2020-2021年广西省贵港市高一（下）4月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021年广西省贵港市高一（下）4月月考数学试卷人教A版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知集合A={1, 2, 3, 4}，B={y|y=3x−2, x∈A}，则A∩B=( )
A.{1}B.{4}C.{1, 3}D.{1, 4}

2. 已知等差数列an前n项和为Sn，若a2+a8=10，则S9=（ ）
A.45B.42C.40D.36

3. 已知等比数列an公比q=2，则2a1+a22a3+a4=( )
A.18B.14C.12D.1

4. 在△ABC中，若a=2，b=23，A=30∘，则B等于( )
A.30∘B.30∘或150∘C.60∘或120∘D.60∘

5. 设a=20.2，b=sin2，c=lg20.2，则a，b，c的大小关系是( )
A.b>a>cB.a>b>cC.b>c>aD.c>a>b

6. 在△ABC中， sinC2=255，BC=1，AC=5 ，则AB=( )
A.42B. 30 C. 29 D. 25

7. 设a>b，则下列不等式恒成立的为( )
A.a+c4>b+c4B.ac2>bc2
C.lgb+cb+c13

8. 已知数列an满足a1=0，an+1=an+2n，则a2021等于( )
A.2019×2020B.2018×2019C.2020×2021D.2020×2020

9. 已知正项等比数列an，若向量a→=8,a2，b→=(a8，2)，a→//b→，则lg2a1+lg2a5+lg2a9=( )
A.4B.5C.4+lg25D.6

10. 已知数列an中， a1=1 ，an+1=an1+2an，则这个数列的第n项an为( )
A.2n−1B.2n+1C.12n−1D.12n+1

11. 《莱茵德纸草书》（Rℎind Papyrus）是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100磅面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的两份之和的12是较小的三份之和，则最小的1份为（ ）
A.53磅B.209磅C.119磅D.103磅

12. 已知a，b>0，a+2b=2，则ba+1b的取值范围是( )
A.[2+1,+∞)B.[2,+∞)C.(0,+∞)D.[22,+∞)
二、填空题

不等式x2+4x−5<0 的解集为________.

若关于x的不等式 x−ax+1>0的解集为−∞,−1∪4,+∞，则实数a=________．

如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为60∘和30∘，如果这时气球的高是30米，则河流的宽度BC为________米．


数列an满足a1=2， an+1=11−ann∈N∗，则a15=________.
三、解答题

设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，a=2bsinA.
(1)求B的大小；

(2)若a=33，c=5，求b．

已知公比为正数的等比数列{an}满足a1=2，且a3=a2+4．
(1)求{an}的通项公式；

(2)设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an+bn}的前n项和Sn．

△ABC的外接圆半径R=3，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2sinA−sinCsinB=csCcsB.
(1)求角B和边长b；

(2)求△ABC面积S的最大值及取得最大值时的a，c的值，并判断此时三角形的形状．

设数列an 的各项都是正数，且对任意n∈N∗，都有an2+2an−3=4Sn，其中Sn为数列an的前n项和．
(1)求证：数列an是等差数列；

(2)求数列4an2−1的前n项和Tn．

已知单调递增的等比数列{an}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．
(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn=an⋅lg2an，求数列{bn}的前n项和Sn．

在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，C=π3．
(1)若△ABC的面积等于3，求a，b；

