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    2020-2021学年第八章 向量的数量积与三角恒等变换8.1 向量的数量积8.1.3 向量数量积的坐标运算课后复习题

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    这是一份2020-2021学年第八章 向量的数量积与三角恒等变换8.1 向量的数量积8.1.3 向量数量积的坐标运算课后复习题,共7页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。


    1. 已知向量=(−1, 2),=(x, 4),且⊥,则||=( )
    A.B.C.D.8

    2. 向量=(2, −3),=(2, 1),则=( )
    A.1B.−1C.7D.0

    3. 设a→=(1, 2),b→=(1, 1),c→=a→+kb→,若b→⊥c→,则实数k的值等于( )
    A.−32B.−53C.53D.32

    4. 已知向量,若,则x、y可以是( )
    A.x=1,y=1B.x=0,y=1C.x=1,y=0D.x=1,y=−1

    5. 已知向量=(,),=(-,-),则∠ABC=( )
    A.30∘B.60∘C.120∘D.150∘

    6. 在△ABC中,∠C=90∘,AC=3,BC=2,D为BC的中点,E,F都在线段AB上,且AE=EF=FB,则=( )
    A.B.C.−2D.2

    7. 已知平面向量a→=(2, m),b→=(1, −2),且|2a→−b→|=|2a→+b→|,则m=( )
    A.1B.2C.2D.4

    8. 已知向量a→=(−2, 1),b→=(−1, 3),则( )
    A.a→ // b→B.a→⊥b→
    C.a→ // (a→−b→)D.a→⊥(a→−b→)
    二、填空题

    设x,y∈R,向量=(x, 1),=(1, y),=(2, −4),且,,则x+y=________.

    已知向量=(1, 2),=(λ, −1),若⊥,则|+|=________.

    设向量=(−3, 0),=(−2, 6),则在上的投影为________

    已知向量=(x, x−1),=(2, 3),且,则=________.
    三、解答题

    已知平面直角坐标系中,点O为原点,A(−3, −4),B(2, 8).
    (1)求AB→的坐标及|AB→|;

    (2)求OA→⋅OB→.

    已知平面直角坐标系中,点O为原点,A(1, 3),B(2, −1),C(4, m).
    (Ⅰ)求的坐标及||;
    (Ⅱ)若⊥,求实数m的值;
    (Ⅲ)若A,B,C三点共线,求实数m的值.

    已知=(1, 0),=(2, 1).
    (1)当k为何值时,k-与+3平行;

    (2)若⊥(+t),求|+t|的值.

    平面直角坐标系xOy中,A(1, 0),B(0, 1),C(2, 5),D是AC上的动点,满足AD→=λAC→(λ∈R).
    (1)求|2AB→+AC→|的值;

    (2)求cs∠BAC;

