2022届高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.2命题及其关系充分条件与必要条件学案理含解析北师大版

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第二节　命题及其关系、充分条件与必要条件命题分析预测学科核心素养从近五年的考查情况来看，高考对本节内容的考查涉及的知识点较广，全国卷主要以其他知识为背景考查命题的真假判断，充分条件、必要条件的判断，题目难度中等，以选择题和填空题为主，有时也以解答题的一问呈现.本节主要以函数、三角函数、数列、立体几何、解析几何、概率、统计、复数等为载体，结合命题、充分条件和必要条件考查考生的转化思想和逻辑推理核心素养.授课提示：对应学生用书第4页知识点一　四种命题及其关系1.四种命题间的相互关系2.四种命题的真假关系（1）两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性.（2）两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系.1.有下列几个命题：①“若a＞b，则＞”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2＜4，则－2＜x＜2”的逆否命题.其中真命题的序号是（　　）A.①　　　　　　　 B.①②C.②③  D.①②③解析：①原命题的否命题为“若a≤b，则≤”，假命题；②原命题的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，真命题；③原命题为真命题，故逆否命题为真命题，所以真命题的序号是②③.答案：C2.命题“若x2＋y2＝0，x，y∈R，则x＝y＝0”的逆否命题是（　　）A.若x≠y≠0，x，y∈R，则x2＋y2＝0B.若x＝y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0C.若x≠0且y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0D.若x≠0或y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0解析：将原命题的条件和结论否定，并互换位置即可.由x＝y＝0知x＝0且y＝0，其否定是x≠0或y≠0.答案：D3.已知曲线C：f（x）＝x3－3x，直线l：y＝ax－a，则“a＝6”是“直线l与曲线C相切”的（　　）A.充分不必要条件  B.必要不充分条件C.充要条件  D.既不充分也不必要条件答案：A知识点二　充分条件与必要条件若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且qpp是q的必要不充分条件pq且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件pq且qp• 温馨提醒 •1.易混淆否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论.2.易忽视A是B的充分不必要条件（A⇒B且BA）与A的充分不必要条件是B（B⇒A且AB）两者的不同.1.“（x－1）（x＋2）＝0”是“x＝1”的（　　）A.充分不必要条件  B.必要不充分条件C.充要条件  D.既不充分也不必要条件解析：由（x－1）（x＋2）＝0，得x＝1或x＝－2，所以“（x－1）（x＋2）＝0”是“x＝1”的必要不充分条件.答案：B2.（2021·贵阳模拟）设向量a＝（1，x－1），b＝（x＋1，3），则“x＝2”是“a∥b”的（　　）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：依题意，注意到a∥b的充要条件是1×3＝（x－1）·（x＋1），即x＝±2.因此，由x＝2可得a∥b，“x＝2”是“a∥b”的充分条件；由a∥b不能得到x＝2，“x＝2”不是“a∥b”的必要条件，故“x＝2”是“a∥b”的充分不必要条件.答案：A3.（易错题）条件p：x＞a，条件q：x≥2.（1）若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是　　　　；（2）若p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是__________.解析：设A＝{x|x＞a}，B＝{x|x≥2}，（1）因为p是q的充分不必要条件，所以AB，所以a≥2；（2）因为p是q的必要不充分条件，所以BA，所以a＜2.答案：（1）a≥2　（2）a＜2授课提示：对应学生用书第5页题型一　四种命题的相互关系及真假判断　　1.命题“若x2＜1，则－1＜x＜1”的逆否命题是（　　）A.若x2≥1，则x≥1或x≤－1B.若－1＜x＜1，则x2＜1C.若x＞1或x＜－1，则x2＞1D.若x≥1或x≤－1，则x2≥1解析：命题的形式是“若p，则q”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题是“若非q，则非p”的形式，所以“若x2＜1，则－1＜x＜1”的逆否命题是“若x≥1或x≤－1，则x2≥1”.答案：D2.已知集合P＝，Q＝，记原命题：“x∈P，则x∈Q”，那么，在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是（　　）A.0　　　　　　　 B.1C.2  D.4解析：因为P＝＝，Q＝，所以P⊆Q，所以原命题“x∈P，则x∈Q”为真命题，则原命题的逆否命题为真命题.原命题的逆命题“x∈Q，则x∈P”为假命题，则原命题的否命题为假命题，所以真命题的个数为2.答案：C3.（2021·衡阳模拟）给定下列命题：①若k＞0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；②“矩形的对角线相等”的逆命题；③“若xy＝0，则x，y中至少有一个为0”的否命题.其中真命题的序号是__________.解析：①∵k＞0时，Δ＝4－4（－k）＝4＋4k＞0，∴①是真命题.②逆命题：对角线相等的四边形是矩形，是假命题.③否命题：若xy≠0，则x，y都不为0，是真命题.答案：①③1.写一个命题的其他三种命题时需关注两点（1）对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写.（2）若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提.[提醒]　四种命题的关系具有相对性，一旦一个命题定为原命题，相应的也就有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”.2.判断命题真假的两种方法（1）直接判断：判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可.