(2)若sinC+sin(B−A)=2sin2A，求△ABC的面积．
参考答案与试题解析
2020-2021年广西省贵港市高一（下）4月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
交集及其运算
【解析】
把A中元素代入y=3x−2中计算求出y的值，确定出B，找出A与B的交集即可．
【解答】
解：把x=1，2，3，4分别代入y=3x−2，
得：y=1，4，7，10，
即B={1, 4, 7, 10}.
∵ A={1, 2, 3, 4}，
∴ A∩B={1, 4}.
故选D．
2.
【答案】
A
【考点】
等差数列的性质
等差数列的前n项和
【解析】
由等差数列an的性质可得： a1+a9=a2+a8=10，再利用求和公式即可得出．
【解答】
解：由等差数列的性质可得： a1+a9=a2+a8=10，
则S9=9a1+a92=9×102=45，
故选A．
3.
【答案】
B
【考点】
等比数列的通项公式
等比数列的性质
【解析】
由等比数列的通项化简即可求解.
【解答】
解：由题意得
2a1+a22a3+a4=2a1+a22a1+a2q2=1q2=14，
故选B.
4.
【答案】
C
【考点】
正弦定理
【解析】
直接利用正弦定理，求出B的正弦函数值，即可求出B的值．
【解答】
解：∵ a=2，b=23，A=30∘，
∴ 由正弦定理得：sinB=bsinAa=23×122=32．
∵ b>a，
∴ B=60∘或120∘．
故选C．
5.
【答案】
B
【考点】
指数式、对数式的综合比较
【解析】
把a，b，c分别与0,1比较即可．
【解答】
解：∵ a=20.2>20=1，0c=lg20.2∴ a>b>c.
故选B.
6.
【答案】
A
【考点】
余弦定理
二倍角的余弦公式
同角三角函数间的基本关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：在△ABC中，sinC2=255，
csC2=55，csC=2×552−1=−35，
∵ BC=1，AC=5，
∴ AB=BC2+AC2−2BC⋅AC⋅csC=1+25+2×1×5×35=32=42 ．
故选A.
7.
【答案】
D
【考点】
不等式的基本性质
对数函数的图象与性质
【解析】
利用不等式的性质，对数函数的性质将各个选项逐一分析求解即可.
【解答】
解：由a>b可得a+c>b+c，
A，当0>a+c>b+c时，a+c4>b+c4显然不成立，故A错误；
B，当c=0时，ac2>bc2显然不成立，故B错误；
C，当0>a+c>b+c时，lgb+cD，a+c13>b+c13一定成立，故D正确.
故选D.
8.
【答案】
C
【考点】
数列递推式
等差数列的前n项和
【解析】
由数列{an满足a1=0 an+1=an+2n ，可得an−1−an=2n ，利用累加求和、等差数列的求和公式即可得出．
【解答】
解：数列an满足a1=0 ，an+1=an+2n ，
可得an+1−an=2n，
则an+1=an+1−an+an−an−1+… +a2−a1+a1
=2n+2n−1+… +2+0
=n2n+22
=nn+1，
∴a2021=2020×2021.
故选C．
9.
【答案】
D
【考点】
对数的运算性质
等比数列的性质
平面向量共线（平行）的坐标表示
等比中项
【解析】
本题先根据平行向量的坐标运算可得a2⋅a8=16，再根据等比中项的知识，可计算出a5=4，在求和时根据对数的运算及等比中项的性质可得到正确选项．
【解答】
解：由a→//b→，
可得8⋅2−a2⋅a8=0，即a2⋅a8=16，
根据等比中项的知识，
可得a2⋅a8=a52=16，
∵ a5>0，
∴ a5=4，
lg2a1+lg2a5 +lg2a9
=lg2(a1a5 a9)
=lg2a53
=3lg24=6.
故选D．
10.
【答案】
C
【考点】
由递推关系证明数列是等差数列
等差数列的通项公式
数列递推式
【解析】
取倒数，推出数列{1an}是等差数列，然后求解数列的通项公式即可．
【解答】
解：数列an中，a1=1，an+1=an1+2an，
所以1an+1=1an+2，
所以数列{1an}是等差数列，首项为1，公差为2，
所以1an=1+n−1×2=2n−1，
所以an=12n−1.
故选C．
11.
【答案】
B
【考点】
等差数列的性质
等差数列的通项公式
等差数列的前n项和
【解析】
设五个人所分得的面包为a−2d， a−d ，a，a+d ,a+2dd>0，根据条件列出方程求出a和d的值，从而得最小一份的值．
【解答】
解：设五个人所分得的面包为a−2d ，a−d ，a ，a+d ，a+2d，（其中d>0），
∵ 把100个面包分给5个人，
∴ a−2d+a−d+a+a+d+a+2d=5a=100，
得a=20，
∵ 使较大的两份之和的12是较小的三份之和，
∴ 12a+d+a+2d=a+a−2d+a−d，
得2a+3d=23a−3d，
化简得9d=4a，
∴ d=49×20=809，
所以最小的1份为a−2d=20−2×809=209，
故选B．
12.
【答案】
A
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】

