2022高考数学一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语第2讲命题及其关系充分条件与必要条件学案文

这是一份2022高考数学一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语第2讲命题及其关系充分条件与必要条件学案文，共8页。学案主要包含了思考辨析，易错纠偏等内容，欢迎下载使用。


1．命题
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
2．四种命题及其关系
(1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
3．充分条件、必要条件与充要条件的概念
常用结论
1．充要条件的两个结论
(1)若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件．
(2)若p是q的充分不必要条件，则﹁q是﹁p的充分不必要条件．
2．一些常见词语及其否定
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)“x2＋2x－3<0”是命题．( )
(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则﹁q”．( )
(3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．( )
(4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( )
(5)q不是p的必要条件时，“peq \(⇒,\s\up0(/))q”成立．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√
二、易错纠偏
常见误区| (1)命题的条件与结论不明确；
(2)含有大前提的命题的否命题易出现否定大前提的情况；
(3)对充分必要条件判断错误．
1．命题“若a2＋b2＝0，a，b∈R，则a＝b＝0”的逆否命题是________．
答案：若a≠0或b≠0，a，b∈R，则a2＋b2≠0
2．已知命题“对任意a，b∈R，若ab>0，则a>0”，则它的否命题是________．
答案：对任意a，b∈R，若ab≤0，则a≤0
3．已知p：a<0，q：a2>a，则﹁p是﹁q的________条件(填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)．
解析：﹁p：a≥0；﹁q：a2≤a，即0≤a≤1，故﹁p是﹁q的必要不充分条件．
答案：必要不充分
四种命题的相互关系及真假判断(自主练透)
1．命题“若x2<1，则－1A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1
B．若－1C．若x>1或x<－1，则x2>1
D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1
解析：选D．命题的形式是“若p，则q”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题是“若﹁q，则﹁p”的形式，所以“若x2<1，则－12．有以下命题：
①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；
②“面积相等的两个三角形全等”的否命题；
③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；
④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．
其中真命题是( )
A．①② B．②③
C．④ D．①②③
解析：选D．①原命题的逆命题为“若x，y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；②原命题的否命题为“面积不相等的两个三角形不全等”，是真命题；③若m≤1，Δ＝4－4m≥0，所以原命题是真命题，故其逆否命题也是真命题；④由A∩B＝B，得B⊆A，所以原命题是假命题，故其逆否命题也是假命题，故①②③正确．
3．已知集合P＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x＝k＋\f(1,2)，k∈Z))，Q＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x＝\f(k,2)，k∈Z))，记原命题：“x∈P，则x∈Q”，那么，在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．4
解析：选C．因为P＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x＝k＋\f(1,2)，k∈Z))＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x＝\f(2k＋1,2)，k∈Z))，Q＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x＝\f(k,2)，k∈Z))，所以PQ，
所以原命题“x∈P，则x∈Q”为真命题，
则原命题的逆否命题也为真命题．
原命题的逆命题“x∈Q，则x∈P”为假命题，
则原命题的否命题为假命题，所以真命题的个数为2.
eq \a\vs4\al()
(1)写一个命题的其他三种命题时需关注2点
①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；
②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．
[提醒] 四种命题的关系具有相对性，一旦一个命题定为原命题，相应的也就有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”．
(2)判断命题真假的2种方法
①直接判断：判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可；
②间接判断：当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．
充分条件、必要条件的判断(师生共研)
(1)(2020·高考天津卷)设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)已知p：x＝2，q：x－2＝eq \r(2－x)，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 (1)由a2>a得a>1或a<0，反之，由a>1得a2>a，则“a>1”是“a2>a”的充分不必要条件，故选A．
(2)当x－2＝eq \r(2－x)时，两边平方可得(x－2)2＝2－x，即(x－2)(x－1)＝0，解得x1＝2，x2＝1.当x＝1时，－1＝eq \r(1)，不成立，故舍去，则x＝2，所以p是q的充要条件，故选C．
【答案】 (1)A (2)C
eq \a\vs4\al()
判断充要条件的3种常用方法
(1)定义法：直接判断若p，则q、若q，则p的真假．
(2)等价法：利用A⇒B与﹁B⇒﹁A，B⇒A与﹁A⇒﹁B，A⇔B与﹁B⇔﹁A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
(3)利用集合间的包含关系判断：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．
[提醒] 判断充要条件时需注意3点
(1)要分清条件与结论分别是什么．
(2)要从充分性、必要性两个方面进行判断．
(3)直接判断比较困难时，可举出反例说明．
1．(2021·南充市第一次适应性考试)“A＝60°”是“cs A＝eq \f(1,2)”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A．A＝60°⇒cs A＝eq \f(1,2)，cs A＝eq \f(1,2)⇒A＝±60°＋k·360°，k∈Z，所以“A＝60°”是“cs A＝eq \f(1,2)”的充分不必要条件．
2．(2021·广东省七校联考)已知命题p：2x＜ 2y，命题q：lg2x＜lg2y，则命题p是命题q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B．由题意可得p：x＜y，q：0＜x＜y，故p是q的必要不充分条件，选B．
3．王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的( )
A．充要条件
B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件
D．必要不充分条件
解析：选D．由“非有志者不能至也”，可得能够到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的必须有志，而有志者未必到达“奇伟、瑰怪，非常之观”，故“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的必要不充分条件．
充分条件、必要条件的探求及应用(典例迁移)
(1)设集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|x≥1}，则“x∈A且x∉B”成立的充要条件是( )
A．－1C．x>－1 D．－1(2)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若“x∈P”是“x∈S”的必要条件，则m的取值范围为________．
【解析】 (1)因为集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|x≥1}，又因为“x∈A且x∉B”，所以－1(2)由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
所以P＝{x|－2≤x≤10}，
由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－m≤1＋m，,1－m≥－2，,1＋m≤10，))所以0≤m≤3.
