2020-2021学年广东省清远市高二（下）期中考试数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年广东省清远市高二（下）期中考试数学试卷人教A版，共13页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 设集合P=3,4,5,Q=6,7，定义P⊗Q=(a,b)|a∈P,b∈Q)，则P⊗Q中元素的个数为( )
A.3B.4C.5D.6

2. 若a→=1,−2，b→=−2,4，则下列结论错误的是( )
A.a→//b→B.|a→|=5C.a→⊥b→D.|b→|=25

3. 5名同学排成一排照相，则甲、乙相邻的概率为( )
A.15B.310C.25D.12

4. 已知直线l过抛物线y2=4x的焦点，且与抛物线分别交于A，B两点，则OA→⋅OB→（O为坐标原点）的值为( )
A.0B.−1C.−2D.−3

5. 在“一带一路”的知识测试后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
甲：我的成绩最高．
乙；我的成绩比丙的成绩高．
丙：我的成绩不会最差．
成绩公布后，三人的成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序可能为( )
A.丙、甲、乙B.乙、丙、甲C.甲、乙、丙D.甲、丙、乙

6. 若1+x1−2x2020=a0+a1x+a2x2+⋯+a2021x2021，则a1+a2+⋯+a2021=( )
A.0B.2C.−1D.1

7. 如果圆(x−a)2+(y−a)2=1(a>0)上总存在点到原点的距离为3，则实数a的取值范围为( )
A.[2,2]B.[2,22]C.[1,2]D.[1,22]

8. 已知函数fx是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，fx=xex．若a<−3，1A.fa>fbB.fa=fb
C.fa二、多选题

已知双曲线的方程为x29−y27=1，则下列说法正确的是( )
A.离心率e为43B.渐近线方程为7x±3y=0
C.焦点为±2,0D.焦点到渐近线的距离为144

i为虚数单位，若1+in=1−in，则n的值可以是( )
A.104B.106C.108D.109

正方体ABCD−A1B1C1D1中，P，Q分别为棱BC和CC1的中点，则下列说正确的是( )
A.BC1 // 平面AQP
B.A1D⊥平面AQP
C.异面直线A1C与PQ所成角为90∘
D.平面AQP截正方体所得截面为等腰梯形

设函数fx=x+e|x|e|x|，则下列结论正确的是( )
A.fx为奇函数B.fx的图象关于点0,1对称
C.fx的最小值为−1e+1D.fx的最大值为1e+1
三、填空题

写出一个最大值为4，最小值为−2的周期函数fx=________．

我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距θ(0∘≤θ≤80∘)的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表，根据三角学知识可知，晷影长度l等于表高ℎ与太阳天顶距θ正切值的乘积，即l=ℎ⋅tanθ．若对同一“表高”两次测量，“晷影长”分别是“表高”的2倍和3倍（太阳天顶距分别记为θ1,θ2），则tan(θ1+θ2)=______．

已知lg(x+2y)=lgx+lgy，则2x+y的最小值为________．

在四面体P−ABC中，PA⊥平面ABC，PA=AC=BC=AB=2，则该四面体外接球的表面积为________．
四、解答题

在①3bcsA=asinB；②3asinB=b2−csA；③csC=2b−c2a这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决该问题：
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，________且a=3，△ABC的面积为12a，求△ABC的周长．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

已知数列an满足a1=2，1an+1−1an=12．等比数列{bn}的公比为3，且b1+b3=10．
(1)求数列an和bn的通项公式；

(2)记数列cn=an2n+2+bn，求数列cn的前n项和Tn．

在如图所示的四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．

(1)证明：PB//平面ACE；

(2)若PA=AD=1，AB=2，求二面角E−AC−B的余弦值．

某测试团队为了研究“饮酒”对“驾车安全”的影响，随机选取100名驾驶员先后在无酒状态、酒后状态下进行“停车距离”测试，测试的方案：电脑模拟驾驶，以某速度匀速行驶，记录下驾驶员的“停车距离”（驾驶员从看到意外情况到车子停下所需要的距离），无酒状态与酒后状态下的试验数据分别列于下表1，表2 .
表1
表2
已知表1数据的中位数估计值为26，回答以下问题．
(1)求a，b的值，并估计驾驶员无酒状态下停车距离的众数；