    (3)若BD→⊥BA→,求实数λ的值.
    参考答案与试题解析
    人教B版(2019)必修第三册《8.1.3 向量数量积的坐标运算》2021年同步练习卷(3)
    一、单选题
    1.
    【答案】
    C
    【考点】
    平面向量数量积的性质及其运算
    【解析】
    根据题意,由向量数量积的坐标计算公式可得•=−x+8=0,解可得x=8,即可得=(8, 4),计算可得答案.
    【解答】
    根据题意,向量=(−1, 2),=(x, 4),
    若⊥,则•=−x+8=0,则x=8,
    故=(8, 4),则||==4,
    2.
    【答案】
    A
    【考点】
    平面向量数量积的性质及其运算
    【解析】
    直接利用数量积的坐标运算法则计算即可.
    【解答】
    由=(2, −3),=(2, 1),
    得=2×2−3×1=1.
    3.
    【答案】
    A
    【考点】
    数量积判断两个平面向量的垂直关系
    【解析】
    由题意可得c→的坐标,进而由垂直关系可得k的方程,解方程可得.
    【解答】
    ∵ a→=(1, 2),b→=(1, 1),
    ∴ c→=a→+kb→=(1+k, 2+k)
    ∵ b→⊥c→,∴ b→⋅c→=0,
    ∴ 1+k+2+k=0,解得k=−32
    4.
    【答案】
    A
    【考点】
    数量积判断两个平面向量的垂直关系
    【解析】
    由题意利用两个向量坐标形式的运算法则,两个向量垂直的性质,得出结论.
    【解答】
    ∵ 向量,∴ +=(−3, 3)
    若,则 (+ )•=(−3, 3)⋅( x, y)=−3x+3y=0,即x=y,
    5.
    【答案】
    D
    【考点】
    平面向量数量积的性质及其运算
    【解析】
    根据题意,由、的坐标计算•以及||、||的值,由夹角公式计算可得答案.
    【解答】
    根据题意,向量=(,),=(-,-),
    则•=×(−)+×(−)=-,且||=||=1,
    故cs∠ABC==-,
    又由0∘≤∠ABC≤180∘,
    故∠ABC=150∘,
    6.
    【答案】
    A
    【考点】
    平面向量数量积的性质及其运算
    【解析】
    以点C为原点,以CA,CB所在的直线为x,y轴,建立直角坐标系,根据边长写出C,D,E,F四个点的坐标,求出,的坐标,进行坐标运算即可求解.
    【解答】
    如图,建立直角坐标系xCy,则D(0, 1),E(2,),F(1,),
    所以=(2,-),=(1,),
    所以==,
    7.
    【答案】
    C
    【考点】
    平面向量数量积坐标表示的应用
    【解析】
    由题意,先求出两向量2a→−b→与2a→+b→的坐标,再由模的坐标表示建立方程,即可解得m的值.
    【解答】
    ∵ a→=(2, m),b→=(1, −2),
    ∴ 2a→−b→=(3, 2m+2),2a→+b→=(5, 2m−2),
    又|2a→−b→|=|2a→+b→|,可得32+(2m+2)2=52+(2m−2)2,
    解得m=2.
    8.
    【答案】
    D
    【考点】
    平面向量的坐标运算
    数量积判断两个平面向量的垂直关系
    【解析】
    根据题意,结合关键掌握向量平行、垂直的坐标公式依次分析选项,即可得答案.
    【解答】
    根据题意,依次分析选项:
    对于A、向量a→=(−2, 1),b→=(−1, 3),有1×(−1)≠(−2)×3,即a→ // b→不成立,故A错误;
    对于B、向量a→=(−2, 1),b→=(−1, 3),有a→⋅b→=(−2)×(−1)+1×3=6,即a→⊥b→不成立,故B错误;
    对于C、向量a→=(−2, 1),b→=(−1, 3),则a→−b→=(−1, −2),有(−2)×3≠1×(−1),即a→ // (a→−b→)不成立,故A错误;
    对于D、向量a→=(−2, 1),b→=(−1, 3),则a→−b→=(−1, −2),有a→⋅(a→−b→)=(−1)×(−2)+1×(−2)=0,即a→⊥(a→−b→),故C正确;
    二、填空题
    【答案】
    0
    【考点】
    平面向量共线(平行)的坐标表示
    数量积判断两个平面向量的垂直关系
    【解析】
    根据向量垂直的坐标表示和向量平行的坐标表示列式可解得结果.
    【解答】
    因为向量=(x, 1),=(1, y),=(2, −4),且,,
    所以=2x−4=0,得x=2,
    1×(−4)=2y,解得y=−2,
    所以x+y=2−2=0.
    【答案】
    【考点】
    平面向量的坐标运算
    【解析】
    由⊥,求出=(2, −1),再由不、平面向量坐标运算公式求出=(3, 1),由此能求出||.
    【解答】
