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝eq \f(2π,3)＋eq \f(1,2)f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))，∴f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝eq \f(4π,3)，∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝eq \f(π2,36)＋eq \f(2π,3).教师备选1．函数y＝sin 2x－cos 2x的导数y′等于( )A．2eq \r(2)coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))B．cos 2x＋sin xC．cos 2x－sin 2xD．2eq \r(2)coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))答案 A解析 y′＝2cos 2x＋2sin 2x＝2eq \r(2)coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4))).2．(2022·济南模拟)已知函数f′(x)＝exsin x＋excos x，则f(2 021)－f(0)等于( )A．e2 021cos 2 021 B．e2 021sin 2 021C.eq \f(e,2) D．e答案 B解析 因为f′(x)＝exsin x＋excos x，所以f(x)＝exsin x＋k(k为常数)，所以f(2 021)－f(0)＝e2 021sin 2 021.思维升华 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导．(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解．(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．跟踪训练1 (1)若函数f(x)，g(x)满足f(x)＋xg(x)＝x2－1，且f(1)＝1，则f′(1)＋g′(1)等于( )A．1 B．2 C．3 D．4答案 C解析 当x＝1时，f(1)＋g(1)＝0，∵f(1)＝1，得g(1)＝－1，原式两边求导，得f′(x)＋g(x)＋xg′(x)＝2x，当x＝1时，f′(1)＋g(1)＋g′(1)＝2，得f′(1)＋g′(1)＝2－g(1)＝2－(－1)＝3.(2)已知函数f(x)＝ln(2x－3)＋axe－x，若f′(2)＝1，则a＝________.答案 e2解析 f′(x)＝eq \f(1,2x－3)·(2x－3)′＋ae－x＋ax·(e－x)′＝eq \f(2,2x－3)＋ae－x－axe－x，∴f′(2)＝2＋ae－2－2ae－2＝2－ae－2＝1，则a＝e2.题型二 导数的几何意义命题点1 求切线方程例2 (1)(2021·全国甲卷)曲线y＝eq \f(2x－1,x＋2)在点(－1，－3)处的切线方程为__________．答案 5x－y＋2＝0解析 y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x－1,x＋2)))′＝eq \f(2x＋2－2x－1,x＋22)＝eq \f(5,x＋22)，所以y′|x＝－1＝eq \f(5,－1＋22)＝5，所以切线方程为y＋3＝5(x＋1)，即5x－y＋2＝0.(2)已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为__________．答案 x－y－1＝0解析 ∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln x上，∴设切点为(x0，y0)．又f′(x)＝1＋ln x，∴直线l的方程为y＋1＝(1＋ln x0)x.∴由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y0＝x0ln x0，,y0＋1＝1＋ln x0x0，))解得x0＝1，y0＝0.∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.命题点2 求参数的值(范围)例3 (1)(2022·青岛模拟)直线y＝kx＋1与曲线f(x)＝aln x＋b相切于点P(1,2)，则2a＋b等于( )A．4 B．3 C．2 D．1答案 A解析 ∵直线y＝kx＋1与曲线f(x)＝aln x＋b相切于点P(1,2)，将P(1,2)代入y＝kx＋1，可得k＋1＝2，解得k＝1，∵ f(x)＝aln x＋b，∴ f′(x)＝eq \f(a,x)，由f′(1)＝eq \f(a,1)＝1，解得a＝1，可得f(x)＝ln x＋b，∵P(1,2)在曲线f(x)＝ln x＋b上，∴f(1)＝ln 1＋b＝2，解得b＝2，故2a＋b＝2＋2＝4.(2)(2022·广州模拟)过定点P(1，e)作曲线y＝aex(a>0)的切线，恰有2条，则实数a的取值范围是________．答案 (1，＋∞)解析 由y′＝aex，若切点为(x0，)，则切线方程的斜率k＝＝>0，∴切线方程为y＝(x－x0＋1)，又P(1，e)在切线上，∴(2－x0)＝e，即eq \f(e,a)＝(2－x0)有两个不同的解，令φ(x)＝ex(2－x)，∴φ′(x)＝(1－x)ex，当x∈(－∞，1)时，φ′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)0恒成立，所以x＋eq \f(1,x)≥a，又x＋eq \f(1,x)≥2，当且仅当x＝eq \f(1,x)，即x＝1时，等号成立，故a≤2，所以a的取值范围是(－∞，2]．