(2)根据最小二乘法，由表2的数据计算y关于x的回归方程y=bx+a；

(3)该测试团队认为：若驾驶员酒后驾车平均“停车距离”y大于(1)中无酒状态下的停车距离众数的3倍，则认定驾驶员是“醉驾”．请根据(2)中的回归方程，预测当每毫升血液酒精含量大于多少毫克时为“醉驾”？（结果保留到个位）（附：回归方程y=bx+a中，b=i=1nxiyi−nx¯y¯i=1nxi2−nx¯2,a=y¯−bx¯​）

如图，椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点为F1,F2，右顶点为M，上顶点为N，若OP//MN，PF1与x轴垂直，且|MF1|=4+22.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过点3,0且不垂直于坐标轴的直线与椭圆交于A、B两点，已知点Ct,0，当t∈0,1时，求满足|AC|=|BC|的直线AB的斜率k的取值范围．

已知函数fx=mxlnx，曲线y=fx在点e2,fe2处的切线与直线2x+y=0垂直（其中e为自然对数的底数）．
(1)求m的值；

(2)是否存在常数k，使得对于定义域内的任意x,fx>klnx+2x恒成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
2020-2021学年广东省清远市高二（下）期中考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
元素与集合关系的判断
【解析】
根据题中的新定义可知，P⊗Q中元素为点集，集合A有三个元素，集合B有四个元素，列举可得集合P⊗Q中的元素个数．
【解答】
解：∵ a的取值可以是3，4，5之一，b的取值可以是6，7之一，
∴ (a,b)的可能情况有：
(3, 6)，(3,7)，(4, 6)，(4,7)，(5, 6)，(5,7)，共6种不同情况，
所以P⊗Q中元素的个数是6个．
故选D.
2.
【答案】
C
【考点】
向量的数量积判断向量的共线与垂直
向量的模
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：A，∵ 1×4−(−2)×(−2)=0，∴ a→//b→，故A正确；
B，|a→|=1+(−2)2=5，故B正确；
C，∵ a→⋅b→=−2−8=−10≠0，∴ a→与b→不垂直，故C错误；
D，|b→|=42+(−2)2=25，故D正确.
故选B．
3.
【答案】
C
【考点】
古典概型及其概率计算公式
排列、组合的应用
【解析】
甲、乙两人捆绑算一个元素，然后再进行计算即可得.
【解答】
解：5人站成一排，甲、乙两人相邻不同站法有：A22⋅A44=48,
5人站成一排，不同站法有：A55=120，
所以5人站成一排，甲、乙两人相邻的概念为48120=25.
故选C.
4.
【答案】
D
【考点】
抛物线的标准方程
抛物线的应用
【解析】
无
【解答】
解：由题意得p=2，焦点F1,0，
设Ax1,y1，Bx2,y2，直线l的方程为x=ty+1，
代入y2=4x，
得y2−4ty−4=0，
所以y1y2=−4.
又A，B在抛物线上，
所以x1x2=y124⋅y224=1，
所以OA→⋅OB→=x1x2+y1y2=1−4=−3．
故选D．
5.
【答案】
A
【考点】
进行简单的合情推理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：若甲预测正确，乙、丙预测错误，则有甲的成绩最高，乙<丙，丙最差，相互矛盾；
若乙预测正确，甲、丙预测错误，则有甲的成绩不是最高，乙>丙，丙最差，由此可得乙>甲>丙，满足题设；
若丙预测正确，甲、乙预测错误，则有甲的成绩不是最高，乙<丙，丙不是最差，
由此可得丙>甲>乙或者丙>乙>甲，满足题设．
故选A．
6.
【答案】
D
【考点】
二项展开式的特定项与特定系数
