2022届高考数学一轮复习单元检测十二　平面解析几何（解析版）

这是一份2022届高考数学一轮复习单元检测十二　平面解析几何（解析版），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
单元检测十二　平面解析几何
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2020·上饶模拟)已知直线x＋my＋m＋8＝0与直线(m＋1)x＋2y－6＝0平行，则实数m等于(　　)
A．1或－2 B．－2
C．1 D．－2或3
答案　C
解析　由题意易得m≠0，
又因为直线x＋my＋m＋8＝0与直线(m＋1)x＋2y－6＝0平行，
所以－＝－且－≠3，
所以m＝1或m＝－2且m≠－2，
所以m＝1.
2．(2020·北京怀柔模拟)设点M(x，y)是直线x＋y－2＝0上的动点，O为原点，则|OM|的最小值是(　　)
A．1 B. C．2 D.
答案　B
解析　原点到直线的距离为＝，
故|OM|的最小值为.
3．(2021·蚌埠模拟)已知三角形的三个顶点A(2,4)，B(3，－6)，C(5,2)，则过A点的中线长为(　　)
A. B．2 C．11 D．3
答案　B
解析　设中点为D(x，y)，
B(3，－6)，C(5,2)，
可得
可得D(4，－2)，
所以|AD|＝＝＝2.
4．已知椭圆的标准方程为＋＝1(m>0)，并且焦距为6，则实数m的值为(　　)
A．4 B. C．4或 D．5
答案　C
解析　∵椭圆的标准方程为＋＝1(m>0)，
椭圆的焦距为2c＝6，c＝3，
∴当椭圆的焦点在x轴上时，25－m2＝9，解得m＝4；
当椭圆的焦点在y轴上时，m2－25＝9，解得m＝.
综上所述，m的值是4或.
5．(2020·绵阳模拟)已知椭圆C：＋＝1，过点P(1,1)的直线l与椭圆C交于A，B两点，若点P恰为弦AB的中点，则直线l的斜率是(　　)
A．－3 B．－ C．－ D．－
答案　C
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，
则＋＝1，＋＝1，
两式相减得＝－，
所以＝－×＝－×＝－，
即直线l的斜率是－.
6．(2021·益阳模拟)一束光线从P(3,2)发出，经x轴反射后过Q(－7,2)，则反射光线在x轴上的截距是(　　)
A．－3 B．2 C．－2 D．3
答案　C
解析　一束光线从P(3,2)发出，经x轴反射后过Q(－7,2)，
所以点P(3,2)关于x轴的对称的点的坐标为T(3，－2)．
所以反射光线的斜率kTQ＝＝－，
则反射光线的直线的方程为y－2＝－(x＋7)，
整理得＋＝1，
所以反射光线在x轴上的截距为－2.
7．(2020·广东华南师大附中月考)已知平行于x轴的直线l与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于P，Q两点，O为坐标原点，若△OPQ为等边三角形，则双曲线C的离心率为(　　)
A．2 B. C. D.
答案　A
解析　∵△OPQ为等边三角形，
∴渐近线的倾斜角为，
∴＝，∴b＝a，∴b2＝3a2，
∴c2－a2＝3a2，∴c2＝4a2，∴e2＝4，∴e＝2.
8．(2020·厦门模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，以OF为直径的圆与双曲线C的渐近线交于不同于原点O的A，B两点，若四边形AOBF的面积为(a2＋b2)，则双曲线C的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±2x
答案　C
解析　根据题意，OA⊥AF，双曲线C的焦点F到C的一条渐近线y＝±x的距离为＝b，则|AF|＝b，所以|OA|＝a，所以ab＝(a2＋b2)，所以＝1，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x.
9．(2020·成都模拟)若直线y＝x＋b与曲线y＝3－有2个公共点，则b的取值范围是(　　)
A．[1－2，1＋2] B．(1－2，－1]
C．[3,1＋2) D．[－1,3]
答案　B
解析　由y＝3－得(x－2)2＋(y－3)2＝4(y≤3)，
所以直线y＝x＋b与半圆(x－2)2＋(y－3)2＝4(y≤3)有2个公共点，
作出直线与半圆的图形，如图，