思维升华 (1)处理与切线有关的参数问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P处的切线”．跟踪训练2 (1)(2022·南平模拟)若直线y＝x＋m与曲线y＝ex－2n相切，则( )A．m＋n为定值 B.eq \f(1,2)m＋n为定值C．m＋eq \f(1,2)n为定值 D．m＋eq \f(1,3)n为定值答案 B解析 设直线y＝x＋m与曲线y＝ex－2n切于点(x0，)，因为y′＝ex－2n，所以＝1，所以x0＝2n，所以切点为(2n,1)，代入直线方程得1＝2n＋m，即eq \f(1,2)m＋n＝eq \f(1,2).(2)若函数f(x)＝ln x＋2x2－ax的图象上存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是______．答案 [2，＋∞)解析 直线2x－y＝0的斜率k＝2，又曲线f(x)上存在与直线2x－y＝0平行的切线，∴f′(x)＝eq \f(1,x)＋4x－a＝2在(0，＋∞)内有解，则a＝4x＋eq \f(1,x)－2，x>0.又4x＋eq \f(1,x)≥2eq \r(4x·\f(1,x))＝4，当且仅当x＝eq \f(1,2)时取“＝”．∴a≥4－2＝2.∴a的取值范围是[2，＋∞)．题型三 两曲线的公切线例4 (1)(2022·邯郸模拟)已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝x2＋ax(a∈R)，直线l与f(x)的图象相切于点A(1,0)，若直线l与g(x)的图象也相切，则a等于( )A．0 B．－1 C．3 D．－1或3答案 D解析 由f(x)＝xln x求导得f′(x)＝1＋ln x，则f′(1)＝1＋ln 1＝1，于是得函数f(x)在点A(1,0)处的切线l的方程为y＝x－1，因为直线l与g(x)的图象也相切，则方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝x－1，,gx＝x2＋ax，))有唯一解，即关于x的一元二次方程x2＋(a－1)x＋1＝0有两个相等的实数根，因此Δ＝(a－1)2－4＝0，解得a＝－1或a＝3，所以a＝－1或a＝3.(2)(2022·韶关模拟)若曲线C1：y＝ax2(a>0)与曲线C2：y＝ex存在公共切线，则a的取值范围为________．答案 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e2,4)，＋∞))解析 由y＝ax2(a>0)，得y′＝2ax，由y＝ex，得y′＝ex，曲线C1：y＝ax2(a>0)与曲线C2：y＝ex存在公共切线，设公切线与曲线C1切于点(x1，axeq \o\al(2,1))，与曲线C2切于点(x2，)，则2ax1＝可得2x2＝x1＋2，∴a＝，记f(x)＝，则f′(x)＝，当x∈(0,2)时，f′(x)0，f(x)单调递增．∴当x＝2时，f(x)min＝eq \f(e2,4).∴a的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e2,4)，＋∞)).延伸探究 在本例(2)中，把“存在公共切线”改为“存在两条公共切线”，则a的取值范围为________．答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e2,4)，＋∞))解析 由本例(2)知，∵两曲线C1与C2存在两条公共切线，∴a＝有两个不同的解．∵函数f(x)＝在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，且f(x)min＝f(2)＝eq \f(e2,4)，又x→0时，f(x)→＋∞，x→＋∞时，f(x)→＋∞，∴a>eq \f(e2,4).教师备选1．若f(x)＝ln x与g(x)＝x2＋ax两个函数的图象有一条与直线y＝x平行的公共切线，则a等于( )A．1 B．2 C．3 D．3或－1答案 D解析 设在函数f(x)＝ln x处的切点为(x，y)，根据导数的几何意义得到k＝eq \f(1,x)＝1，解得x＝1，故切点为(1,0)，可求出切线方程为y＝x－1，此切线和g(x)＝x2＋ax也相切，故x2＋ax＝x－1，化简得到x2＋(a－1)x＋1＝0，只需要满足Δ＝(a－1)2－4＝0，解得a＝－1或a＝3.2．已知曲线y＝ex在点(x1，)处的切线与曲线y＝ln x在点(x2，ln x2)处的切线相同，则(x1＋1)(x2－1)等于( )A．－1 B．－2 C．1 D．2答案 B解析 已知曲线y＝ex在点(x1，)处的切线方程为y－＝(x－x1)，即曲线y＝ln x在点(x2，ln x2)处的切线方程为y－ln x2＝eq \f(1,x2)(x－x2)，即y＝eq \f(1,x2)x－1＋ln x2，由题意得得x2＝，－x1＝－1＋ln x2＝－1＋＝－1－x1，则＝eq \f(x1＋1,x1－1).又x2＝，所以x2＝eq \f(x1－1,x1＋1)，所以x2－1＝eq \f(x1－1,x1＋1)－1＝eq \f(－2,x1＋1)，所以(x1＋1)(x2－1)＝－2.思维升华 公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解．跟踪训练3 (1)(2022·青岛模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)＝－2x2＋m，g(x)＝－3ln x－x，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则m的值为( )A．2 B．5 C．1 D．