二项式系数的性质
【解析】
无
【解答】
解：令x=0得a0=12021=1，
令x=1得a0+a1+a2+⋯+a2021=2×−12020=2，
则a1+a2+⋯+a2021=2−1=1．
故选D．
7.
【答案】
B
【考点】
圆与圆的位置关系及其判定
【解析】
根据题意，分析可得到原点的距离为3的轨迹方程为x2+y2＝9，进而可得圆(x−a)2+(y−a)2＝1与圆x2+y2＝9有交点，结合圆与圆的位置关系分析可得3−1≤a2+a2≤3+1，解可得a的取值范围，即可得答案．
【解答】
解：由题意可知只需要圆x−a2+y−a2=1与圆x2+y2=9有交点，
可得3−1≤a2+a2≤3+1，
解得2≤a≤22．
故选B．
8.
【答案】
C
【考点】
奇偶性与单调性的综合
【解析】
无
【解答】
解：当x≥0时，fx=xex，
∴ f′x=ex−xexex⋅ex=1−xex，
当0≤x<1时，f′x>0，函数fx单调递增，
当x>1时，f′x<0，函数fx单调递减．
∵ a<−3，1∴ −a>3>b>1，
又函数fx是定义在R上的偶函数，
∴ fa=f−a故选C．
二、多选题
【答案】
A,B
【考点】
双曲线的标准方程
双曲线的渐近线
双曲线的离心率
点到直线的距离公式
【解析】
无
【解答】
解：由方程可知a=3，b=7，c=9+7=4，
则焦点为±4,0，故C错误；
渐近线方程为y=±bax=±73x，
即7x±3y=0，故B正确；
离心率为e=ca=43，故A正确；
焦点4,0到渐近线7x+3y=0的距离为d=|47|7+9=7，故D错误.
故选AB．
【答案】
A,C
【考点】
复数代数形式的乘除运算
复数相等的充要条件
【解析】
左侧图片未给出解析
【解答】
解：1+i2=1+2i−1=2i，
1−i2=1−2i−1=−2i，
又1+in=1−in，
所以1+in=1+i2n2=2in2，
1−in=1−i2n2=−2in2，
故2in2=−2in2，
即2n2⋅in2=−1n22n2⋅in2，
故当n2为偶数时，1+in=1−in．
故选AC．
【答案】
A,C,D
【考点】
异面直线及其所成的角
直线与平面平行的判定
直线与平面垂直的判定
截面及其作法
【解析】
利用直线与平面平行的判定判断A；利用反证法说明B错误；通过证明线面垂直，得到线线垂直说明C正确；找出平面AQP截正方体所得截面说明D正确．
【解答】
解：如图，
∵ P，Q分别为棱BC和CC1的中点，
∴ PQ // BC1.
∵ PQ⊂平面AQP，BC1⊄平面AQP，
∴ BC1 // 平面AQP，故A正确；
若A1D⊥平面AQP，则A1D⊥AP，
又A1D⊥AB，AB∩AP=A，
∴ A1D⊥平面ABCD，与A1D与平面ABCD不垂直矛盾，故B错误；
由A1B1⊥BC1，B1C⊥BC1，A1B1∩B1C=B1，
得BC1⊥平面A1B1C，得A1C⊥BC1，
则A1C⊥PQ，即异面直线A1C与PQ所成角为90∘，故C正确；
平面AQP截正方体所得截面为APQD1，为等腰梯形，故D正确．
故选ACD．
【答案】
B,C,D
【考点】
利用导数研究函数的最值
函数奇偶性的判断
【解析】
无
【解答】
解：fx=x+e|x|e|x|=xe|x|+1，
不满足f−x=−fx，所以A不正确；
令gx=xe|x|，
则g−x=−xe|−x|=−xe|x|=−g(x)，
所以gx为奇函数，
则fx的图象关于点0,1对称，所以B正确；
设fx=xe|x|+1的最大值为M，
则gx的最大值为M−1，
设fx=xe|x|+1的最小值为N，
则gx的最小值为N−1，
当x>0时，gx=xex，
所以g′x=1−xex，
当x∈0,1时，g′x>0，
当x∈1,+∞时，g′x<0，
所以gx在0,1上单调递增，在1,+∞上单调递减，
所以gx在x=1处取得最大值，最大值为g1=1e，
由于gx为奇函数，
所以gx在x=−1处取得最小值，最小值为g−1=−1e，
