高中数学人教B版 (2019)必修 第三册第八章 向量的数量积与三角恒等变换8.1 向量的数量积8.1.3 向量数量积的坐标运算同步练习题

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第三册第八章 向量的数量积与三角恒等变换8.1 向量的数量积8.1.3 向量数量积的坐标运算同步练习题，共6页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知向量＝(−1, 2)，＝(x, 4)，且⊥，则||＝（ ）
A.B.C.D.8

2. 向量＝(2, −3)，＝(2, 1)，则＝（ ）
A.1B.−1C.7D.0

3. 设a→=(1, 2)，b→=(1, 1)，c→=a→+kb→，若b→⊥c→，则实数k的值等于（ ）
A.−32B.−53C.53D.32

4. 已知向量，若，则x、y可以是（ ）
A.x＝1，y＝1B.x＝0，y＝1C.x＝1，y＝0D.x＝1，y＝−1

5. 已知向量＝（，），＝（-，-），则∠ABC＝（ ）
A.30∘B.60∘C.120∘D.150∘

6. 在△ABC中，∠C＝90∘，AC＝3，BC＝2，D为BC的中点，E，F都在线段AB上，且AE＝EF＝FB，则＝（ ）
A.B.C.−2D.2

7. 已知平面向量a→=(2, m)，b→=(1, −2)，且|2a→−b→|=|2a→+b→|，则m=( )
A.1B.2C.2D.4

8. 已知向量a→=(−2, 1)，b→=(−1, 3)，则（ ）
A.a→ // b→B.a→⊥b→
C.a→ // (a→−b→)D.a→⊥(a→−b→)
二、填空题

设x，y∈R，向量＝(x, 1)，＝(1, y)，＝(2, −4)，且，，则x+y＝________．

已知向量＝(1, 2)，＝(λ, −1)，若⊥，则|+|＝________．

设向量＝(−3, 0)，＝(−2, 6)，则在上的投影为________

已知向量＝(x, x−1)，＝(2, 3)，且，则＝________．
三、解答题

已知平面直角坐标系中，点O为原点，A(−3, −4)，B(2, 8)．
（1）求AB→的坐标及|AB→|；

（2）求OA→⋅OB→．

已知平面直角坐标系中，点O为原点，A(1, 3)，B(2, −1)，C(4, m)．
(Ⅰ)求的坐标及||；
(Ⅱ)若⊥，求实数m的值；
(Ⅲ)若A，B，C三点共线，求实数m的值．