所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，
即所求m的取值范围是[0，3]．
【答案】 (1)D (2)[0，3]
【迁移探究】 (变问法)本例(2)条件不变，若“x∈﹁P”是“x∈﹁S”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
解：由例题知P＝{x|－2≤x≤10}，
因为“x∈﹁P”是“x∈﹁S”的必要不充分条件，
所以P⇒S且Seq \(⇒,\s\up0(/))P.
所以[－2，10][1－m，1＋m]．
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－m≤－2，,1＋m＞10))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－m＜－2，,1＋m≥10.))
所以m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞)．
eq \a\vs4\al()
根据充要条件求解参数范围的方法及注意事项
(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．
(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．
1．(2021·东北三校第一次联考)下列说法中正确的是( )
A．若“a＞b”是“a＞c”的充分条件，则b≥c
B．若“a＞b”是“a＞c”的充分条件，则b≤c
C．若“a＞b”是“a＞c”的充要条件，则b＞c
D．若“a＜b”是“a＞c”的必要条件，则b＜c
解析：选A．令A＝{a|a＞b}，B＝{a|a＞c}，C＝{a|a＜b}．若“a＞b”是“a＞c”的充分条件，则有A⊆B，则b≥c，故选项A正确，选项B错误；若“a＞b”是“a＞c”的充要条件，则有A＝B，则b＝c，故选项C错误；若“a＜b”是“a＞c”的必要条件，则有B⊆C，这是不可能的，故选项D错误．故选A．
2．命题“∀x∈[1，3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A．a≥9 B．a≤9
C．a≥10 D．a≤10
解析：选C．命题∀x∈[1，3]，x2－a≤0⇔∀x∈[1，3]，x2≤a⇔9≤a.则“a≥10”是命题“∀x∈[1，3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件．故选C．
3．若“x2－x－6>0”是“x>a”的必要不充分条件，则a的最小值为________．
解析：由x2－x－6>0，解得x<－2或x>3.
因为“x2－x－6>0”是“x>a”的必要不充分条件，
所以{x|x>a}是{x|x<－2或x>3}的真子集，即a≥3，故a的最小值为3.
答案：3
思想方法系列1 等价转化思想在充要条件中的应用
等价转化思想就是对原问题换一个方式、换一个角度、换一个观点加以考虑，把要解决的问题通过某种转化，再转化，化归为一类已经解决或比较容易解决的问题，从而使问题得到圆满解决的思维方式．
已知条件p：|x－4|≤6，条件q：(x－1)2－m2≤0(m>0)．若﹁p是﹁q的充分不必要条件，则m的取值范围为______．
【解析】 条件p：－2≤x≤10，条件q：1－m≤x≤1＋m，又﹁p是﹁q的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件．故有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m>0，,1－m≥－2,1＋m≤10，))，所以0【答案】 (0，3]
eq \a\vs4\al()
本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充分、必要条件问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是解此类问题的关键．
1．如果x，y是实数，那么“x≠y”是“cs x≠cs y”的( )
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C．方法一：设集合A＝{(x，y)|x≠y}，B＝{(x，y)|cs x≠cs y}，则A的补集C＝{(x，y)|x＝y}，B的补集D＝{(x，y)|cs x＝cs y}，显然CD，所以BA，于是“x≠y”是“cs x≠cs y”的必要不充分条件．
方法二(等价转化法)：因为x＝y⇒cs x＝cs y，而cs x＝cs yeq \(⇒,\s\up0(/)) x＝y，所以“cs x＝cs y”是“x＝y”的必要不充分条件，故“x≠y”是“cs x≠cs y”的必要不充分条件．
2．王昌龄的《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B．“攻破楼兰”不一定“返回家乡”，但“返回家乡”一定是“攻破楼兰”，故“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件．故选B．若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且qeq \(⇒,\s\up0(/)) p
p是q的必要不充分条件
peq \(⇒,\s\up0(/)) q且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
peq \(⇒,\s\up0(/)) q且qeq \(⇒,\s\up0(/)) p
词语
是
都是
都不是
等于
大于
否定
不是
不都是
至少一个是
不等于
不大于