当直线y＝x＋b经过点(4,3)时，b＝3－4＝－1，
当直线与半圆(x－2)2＋(y－3)2＝4(y≤3)相切时，
＝2，解得b＝1－2或b＝1＋2(舍去)，
由图可知，当直线y＝x＋b与曲线y＝3－有2个公共点时，1－2b>0)的左、右焦点，且离心率e＝，点P是椭圆上位于第二象限内的一点，若△PF1F2是腰长为4的等腰三角形，则△PF1F2的面积为________．
答案　
解析　由题意知2c＝4，则c＝2，
又e＝＝，∴a＝3，
由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，
又△PF1F2是腰长为4的等腰三角形，且点P在第二象限，∴|PF2|＝4，|PF1|＝2，
过F2作F2D⊥PF1于点D，
则|PD|＝1，|DF2|＝，
∴△PF1F2的面积为×2×＝.
15．(2020·昆明模拟)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，准线为l，点P在C上，过点P作l的垂线交l于点E，且∠PFE＝60°，|PF|＝4，则抛物线C的方程为________．
答案　x2＝4y
解析　抛物线C：x2＝2py(p>0)，焦点F，准线l：y＝－，
如图，PE⊥l，∠PFE＝60°，|PF|＝4，

由抛物线定义知|PF|＝|PE|＝4，
故△PFE是等边三角形，
过焦点F作FM⊥PE，交PE于M，则M为PE的中点，
所以|PM|＝|ME|＝2，即焦点到准线的距离是p＝2，
所以抛物线C的方程为x2＝4y.
16．(2020·上海模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，Sn＝an＋1＋1(n∈N*)．已知F1，F2是双曲线C：－y2＝1的左、右焦点，Pn(n∈N*)，若t≥|PnF1|－|PnF2|对n∈N*恒成立，则实数t的取值范围是________．
答案　[4，＋∞)
解析　当n＝1时，a1＝a2＋1，∵a1＝3，∴a2＝4，
当n≥2时，Sn－1＝an＋1，
作差得，an＝an＋1－an(n≥2)
⇒＝(n≥2)⇒＝＝2，
∴an＝Sn＝
F1(－，0)，F2(，0)，n＝1，P1，
|P1F1|－|P1F2|≈1.96，
当n≥2时，设线段PnF2与双曲线交于点G，|PnF1|－|PnF2|＝|PnF1|－(|PnG|＋|GF2|)b>0)的离心率为，短轴一个端点到右焦点F的距离为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点F的直线l交椭圆于A，B两点，交y轴于P点，设＝λ1，＝λ2，试判断λ1＋λ2是否为定值？请说明理由．
解　(1)由题意可得a＝＝，
又e＝＝，所以c＝1，
b＝＝1，
因此椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)由题意可得直线斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－1)，
由消去y，整理得
(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
又F(1,0)，P(0，－k)，
则＝(x1，y1＋k)，＝(1－x1，－y1)，
由＝λ1可得x1＝λ1(1－x1)，
所以λ1＝，同理可得λ2＝，
所以λ1＋λ2＝＋
＝＝
＝＝－4，
所以λ1＋λ2为定值－4.
22．(12分)(2020·浙江)如图，已知椭圆C1：＋y2＝1，抛物线C2：y2＝2px(p>0)，点A是椭圆C1与抛物线C2的交点．过点A的直线l交椭圆C1于点B，交抛物线C2于点M(B，M不同于A)．

(1)若p＝，求抛物线C2的焦点坐标；
(2)若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．
解　(1)若p＝，则＝，
则抛物线C2的焦点坐标为.
(2)直线l与x轴垂直时，此时点M与点A或点B重合，不满足题意，
故设直线l的方程为y＝kx＋t，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，
由
消y可得(2k2＋1)x2＋4ktx＋2t2－2＝0，
∴Δ＝16k2t2－4(2k2＋1)(2t2－2)>0，
即t2