所以fx的最大值为M=1e+1，最小值为N=−1e+1，
所以C、D正确．
故选BCD．
三、填空题
【答案】
3sinx+1
【考点】
函数的周期性
正弦函数的定义域和值域
【解析】
无
【解答】
解：先考虑常见的周期函数y=sinx，
然后根据最大值为4，最小值为2，
结合正弦函数的有界性，
所以符合条件的一个函数fx=3sinx+1．
故答案为：3sinx+1(答案不唯一)．
【答案】
−1
【考点】
两角和与差的正切公式
【解析】
根据题意，分别写出tanθ1=2,tanθ2=3，然后利用两角和的正切公式计算即可．
【解答】
解：由题意l=ℎ⋅tanθ，“晷影长”分别是“表高”的2倍和3倍时，tanθ1=2,tanθ2=3，
所以tanθ1+θ2=tanθ1+tanθ21−tanθ1⋅tanθ2=2+31−2×3=−1.
故答案为：−1．
【答案】
9
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
对数的运算性质
【解析】
先求出x与y的关系式，再利用基本不等式的性质即可求出．
【解答】
解：因为lgx+2y=lgx+lgy=lgxy，
所以x+2y=xy，x>0，y>0，
所以2x+1y=1，
则2x+y=2x+y⋅2x+1y
=5+2xy+2yx≥5+22xy⋅2yx=9，
当且仅当2xy=2yx且2x+1y=1，即x=y=3时取等号．
故答案为：9．
【答案】
28π3
【考点】
球内接多面体
球的表面积和体积
【解析】
无
【解答】
解：如图，取BC中点D，连接AD，
则AD⊥BC，
由△ABC是边长为2的等边三角形，
可得AD=3，
设△ABC的中心为G，
则AG=233，
过G作GO⊥平面ABC，PA的中垂线交GO于O，
则O为四面体P−ABC的外接球的球心，且OG=AH=1，
∴ 外接球的半径OA=12+2332=213，
∴ 该四面体外接球的表面积为4π×OA2=4π×2132=28π3．
故答案为：28π3．
四、解答题
【答案】
解：若选择①，
由正弦定理得3sinBcsA=sinAsinB，
由于sinB≠0，
则3csA=sinA，又sinA≠0，
所以tanA=3，
因为0所以A=π3．
由a=3，△ABC的面积为12a，
可知12bcsinA=32，
所以34bc=32，
所以bc=2．
由余弦定理得，3=b2+c2−bc=b+c2−3bc，
所以b+c=3，
故△ABC的周长为3+3．
若选择②，
由正弦定理得3sinAsinB=sinB2−csA，
又sinB≠0，
则3sinA=2−csA，所以3sinA+csA=2，
即sinA+π6=1，
所以A+π6=π2，
故A=π3．
由a=3，△ABC的面积为12a，
可知12bcsinA=32，
所以34bc=32，
所以bc=2．
由余弦定理得3=b2+c2−bc=b+c2−3bc，
所以b+c=3，
故△ABC的周长为3+3．
若选择③，
由余弦定理得csC=a2+b2−c22ab=2b−c2a，
整理得b2+c2−a2=bc．
由余弦定理得2bccsA=bc，
所以csA=12，
又0所以A=π3．
由a=3，△ABC的面积为12a，
可知12bcsinA=32，
所以34bc=32，
所以bc=2．
由余弦定理得3=b2+c2−bc=b+c2−3bc，
所以b+c=3．
故△ABC的周长为3+3．
【考点】
三角函数中的恒等变换应用
余弦定理
正弦定理
【解析】
无
【解答】
解：若选择①，
由正弦定理得3sinBcsA=sinAsinB，
由于sinB≠0，
则3csA=sinA，又sinA≠0，
所以tanA=3，
因为0所以A=π3．
由a=3，△ABC的面积为12a，
可知12bcsinA=32，
所以34bc=32，
所以bc=2．
由余弦定理得，3=b2+c2−bc=b+c2−3bc，
所以b+c=3，
故△ABC的周长为3+3．
若选择②，
由正弦定理得3sinAsinB=sinB2−csA，