0答案 C解析 根据题意，设两曲线y＝f(x)与y＝g(x)的公共点为(a，b)，其中a>0，由f(x)＝－2x2＋m，可得f′(x)＝－4x，则切线的斜率为k＝f′(a)＝－4a，由g(x)＝－3ln x－x，可得g′(x)＝－eq \f(3,x)－1，则切线的斜率为k＝g′(a)＝－eq \f(3,a)－1，因为两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，所以－4a＝－eq \f(3,a)－1，解得a＝1或a＝－eq \f(3,4)(舍去)，又由g(1)＝－1，即公共点的坐标为(1，－1)，将点(1，－1)代入f(x)＝－2x2＋m，可得m＝1.(2)已知f(x)＝ex(e为自然对数的底数)，g(x)＝ln x＋2，直线l是f(x)与g(x)的公切线，则直线l的方程为____________________．答案 y＝ex或y＝x＋1解析 设直线l与f(x)＝ex的切点为(x1，y1)，则y1＝，f′(x)＝ex，∴f′(x1)＝，∴切点为(x1，)，切线斜率k＝，∴切线方程为y－＝(x－x1)，即y＝·x－x1＋，①同理设直线l与g(x)＝ln x＋2的切点为(x2，y2)，∴y2＝ln x2＋2，g′(x)＝eq \f(1,x)，∴g′(x2)＝eq \f(1,x2)，切点为(x2，ln x2＋2)，切线斜率k＝eq \f(1,x2)，∴切线方程为y－(ln x2＋2)＝eq \f(1,x2)(x－x2)，即y＝eq \f(1,x2)·x＋ln x2＋1，②由题意知，①与②相同，∴把③代入④有＝－x1＋1，即(1－x1)(－1)＝0，解得x1＝1或x1＝0，当x1＝1时，切线方程为y＝ex；当x1＝0时，切线方程为y＝x＋1，综上，直线l的方程为y＝ex或y＝x＋1.课时精练1．(2022·营口模拟)下列函数的求导正确的是( )A．(x－2)′＝－2xB．(xcos x)′＝cos x－xsin xC．(ln 10)′＝eq \f(1,10)D．(e2x)′＝2ex答案 B解析 (x－2)′＝－2x－3，∴A错；(xcos x)′＝cos x－xsin x，∴B对；(ln 10)′＝0，∴C错；(e2x)′＝2e2x，∴D错．2．(2022·黑龙江哈师大附中月考)曲线y＝2cos x＋sin x在(π，－2)处的切线方程为( )A．x－y＋π－2＝0 B．x－y－π＋2＝0C．x＋y＋π－2＝0 D．x＋y－π＋2＝0答案 D解析 y′＝－2sin x＋cos x，当x＝π时，k＝－2sin π＋cos π＝－1，所以在点(π，－2)处的切线方程，由点斜式可得y＋2＝－1×(x－π)，化简可得x＋y－π＋2＝0.3．(2022·长治模拟)已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)等于( )A．－1 B．0 C．2 D．4答案 B解析 由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－eq \f(1,3)，∴f′(3)＝－eq \f(1,3)，∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，又由题图可知f(3)＝1，∴g′(3)＝1＋3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝0.4．已知点A是函数f(x)＝x2－ln x＋2图象上的点，点B是直线y＝x上的点，则|AB|的最小值为( )A.eq \r(2) B．2C.eq \f(4\r(3),3) D.eq \f(16,3)答案 A解析 当与直线y＝x平行的直线与f(x)的图象相切时，切点到直线y＝x的距离为|AB|的最小值．f′(x)＝2x－eq \f(1,x)＝1，解得x＝1或x＝－eq \f(1,2)(舍去)，又f(1)＝3，所以切点C(1,3)到直线y＝x的距离即为|AB|的最小值，即|AB|min＝eq \f(|1－3|,\r(12＋12))＝eq \r(2).5．设曲线f(x)＝aex＋b和曲线g(x)＝cos eq \f(πx,2)＋c在它们的公共点M(0,2)处有相同的切线，则b＋c－a的值为( )A．0 B．π C．－2 D．3答案 D解析 ∵f′(x)＝aex，g′(x)＝－eq \f(π,2)sin eq \f(πx,2)，∴f′(0)＝a，g′(0)＝0，∴a＝0，又M(0,2)为f(x)与g(x)的公共点，∴f(0)＝b＝2，g(0)＝1＋c＝2，解得c＝1，∴b＋c－a＝2＋1－0＝3.6．(2022·邢台模拟)设点P是函数f(x)＝2ex－f′(0)x＋f′(1)图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3π,4))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))答案 B解析 ∵f(x)＝2ex－f′(0)x＋f′(1)，∴f′(x)＝2ex－f′(0)，∴f′(0)＝2－f′(0)，f′(0)＝1，∴f(x)＝2ex－x＋f′(1)，∴f′(x)＝2ex－1>－1.∵点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为α，∴tan α>－1.∵α∈[0，π)，∴α∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)).7.(多选)已知函数f(x)的图象如图，f′(x)是f(x)的导函数，则下列结论正确的是( )A．f′(3)>f′(2)B．f′(3)f′(3)D．f(3)－f(2)f′(3)>0，故A错误，B正确．设A(2，f(2))，B(3，f(3))，则f(3)－f(2)＝eq \f(f3－f2,3－2)＝kAB，由图知f′(3)