【解答】
解：由题知，
ba+a+2b2b=ba+a2b+1≥2ba⋅a2b+1=2+1，
当且仅当ba=a2b，
即a=22−2，b=2−2时等号成立．
故选A．
二、填空题
【答案】
{x|−5【考点】
一元二次不等式的解法
【解析】
把不等式化为x+5x−1<0，求出解集即可．
【解答】
解：不等式x2+4x−5<0可化为x+5x−1<0，
解得−5故答案为： {x|−5【答案】
4
【考点】
其他不等式的解法
分式不等式的解法
【解析】
不等式即 x+1x−a>0，再由它的解集为−∞,−1∪4,+∞，可得−1和4是x+1x−a=0的两个实数根，由此可得a的值．
【解答】
解：关于x的不等式x−ax+1>0，
即x+1x−a>0，
再由它的解集为−∞,−1∪4,+∞ ，
可得−1和4是x+1x−a=0的两个实数根，故a=4，
故答案为：4.
【答案】
203
【考点】
已知三角函数模型的应用问题
【解析】
由题意画出图形，利用特殊角的三角函数，可得答案．
【解答】
解：如图，
由题意可知，∠C=30∘，∠DBA=60∘，∠BAC=30∘，
∠DAB=30∘，AD=30m，
∴ BC=AB=30cs30​∘=203m．
故答案为：203.
【答案】
12
【考点】
数列递推式
【解析】
根据数列项之间的关系推出数列的周期是解答本题的突破口
【解答】
解：由a1=2，an+1=11−an(n∈N∗），
得a2=11−a1=−1，
a3=11−a2=12，
a4=11−a3=2，
……，
以此类推可知数列{an}是周期为3的周期数列，
所以a15=a3×5=a3=12，
故答案为：12．
三、解答题
【答案】
解：(1)由a=2bsinA，
根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以sinB=12，
由△ABC为锐角三角形得B=π6．
(2)根据余弦定理，得b2=a2+c2−2accsB=27+25−45=7．
所以，b=7．
【考点】
正弦定理
余弦定理
【解析】
（1）根据正弦定理将边的关系化为角的关系，然后即可求出角B的正弦值，再由△ABC为锐角三角形可得答案．
（2）根据（1）中所求角B的值，和余弦定理直接可求b的值．
【解答】
解：(1)由a=2bsinA，
根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以sinB=12，
由△ABC为锐角三角形得B=π6．
(2)根据余弦定理，得b2=a2+c2−2accsB=27+25−45=7．
所以，b=7．
【答案】
解：(1)∵ 设{an}是公比为正数的等比数列，
∴ 设其公比为q，
∵ a3=a2+4，a1=2，
∴ 2×q2=2×q+4，解得q=2或q=−1，
∵ q>0，
∴ q=2 ，
∴ {an}的通项公式为an=2×2n−1=2n.
(2)∵ {bn}是首项为1，公差为2的等差数列，
∴ bn=1+(n−1)×2=2n−1，
∴ 数列{an+bn}的前n项和为
Sn=(a1+a2+⋯+an)+(b1+b2+⋯+bn)
=2(1−2n)1−2+n(1+2n−1)2
=2n+1+n2−2.
【考点】
等比数列的通项公式
等差数列的通项公式
数列的求和
【解析】
（1）由{an}是公比为正数的等比数列，设其公比，然后利用a1=2，a3=a2+4可求得q，即可求得{an}的通项公式
（2）由{bn}是首项为1，公差为2的等差数列 可求得bn=1+(n−1)×2=2n−1，然后利用等比数列与等差数列的前n项和公式即可求得数列{an+bn}的前n项和Sn．
【解答】
解：(1)∵ 设{an}是公比为正数的等比数列，
∴ 设其公比为q，
∵ a3=a2+4，a1=2，
∴ 2×q2=2×q+4，解得q=2或q=−1，
∵ q>0，
∴ q=2 ，
∴ {an}的通项公式为an=2×2n−1=2n.
(2)∵ {bn}是首项为1，公差为2的等差数列，
∴ bn=1+(n−1)×2=2n−1，
∴ 数列{an+bn}的前n项和为