又sinB≠0，
则3sinA=2−csA，所以3sinA+csA=2，
即sinA+π6=1，
所以A+π6=π2，
故A=π3．
由a=3，△ABC的面积为12a，
可知12bcsinA=32，
所以34bc=32，
所以bc=2．
由余弦定理得3=b2+c2−bc=b+c2−3bc，
所以b+c=3，
故△ABC的周长为3+3．
若选择③，
由余弦定理得csC=a2+b2−c22ab=2b−c2a，
整理得b2+c2−a2=bc．
由余弦定理得2bccsA=bc，
所以csA=12，
又0所以A=π3．
由a=3，△ABC的面积为12a，
可知12bcsinA=32，
所以34bc=32，
所以bc=2．
由余弦定理得3=b2+c2−bc=b+c2−3bc，
所以b+c=3．
故△ABC的周长为3+3．
【答案】
解：(1)因为1an+1−1an=12，
故数列1an是公差为12的等差数列，
又1a1=12，
故1an=n2，
故an=2n．
因为数列{bn}的公比为3，
所以b1+b3=10b1=10，
解得b1=1，
故bn=3n−1．
(2)an2n+2=2n2n+2=1nn+1=1n−1n+1．
数列{bn}的前n项和为1−3n1−3，
故数列{cn}的前n项和
Tn=1−12+12−13+⋯+1n−1n+1+1−3n1−3
=1−1n+1+3n−12=3n−12+nn+1．
【考点】
等比数列的通项公式
等差数列的通项公式
数列的求和
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)因为1an+1−1an=12，
故数列1an是公差为12的等差数列，
又1a1=12，
故1an=n2，
故an=2n．
因为数列{bn}的公比为3，
所以b1+b3=10b1=10，
解得b1=1，
故bn=3n−1．
(2)an2n+2=2n2n+2=1nn+1=1n−1n+1．
数列{bn}的前n项和为1−3n1−3，
故数列{cn}的前n项和
Tn=1−12+12−13+⋯+1n−1n+1+1−3n1−3
=1−1n+1+3n−12=3n−12+nn+1．
【答案】
(1)证明：连接BD，交AC于点O，连接EO，如图，
∵ O为BD中点，E为PD中点，
∴ EO//PB．
∵ EO⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，
∴ PB//平面ACE．
(2)解：如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
则A0,0,0，C2,1,0，B2,0,0，E0,12,12，
则AC→=2,1,0，AE→=0,12,12，
∵ PA⊥平面ABCD，
∴ 平面ABC的一个法向量n0→=0,0,1．
设平面AEC的法向量为n→=x,y,z，
则n→⋅AE→=0,n→⋅AC→=0,
即12y+12z=0,2x+y=0.
令x=1，则y=−2，z=2，
∴ n→=1,−2,2．
∴ cs⟨n0→,n→⟩=n0→⋅n→|n0→||n→|=23，
由图可知，二面角E−AC−B为钝角，
∴ 二面角E−AC−B的余弦值为−23．
【考点】
直线与平面平行的判定
用空间向量求平面间的夹角
【解析】
无
无
【解答】
(1)证明：连接BD，交AC于点O，连接EO，如图，
∵ O为BD中点，E为PD中点，
∴ EO//PB．
∵ EO⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，
∴ PB//平面ACE．
(2)解：如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
则A0,0,0，C2,1,0，B2,0,0，E0,12,12，
则AC→=2,1,0，AE→=0,12,12，
∵ PA⊥平面ABCD，