已知＝(1, 0)，＝(2, 1)．
（1）当k为何值时，k-与+3平行；

（2）若⊥（+t），求|+t|的值．

平面直角坐标系xOy中，A(1, 0)，B(0, 1)，C(2, 5)，D是AC上的动点，满足AD→=λAC→(λ∈R)．
（1）求|2AB→+AC→|的值；

（2）求cs∠BAC；

（3）若BD→⊥BA→，求实数λ的值．
参考答案与试题解析
人教B版（2019）必修第三册《8.1.3 向量数量积的坐标运算》2021年同步练习卷（3）
一、单选题
1.
【答案】
C
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算
【解析】
根据题意，由向量数量积的坐标计算公式可得•＝−x+8＝0，解可得x＝8，即可得＝(8, 4)，计算可得答案．
【解答】
根据题意，向量＝(−1, 2)，＝(x, 4)，
若⊥，则•＝−x+8＝0，则x＝8，
故＝(8, 4)，则||＝＝4，
2.
【答案】
A
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算
【解析】
直接利用数量积的坐标运算法则计算即可．
【解答】
由＝(2, −3)，＝(2, 1)，
得＝2×2−3×1＝1．
3.
【答案】
A
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
由题意可得c→的坐标，进而由垂直关系可得k的方程，解方程可得．
【解答】
∵ a→=(1, 2)，b→=(1, 1)，
∴ c→=a→+kb→=(1+k, 2+k)
∵ b→⊥c→，∴ b→⋅c→=0，
∴ 1+k+2+k＝0，解得k=−32
4.
【答案】
A
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
由题意利用两个向量坐标形式的运算法则，两个向量垂直的性质，得出结论．
【解答】
∵ 向量，∴ +＝(−3, 3)
若，则 （+ ）•＝(−3, 3)⋅( x, y)＝−3x+3y＝0，即x＝y，
5.
【答案】
D
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算
【解析】
根据题意，由、的坐标计算•以及||、||的值，由夹角公式计算可得答案．
【解答】
根据题意，向量＝（，），＝（-，-），
则•＝×(−）+×(−）＝-，且||＝||＝1，
故cs∠ABC＝＝-，
又由0∘≤∠ABC≤180∘，
故∠ABC＝150∘，
6.
【答案】
A
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算
【解析】
以点C为原点，以CA，CB所在的直线为x，y轴，建立直角坐标系，根据边长写出C，D，E，F四个点的坐标，求出，的坐标，进行坐标运算即可求解．
【解答】
如图，建立直角坐标系xCy，则D(0, 1)，E(2，），F(1，），
所以＝(2，-），＝(1，），
所以＝＝，
7.
【答案】
C
【考点】
平面向量数量积坐标表示的应用
【解析】
由题意，先求出两向量2a→−b→与2a→+b→的坐标，再由模的坐标表示建立方程，即可解得m的值．
【解答】
∵ a→=(2, m)，b→=(1, −2)，
∴ 2a→−b→=(3, 2m+2)，2a→+b→=(5, 2m−2)，
又|2a→−b→|=|2a→+b→|，可得32+(2m+2)2=52+(2m−2)2，
解得m=2．
8.
【答案】
D
【考点】
平面向量的坐标运算
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
根据题意，结合关键掌握向量平行、垂直的坐标公式依次分析选项，即可得答案．
【解答】
根据题意，依次分析选项：
对于A、向量a→=(−2, 1)，b→=(−1, 3)，有1×(−1)≠(−2)×3，即a→ // b→不成立，故A错误；
对于B、向量a→=(−2, 1)，b→=(−1, 3)，有a→⋅b→=(−2)×(−1)+1×3＝6，即a→⊥b→不成立，故B错误；
对于C、向量a→=(−2, 1)，b→=(−1, 3)，则a→−b→=(−1, −2)，有(−2)×3≠1×(−1)，即a→ // (a→−b→)不成立，故A错误；
对于D、向量a→=(−2, 1)，b→=(−1, 3)，则a→−b→=(−1, −2)，有a→⋅(a→−b→)＝(−1)×(−2)+1×(−2)＝0，即a→⊥(a→−b→)，故C正确；
二、填空题
【答案】
0
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
根据向量垂直的坐标表示和向量平行的坐标表示列式可解得结果．
【解答】
因为向量＝(x, 1)，＝(1, y)，＝(2, −4)，且，，
所以＝2x−4＝0，得x＝2，