Sn=(a1+a2+⋯+an)+(b1+b2+⋯+bn)
=2(1−2n)1−2+n(1+2n−1)2
=2n+1+n2−2.
【答案】
解：(1)∵ 2sinA−sinCsinB=csCcsB，
∴ 2sinAcsB−sinCcsB=sinBcsC，
可得2sinAcsB=sinBcsC+csBsinC=sin(B+C).
∵ 在△ABC中，sin(B+C)=sin(π−A)=sinA>0，
∴ 2sinAcsB=sinA，可得csB=12．
又∵ B∈(0, π)，
∴ B=π3，
由正弦定理bsinB=2R，
可得b=2RsinB=23⋅sinπ3=3.
(2)∵ b=3，csB=12，
∴ 由余弦定理b2=a2+c2−2accsB，可得a2+c2−ac=9，
∴ ac+9=a2+c2≥2ac，可得ac≤9，
当且仅当a=c时等号成立，
∵ S△ABC=12acsinB=34ac，
∴ S△ABC≤34×9=934，
由此可得：当且仅当a=c时，S△ABC有最大值934，
此时a=b=c=3，可得△ABC是等边三角形．
【考点】
正弦定理
余弦定理
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
(1)运用两角和的正弦公式将已知等式化简整理，得到2sinAcsB=sin(B+C)，根据三角函数的诱导公式可得sin(B+C)=sinA>0，从而得出csB=12，可得B=π3，最后由正弦定理加以计算，可得边b的长；
(2)由b=3且csB=12，利用余弦定理算出a2+c2−ac=9，再根据基本不等式算出ac≤9．利用三角形的面积公式算出S△ABC=34ac，从而得到当且仅当a=c时，S△ABC有最大值934，进而得到此时△ABC是等边三角形．
【解答】
解：(1)∵ 2sinA−sinCsinB=csCcsB，
∴ 2sinAcsB−sinCcsB=sinBcsC，
可得2sinAcsB=sinBcsC+csBsinC=sin(B+C).
∵ 在△ABC中，sin(B+C)=sin(π−A)=sinA>0，
∴ 2sinAcsB=sinA，可得csB=12．
又∵ B∈(0, π)，
∴ B=π3，
由正弦定理bsinB=2R，
可得b=2RsinB=23⋅sinπ3=3.
(2)∵ b=3，csB=12，
∴ 由余弦定理b2=a2+c2−2accsB，可得a2+c2−ac=9，
∴ ac+9=a2+c2≥2ac，可得ac≤9，
当且仅当a=c时等号成立，
∵ S△ABC=12acsinB=34ac，
∴ S△ABC≤34×9=934，
由此可得：当且仅当a=c时，S△ABC有最大值934，
此时a=b=c=3，可得△ABC是等边三角形．
【答案】
(1)证明：对任意n∈N∗，都有an−1an+3=4Sn，
即4Sn=an2+2an−3，
∴ 当n≥2时，
4an=4Sn−Sn−1=an2+2an−3−an−12+2an−1−3
=an2+2an−an−12−2an−1，
化为an+an−1an−an−1−2=0，
∵ 对任意n∈N∗ ，an>0，∴ an+an−1>0，
∴ an−an−1=2，
∴ 数列an是等差数列，公差为2．
(2)解：由(1)可知，a1=3，d=2，
∴ an=3+2n−1=2n+1，
∴ an2−1=2n+12−1=4nn+1，
∴4an2−1=44nn+1=1n−1n+1，n∈N∗，
∴Tn=1−1n+1=nn+1．
【考点】
数列递推式
等差数列的通项公式
等差关系的确定
数列的求和
【解析】
(1)答案未提供解析．
(2)答案未提供解析．
【解答】
(1)证明：对任意n∈N∗，都有an−1an+3=4Sn，
即4Sn=an2+2an−3，
∴ 当n≥2时，
4an=4Sn−Sn−1=an2+2an−3−an−12+2an−1−3
=an2+2an−an−12−2an−1，
化为an+an−1an−an−1−2=0，
∵ 对任意n∈N∗ ，an>0，∴ an+an−1>0，
∴ an−an−1=2，
∴ 数列an是等差数列，公差为2．