（2）间接判断：当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假.题型二　充分条件、必要条件的判断　　 　　充分条件、必要条件是高考的常考内容，多以选择题的形式出现，难度不大，属于基础题.常见的命题角度有：（1）定义法判断充分、必要条件；（2）集合法判断充分、必要条件；（3）等价转化法判断充分、必要条件.考法（一）　定义法判断充分、必要条件[例1]　（2020·高考天津卷）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞a”的（　　）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件[解析]　求解二次不等式a2＞a可得a＞1或a＜0，据此可知a＞1是a2＞a的充分不必要条件.[答案]　A考法（二）　集合法判断充分、必要条件[例2]　（2019·高考天津卷）设x∈R，则“x2－5x＜0”是“|x－1|＜1”的（　　）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件[解析]　由x2－5x＜0可得0＜x＜5.由|x－1|＜1可得0＜x＜2.由于区间（0，2）是（0，5）的真子集，故“x2－5x＜0”是“|x－1|＜1”的必要而不充分条件.[答案]　B考法（三）　转化法判断充分、必要条件[例3]　给定两个命题p，q.若非p是q的必要不充分条件，则p是非q的（　　）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件[解析]　因为非p是q的必要不充分条件，则q⇒非p但非pq，其逆否命题为p⇒非q但非qp，所以p是非q的充分不必要条件.[答案]　A　充分条件、必要条件的三种判断方法（1）定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断.（2）集合法：根据p，q成立时对应的集合之间的包含关系进行判断.（3）等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断，这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的何种条件.[题组突破]1.（2021·佛山模拟）已知p：x＝2，q：x－2＝，则p是q的（　　）A.充分不必要条件　　　 B.必要不充分条件C.充要条件  D.既不充分也不必要条件解析：当x－2＝时，两边平方可得（x－2）2＝2－x，即（x－2）（x－1）＝0，解得x1＝2，x2＝1.当x＝1时，－1＝，不成立，故舍去，则x＝2，所以p是q的充要条件.答案：C2.（2021·西城模拟）设平面向量a，b，c均为非零向量，则“a·（b－c）＝0”是“b＝c”的（　　）A.充分不必要条件  B.必要不充分条件C.充要条件  D.既不充分也不必要条件解析：由b＝c，得b－c＝0，得a·（b－c）＝0；反之不成立.故“a·（b－c）＝0”是“b＝c”的必要不充分条件.答案：B3.（2021·泰安模拟）若p：log2a＜1，q：关于x的一元二次方程x2＋（a＋1）x＋a－2＝0的一根大于零，另一根小于零，则p是q的（　　）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：满足条件p的参数a的取值集合为M＝{a|0＜a＜2}，满足条件q的参数a的取值集合为N＝{a|a＜2}，显然MN，所以p是q的充分不必要条件.答案：A　充要条件中的核心素养（一）逻辑推理——已知充分、必要条件求参数范围[例1]　（1）p：关于x的函数y＝|3x－1|－k有两个零点；q：0≤k≤1.则p成立是q成立的（　　）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件（2）已知集合A＝，B＝{x|log3（x＋a）≥1}，若x∈A是x∈B的必要不充分条件，则实数a的取值范围是__________.[解析]　（1）由题意，作出y＝|3x－1|的图像如图所示，所以关于x的函数y＝|3x－1|－k有两个零点时，0＜k＜1，所以p成立是q成立的充分不必要条件.（2）由≤1，得x2－x－6≥0，解得x≤－2或x≥3，故A＝{x|x≤－2或x≥3}.由log3（x＋a）≥1，得x＋a≥3，即x≥3－a，故B＝{x|x≥3－a}.由题意可知BA，所以3－a≥3，解得a≤0.故实数a的取值范围是（－∞，0].[答案]　（1）B　（2）（－∞，0]根据充要条件求解参数范围的方法及注意事项（1）解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（组）求解.（2）求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.（二）创新应用——“交汇型”充分、必要条件的判断[例2]　已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的（　　）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件[解析]　因为S4＋S6＞2S5⇔4a1＋d＋＞2⇔6d＋15d＞20d⇔d＞0，所以“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的充要条件.[答案]　C“交汇型”充分必要条件的问题通常是选取合适的数学背景，把新交汇考点巧妙地融入试题中，虽然它的构思巧妙、题意新颖，但是，它考查的还是基本知识和基本技能.解这类题的关键在于用慧眼去找寻“交汇点”，用心灵去感受题意以及科学合理地运算推理.[题组突破]1.（2020·高考北京卷）已知α，β∈R，则“存在k∈Z使得α＝kπ＋（－1）kβ”是“sin α＝sin β”的（　　）A.充分而不必要条件　 B.必要而不充分条件C.充分必要条件  D.既不充分也不必要条件解析：（1）当存在k∈Z使得α＝kπ＋（－1）kβ时，若k为偶数，则sin α＝sin（kπ＋β）＝sin β；若k为奇数，则sin α＝sin（kπ－β）＝sin[（k－1）π＋π－β]＝sin（π－β）＝sin β；（2）当sin α＝sin β时，α＝β＋2mπ或α＋β＝π＋2mπ，m∈Z，即α＝kπ＋（－1）kβ（k＝2m）或α＝kπ＋（－1）kβ（k＝2m＋1），亦即存在k∈Z使得α＝kπ＋（－1）kβ.所以，“存在k∈Z使得α＝kπ＋（－1）kβ”是“sin α＝sin β”的充要条件.答案：C2.已知集合A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x||x－4|≤2}.若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，则实数a的取值范围是__________.解析：由题意，得B＝{x|2≤x≤6}.∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，∴AB，∴，且a＋3＝6与2a＝2不同时成立.解得1≤a≤3.答案：[1，3]