∴ 平面ABC的一个法向量n0→=0,0,1．
设平面AEC的法向量为n→=x,y,z，
则n→⋅AE→=0,n→⋅AC→=0,
即12y+12z=0,2x+y=0.
令x=1，则y=−2，z=2，
∴ n→=1,−2,2．
∴ cs⟨n0→,n→⟩=n0→⋅n→|n0→||n→|=23，
由图可知，二面角E−AC−B为钝角，
∴ 二面角E−AC−B的余弦值为−23．
【答案】
解：(1)依题意，得610a=50−26，解得a=40，
又a+b+26+8+2=100，解得b=24，
故驾驶员无酒状态下停车距离的众数为25．
(2)依题意，可知x¯=50,y¯=60，
b=i=1nxiyi−5x¯y¯i=1nxi2−5x¯2
=1102+302+502+702+902−5×502×(10×30+
30×50+50×60×70+70×70+90×90−5×50×60)=710，
a=y¯−bx¯=60−710×50=25，
所以线性回归方程为，y=0.7x+25 .
(3)由(1)知，当y>75时，认定驾驶员是“醉驾”，令y>75得0.7x+25>75，解得x>71，
所以预测当每毫升血液酒精含量大于71毫克时为“醉驾”．
【考点】
众数、中位数、平均数
求解线性回归方程
【解析】
（1）依题意，得610a=50−26，解得a=40，
又a+b+26+8+2=100，解得b=24，
故驾驶员无酒状态下停车距离的众数为25．
（2）依题意，可知x¯=50,y¯=60，
a=y¯−bx¯=60−710×50=25，
所以线性回归方程为，y=0.7x+25 .
（3）由（1）知，当y>75时，认定驾驶员是“醉驾”，令y>75得0.7x+25>75，解得x>71，
所以预测当每毫升血液酒精含量大于71毫克时为“醉驾”．
【解答】
解：(1)依题意，得610a=50−26，解得a=40，
又a+b+26+8+2=100，解得b=24，
故驾驶员无酒状态下停车距离的众数为25．
(2)依题意，可知x¯=50,y¯=60，
b=i=1nxiyi−5x¯y¯i=1nxi2−5x¯2
=1102+302+502+702+902−5×502×(10×30+
30×50+50×60×70+70×70+90×90−5×50×60)=710，
a=y¯−bx¯=60−710×50=25，
所以线性回归方程为，y=0.7x+25 .
(3)由(1)知，当y>75时，认定驾驶员是“醉驾”，令y>75得0.7x+25>75，解得x>71，
所以预测当每毫升血液酒精含量大于71毫克时为“醉驾”．
【答案】
解：(1)设F1−c,0，
由PF1⊥x轴，OP//MN知|PF1|c=ba，
∴ |PF1|=bca，
又由c2a2+y2b2=1得|y|=b2a，
∴ b2a=bca，∴ b=c，
又|MF1|=a+c=4+22，a2−c2=b2=c2，
∴ a2=16，b2=c2=8，
∴ 椭圆方程为x216+y28=1．
(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，直线AB的方程为：y=kx−3（k≠0），
联立y=kx−3,x216+y28=1,
消去y得1+2k2x2−12k2x+18k2−16=0，Δ>0恒成立，
则x1+x2=12k21+2k2,x1⋅x2=18k2−161+2k2,
y1+y2=k(x1+x2)−6k=−6k1+2k2，
设线段AB的垂直平分线方程为：
y−y1+y22=−1kx−x1+x22．
令y=0，得x=ky1+y22+x1+x22=3k21+2k2，
由题意知，C为线段AB的垂直平分线与x轴的交点，
所以0<3k21+2k2<1⇒k2<1且k≠0，
所以k∈−1,0∪0,1．
【考点】
椭圆的标准方程
直线与椭圆结合的最值问题
直线的斜截式方程
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)设F1−c,0，