(2)解：由(1)可知，a1=3，d=2，
∴ an=3+2n−1=2n+1，
∴ an2−1=2n+12−1=4nn+1，
∴4an2−1=44nn+1=1n−1n+1，n∈N∗，
∴Tn=1−1n+1=nn+1．
【答案】
解：(1)∵ a3+2是a2，a4的等差中项，
∴ 2(a3+2)=a2+a4，
即 a1q+a1q3−2a1q2=4，
又a2+a3+a4=28，
即a1q+a1q2+a1q3=28，
∴ q=12(舍去)或q=2，
∴ a1=2，
∴ an=2n．
(2)由(1)知an=2n，
∴ bn=an⋅lg2an=n⋅2n，
∴ Sn=1×2+2×22+⋅⋅⋅+n×2n，
2Sn=22+2×23+⋅⋅⋅+(n−1)×2n+n×2n+1，
∴ 两式相减得，−Sn=2+22+23+⋅⋅⋅+2n−n×2n+1
=(1−n)⋅2n+1−2，
即Sn=2+(n−1)⋅2n+1．
【考点】
等比数列的通项公式
等差中项
数列的求和
等比数列的前n项和
【解析】
(1)根据条件，建立方程组即可求出数列{an}的通项公式；
(2)利用错位相减法求出数列的前n项和Sn
【解答】
解：(1)∵ a3+2是a2，a4的等差中项，
∴ 2(a3+2)=a2+a4，
即 a1q+a1q3−2a1q2=4，
又a2+a3+a4=28，
即a1q+a1q2+a1q3=28，
∴ q=12(舍去)或q=2，
∴ a1=2，
∴ an=2n．
(2)由(1)知an=2n，
∴ bn=an⋅lg2an=n⋅2n，
∴ Sn=1×2+2×22+⋅⋅⋅+n×2n，
2Sn=22+2×23+⋅⋅⋅+(n−1)×2n+n×2n+1，
∴ 两式相减得，−Sn=2+22+23+⋅⋅⋅+2n−n×2n+1
=(1−n)⋅2n+1−2，
即Sn=2+(n−1)⋅2n+1．
【答案】
解：(1)∵ c=2，C=π3，c2=a2+b2−2abcsC，
∴ a2+b2−ab=4.
又∵ △ABC的面积等于3，
∴ 12absinC=3，
∴ ab=4.
联立方程组a2+b2−ab=4，ab=4，
解得a=2，b=2.
(2)∵ sinC+sin(B−A)=2sin2A，
即sin(B+A)+sin(B−A)=4sinAcsA，
∴ sinBcsA=2sinAcsA.
当csA=0时，
A=π2，B=π6，a=433，b=233，
求得此时S=233.
当csA≠0时，得sinB=2sinA，
由正弦定理得b=2a，
联立方程组a2+b2−ab=4，b=2a，
解得a=233，b=433，
∴ △ABC的面积S=12absinC=233.
综上，知△ABC的面积S=233.
【考点】
二倍角的正弦公式
两角和与差的正弦公式
余弦定理
正弦定理
【解析】
(1)先通过余弦定理求出a，b的关系式；再通过正弦定理及三角形的面积求出a，b的另一关系式，最后联立方程求出a，b的值；
(2)通过C=π−(A+B)及二倍角公式及sinC+sin(B−A)=2sin2A，求出sinBcsA=2sinAcsA．当csA=0时求出a，b的值进而求出三角形的面积；当csA≠0时，由正弦定理得b=2a，联立方程解得a，b的值进而通过12absinC求出三角形的面积．
【解答】
解：(1)∵ c=2，C=π3，c2=a2+b2−2abcsC，
∴ a2+b2−ab=4.
又∵ △ABC的面积等于3，
∴ 12absinC=3，
∴ ab=4.
联立方程组a2+b2−ab=4，ab=4，
解得a=2，b=2.
(2)∵ sinC+sin(B−A)=2sin2A，
即sin(B+A)+sin(B−A)=4sinAcsA，
∴ sinBcsA=2sinAcsA.
当csA=0时，
A=π2，B=π6，a=433，b=233，
求得此时S=233.
当csA≠0时，得sinB=2sinA，
由正弦定理得b=2a，
联立方程组a2+b2−ab=4，b=2a，
解得a=233，b=433，
∴ △ABC的面积S=12absinC=233.
综上，知△ABC的面积S=233.