1×(−4)＝2y，解得y＝−2，
所以x+y＝2−2＝0．
【答案】
【考点】
平面向量的坐标运算
【解析】
由⊥，求出＝(2, −1)，再由不、平面向量坐标运算公式求出＝(3, 1)，由此能求出||．
【解答】
∵ 向量＝(1，＝(λ，⊥，
∴ •＝λ−2＝7．
∴ ＝(2，＝(3，
∴ ||＝＝．
【答案】
【考点】
平面向量数量积的含义与物理背景
【解析】
根据向量的投影公式即可求出在上的投影．
【解答】
∵ ，
∴ 在上的投影为：．
【答案】
−13
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
平面向量数量积的性质及其运算
【解析】
利用向量共线求出x，然后利用向量的数量积公式，求解即可．
【解答】
向量＝(x，＝(2，且，
可得3x＝6x−2，解得x＝−2，
所以＝(−5, 3)＝−4−6＝−13．
三、解答题
【答案】
解：（1）依题意可得AB→=(5, 12)，|AB→|=52+122=13
.(2)∵OA→=(−3,−4)，OB→=(2,8)⋅
【考点】
平面向量数量积
【解析】
（1）根据向量的基本运算的坐标表示即可求解
（2）利用向量的数量积的坐标表示可求
【解答】
解：（1）依题意可得AB→=(5, 12)，|AB→|=52+122=13
.(2)∵OA→=(−3,−4)，OB→=(2,8)⋅
【答案】
（1）∵ 平面直角坐标系中，点O为原点，A(1, 3)，B(2, −1)，C(4, m)．
∴ ＝(1, −4)，
||＝＝．
(II)＝(1, 3)，＝(2, m+1)，
∵ ⊥，
∴ •＝2+3(m+1)＝0，
解得实数m＝-．
(III)∵ A，B，C三点共线，
＝(1, −4)，＝(3, m−3)，
∴ // ，
∴ ，
∴ 实数m＝−9．
【考点】
平行向量（共线）
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
(Ⅰ)由平面直角坐标系中，点O为原点，A(1, 3)，B(2, −1)，C(4, m)，能求出的坐标及||；
(II)先求出＝(1, 3)，＝(2, m+1)，由⊥，能求出实数m．
(III)求出＝(1, −4)，＝(3, m−3)，由 // ，能求出实数m．
【解答】
（1）∵ 平面直角坐标系中，点O为原点，A(1, 3)，B(2, −1)，C(4, m)．
∴ ＝(1, −4)，
||＝＝．
(II)＝(1, 3)，＝(2, m+1)，
∵ ⊥，
∴ •＝2+3(m+1)＝0，
解得实数m＝-．
(III)∵ A，B，C三点共线，
＝(1, −4)，＝(3, m−3)，
∴ // ，
∴ ，
∴ 实数m＝−9．
【答案】
∵ ＝(1，＝(2，k-＝(k−7，+3，3)，k-与平行，
∴ 5(k−2)+7＝4，求得k＝-．
若⊥（），则•（）＝＝2+5t＝3，
∴ t＝-，+t，-），故||＝＝．
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
（1）求出k- 与+3坐标，根据共线向量坐标的关系，即可求解；
（2）由⊥（+t）的坐标关系求出t，进而求出+t坐标，即可求解．
【解答】
∵ ＝(1，＝(2，k-＝(k−7，+3，3)，k-与平行，
∴ 5(k−2)+7＝4，求得k＝-．
若⊥（），则•（）＝＝2+5t＝3，
∴ t＝-，+t，-），故||＝＝．
【答案】
2AB→+AC→=2(−1, 1)+(1, 5)＝(−1, 7)，
∴ |2AB→+AC→|=(−1)2+72=52．
cs∠BAC=AB→⋅AC→|AB→|⋅|AC→|=−1+52×26=21313．
∵ AD→=λAC→(λ∈R)．
∴ BD→=AD→−AB→=λAC→−AB→=λ(1, 5)−(−1, 1)＝(λ+1, 5λ−1)．
∵ BD→⊥BA→，∴ (λ+1)×1−(5λ−1)＝0．
解得λ=12．
【考点】
平面向量数量积坐标表示的应用
【解析】
（1）2AB→+AC→=2(−1, 1)+(1, 5)＝(−1, 7)，利用数量积运算性质即可得出|2AB→+AC→|．
（2）利用cs∠BAC=AB→⋅AC→|AB→|⋅|AC→|即可得出．
（3）由AD→=λAC→(λ∈R)．可得BD→=AD→−AB→=λAC→−AB→．根据BD→⊥BA→，可得(λ+1)×1−(5λ−1)＝0．即可得出．
【解答】
2AB→+AC→=2(−1, 1)+(1, 5)＝(−1, 7)，
∴ |2AB→+AC→|=(−1)2+72=52．
cs∠BAC=AB→⋅AC→|AB→|⋅|AC→|=−1+52×26=21313．
∵ AD→=λAC→(λ∈R)．
∴ BD→=AD→−AB→=λAC→−AB→=λ(1, 5)−(−1, 1)＝(λ+1, 5λ−1)．
∵ BD→⊥BA→，∴ (λ+1)×1−(5λ−1)＝0．
解得λ=12．