高中数学人教B版 (2019)必修 第三册8.1.3 向量数量积的坐标运算导学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第三册8.1.3 向量数量积的坐标运算导学案，共11页。学案主要包含了学习重点，学习难点，对点快练，变式练习1，变式练习2等内容，欢迎下载使用。


【学习重点】
平面向量数量积的坐标表示；向量夹角的坐标表示；向量垂直的坐标表示的充要条件
【学习难点】
向量垂直的坐标表示的充要条件以及它的灵活应用
问题1：向量的坐标表示与向量的数量积
在平面直角坐标系中，分别给定与轴、轴正方向相同的单位向量之后，如果对于平面内的向量，有，则就是向量的 ，记作 。
而且，是单位正交基底，这就是说， ，
因此，
类似的，有 ，即。
也就是说，在单位正交基底下的坐标为 。
由向量坐标的定义可知，存在单位正交基底，使得
因此，

从而，
特别的， ，

在平面直角坐标系中，如果，则
，
从而 ，因此

新知新学
1．在平面直角坐标系中，分别给定与x轴、y轴正方向相同的单位向量e1，e2之后，如果对于平面内的向量a，有a＝x e1＋y e2，则(x，y)就是向量a的坐标，记作a＝(x，y).
2．设a＝(x1，y2)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，|a|2＝a·a＝xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)，|a|＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))，cs 〈a，b〉＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)) \r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2))).
3．在平面直角坐标系中，如果A(x1，y2)，B(x2，y2)，则eq \(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
【对点快练】
1．已知a＝(0,1)，b＝(2，－1)，则a·b等于( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
2．设向量a与b的夹角为θ，a＝(2,1)，3b＋a＝(5,4)，则cs θ＝( )
A．eq \f(4,5) B．eq \f(1,3)
C．eq \f(\r(10),10) D．eq \f(3\r(10),10)
例1.已知，求。
【变式练习1】
已知向量a＝(－1,2)，b＝(3,2)．
(1)求a·(a－b)；
(2)求(a＋b)·(2a－b)；
(3)若c＝(2,1)，求(a·b)c，a(b·c)．
【变式练习2】
已知a＝(2,1)，b＝(－1,3)．若存在向量c，使得a·c＝4，b·c＝－9，试求向量c的坐标．
例2.已知点求的余弦值。
【变式练习1】
已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，当a与b的夹角为锐角时，求λ的取值范围．
【变式练习2】
若向量a，b满足a＋b＝(2，－1)，a＝(1,2)，则向量a与b的夹角等于( )
A．45° B．60°
C．120° D．135°
问题2：用向量的坐标表示两个向量垂直的条件
新知新学：
设a＝(x1，y2)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y1＝0.
【对点快练】
1．已知向量a＝(－5,6)，b＝(6,5)，则a与b( )
A．垂直 B．不垂直也不平行
C．平行且同向 D．平行且反向
2．向量a＝(－1,2)，b＝(1,3)，下列结论正确的是( )
A．a∥b B．a⊥b
C．a∥(a－b) D．a⊥(a－b)
例3.已知点，求证：
【变式练习1】
已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(x∈R)．
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)若a∥b，求|a－b|.
【变式练习2】
设平面向量a＝(cs α，sin α)(0≤α<2π)，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，且a与b不共线．
求证：向量a＋b与a－b垂直．
例4.如图所示，已知点将向量绕原点O逆时针旋转得到，求点B的坐标。
例5.如图所示，已知正方形ABCD中，P为对角线AC不在端点上的任意一点，，连接求证：。
【变式练习1】
求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值．
【变式练习2】
已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD的两对角线所夹的锐角的余弦值．
考点
学习目标
向量数量积的坐标表示
掌握向量数量积的坐标表示公式的推导及应用
向量夹角的坐标表示
掌握向量夹角的坐标表示，并应用公式求向量的夹角
向量垂直的坐标表示
能用坐标表示平面向量垂直的条件，并解决相关问题