由PF1⊥x轴，OP//MN知|PF1|c=ba，
∴ |PF1|=bca，
又由c2a2+y2b2=1得|y|=b2a，
∴ b2a=bca，∴ b=c，
又|MF1|=a+c=4+22，a2−c2=b2=c2，
∴ a2=16，b2=c2=8，
∴ 椭圆方程为x216+y28=1．
(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，直线AB的方程为：y=kx−3（k≠0），
联立y=kx−3,x216+y28=1,
消去y得1+2k2x2−12k2x+18k2−16=0，Δ>0恒成立，
则x1+x2=12k21+2k2,x1⋅x2=18k2−161+2k2,
y1+y2=k(x1+x2)−6k=−6k1+2k2，
设线段AB的垂直平分线方程为：
y−y1+y22=−1kx−x1+x22．
令y=0，得x=ky1+y22+x1+x22=3k21+2k2，
由题意知，C为线段AB的垂直平分线与x轴的交点，
所以0<3k21+2k2<1⇒k2<1且k≠0，
所以k∈−1,0∪0,1．
【答案】
解：(1)f′x=mlnx−1(lnx)2，
又由题意有f′e2=12⇒m4=12⇒m=2．
(2)由(1)知f(x)=2xlnx，
此时f′(x)=2(lnx−1)(lnx)2，由f′(x)<0⇒0所以函数f(x)的单调递减区间为(0,1)和(1,e)．
要f(x)>klnx+2x恒成立，即2xlnx>klnx+2x⇔klnx<2xlnx−2x．
①当x∈(0,1)时，lnx<0，则要k>2x−2x⋅lnx恒成立，
令g(x)=2x−2x⋅lnx⇒g′(x)=2x−lnx−2x，
再令ℎ(x)=2x−lnx−2⇒ℎ′(x)=x−1x<0，
所以ℎ(x)在(0,1)内递减，
所以当x∈(0,1)时，ℎ(x)>ℎ(1)=0，故g′(x)=ℎ(x)x>0，
所以g(x)在(0,1)内递增，g(x)②当x∈(1,+∞)时，lnx>0，则要k<2x−2x⋅lnx恒成立，
由①可知，当x∈(1,+∞)时，ℎ′(x)>0，所以ℎ(x)在(1,+∞)内递增，
所以当x∈(1,+∞)时，ℎ(x)>ℎ(1)=0，故g′(x)=ℎ(x)x>0，
所以g(x)在(1,+∞)内递增，g(x)>g(1)=2⇒k≤2．
综合①②可得k=2，即存在常数k=2满足题意．
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)f′x=mlnx−1(lnx)2，
又由题意有f′e2=12⇒m4=12⇒m=2．
(2)由(1)知f(x)=2xlnx，
此时f′(x)=2(lnx−1)(lnx)2，由f′(x)<0⇒0所以函数f(x)的单调递减区间为(0,1)和(1,e)．
要f(x)>klnx+2x恒成立，即2xlnx>klnx+2x⇔klnx<2xlnx−2x．
①当x∈(0,1)时，lnx<0，则要k>2x−2x⋅lnx恒成立，
令g(x)=2x−2x⋅lnx⇒g′(x)=2x−lnx−2x，
再令ℎ(x)=2x−lnx−2⇒ℎ′(x)=x−1x<0，
所以ℎ(x)在(0,1)内递减，
所以当x∈(0,1)时，ℎ(x)>ℎ(1)=0，故g′(x)=ℎ(x)x>0，
所以g(x)在(0,1)内递增，g(x)②当x∈(1,+∞)时，lnx>0，则要k<2x−2x⋅lnx恒成立，
由①可知，当x∈(1,+∞)时，ℎ′(x)>0，所以ℎ(x)在(1,+∞)内递增，
所以当x∈(1,+∞)时，ℎ(x)>ℎ(1)=0，故g′(x)=ℎ(x)x>0，
所以g(x)在(1,+∞)内递增，g(x)>g(1)=2⇒k≤2．
综合①②可得k=2，即存在常数k=2满足题意．停车距离d（米）
(10,20]
(20,30]
(30,40]
(40,50]
(50,60]
频数
26
a
b
8
2
平均每毫升血液酒精含量x（毫克）
10
30
50
70
90
平均停车距离y（米）
30
50
60
70
90