    ∵ 向量=(1,=(λ,⊥,
    ∴ •=λ−2=7.
    ∴ =(2,=(3,
    ∴ ||==.
    【答案】
    【考点】
    平面向量数量积的含义与物理背景
    【解析】
    根据向量的投影公式即可求出在上的投影.
    【解答】
    ∵ ,
    ∴ 在上的投影为:.
    【答案】
    −13
    【考点】
    平面向量共线(平行)的坐标表示
    平面向量数量积的性质及其运算
    【解析】
    利用向量共线求出x,然后利用向量的数量积公式,求解即可.
    【解答】
    向量=(x,=(2,且,
    可得3x=6x−2,解得x=−2,
    所以=(−5, 3)=−4−6=−13.
    三、解答题
    【答案】
    解:(1)依题意可得AB→=(5, 12),|AB→|=52+122=13
    .(2)∵OA→=(−3,−4),OB→=(2,8)⋅
    【考点】
    平面向量数量积
    【解析】
    (1)根据向量的基本运算的坐标表示即可求解
    (2)利用向量的数量积的坐标表示可求
    【解答】
    解:(1)依题意可得AB→=(5, 12),|AB→|=52+122=13
    .(2)∵OA→=(−3,−4),OB→=(2,8)⋅
    【答案】
    (1)∵ 平面直角坐标系中,点O为原点,A(1, 3),B(2, −1),C(4, m).
    ∴ =(1, −4),
    ||==.
    (II)=(1, 3),=(2, m+1),
    ∵ ⊥,
    ∴ •=2+3(m+1)=0,
    解得实数m=-.
    (III)∵ A,B,C三点共线,
    =(1, −4),=(3, m−3),
    ∴ // ,
    ∴ ,
    ∴ 实数m=−9.
    【考点】
    平行向量(共线)
    数量积判断两个平面向量的垂直关系
    【解析】
    (Ⅰ)由平面直角坐标系中,点O为原点,A(1, 3),B(2, −1),C(4, m),能求出的坐标及||;
    (II)先求出=(1, 3),=(2, m+1),由⊥,能求出实数m.
    (III)求出=(1, −4),=(3, m−3),由 // ,能求出实数m.
    【解答】
    (1)∵ 平面直角坐标系中,点O为原点,A(1, 3),B(2, −1),C(4, m).
    ∴ =(1, −4),
    ||==.
    (II)=(1, 3),=(2, m+1),
    ∵ ⊥,
    ∴ •=2+3(m+1)=0,
    解得实数m=-.
    (III)∵ A,B,C三点共线,
    =(1, −4),=(3, m−3),
    ∴ // ,
    ∴ ,
    ∴ 实数m=−9.
    【答案】
    ∵ =(1,=(2,k-=(k−7,+3,3),k-与平行,
    ∴ 5(k−2)+7=4,求得k=-.
    若⊥(),则•()==2+5t=3,
    ∴ t=-,+t,-),故||==.
    【考点】
    平面向量共线(平行)的坐标表示
    数量积判断两个平面向量的垂直关系
    【解析】
    (1)求出k- 与+3坐标,根据共线向量坐标的关系,即可求解;
    (2)由⊥(+t)的坐标关系求出t,进而求出+t坐标,即可求解.
    【解答】
    ∵ =(1,=(2,k-=(k−7,+3,3),k-与平行,
    ∴ 5(k−2)+7=4,求得k=-.
    若⊥(),则•()==2+5t=3,
    ∴ t=-,+t,-),故||==.
    【答案】
    2AB→+AC→=2(−1, 1)+(1, 5)=(−1, 7),
    ∴ |2AB→+AC→|=(−1)2+72=52.
    cs∠BAC=AB→⋅AC→|AB→|⋅|AC→|=−1+52×26=21313.
    ∵ AD→=λAC→(λ∈R).
    ∴ BD→=AD→−AB→=λAC→−AB→=λ(1, 5)−(−1, 1)=(λ+1, 5λ−1).
    ∵ BD→⊥BA→,∴ (λ+1)×1−(5λ−1)=0.
    解得λ=12.
    【考点】
    平面向量数量积坐标表示的应用
    【解析】
    (1)2AB→+AC→=2(−1, 1)+(1, 5)=(−1, 7),利用数量积运算性质即可得出|2AB→+AC→|.
    (2)利用cs∠BAC=AB→⋅AC→|AB→|⋅|AC→|即可得出.
    (3)由AD→=λAC→(λ∈R).可得BD→=AD→−AB→=λAC→−AB→.根据BD→⊥BA→,可得(λ+1)×1−(5λ−1)=0.即可得出.
    【解答】
    2AB→+AC→=2(−1, 1)+(1, 5)=(−1, 7),
    ∴ |2AB→+AC→|=(−1)2+72=52.
    cs∠BAC=AB→⋅AC→|AB→|⋅|AC→|=−1+52×26=21313.
    ∵ AD→=λAC→(λ∈R).
    ∴ BD→=AD→−AB→=λAC→−AB→=λ(1, 5)−(−1, 1)=(λ+1, 5λ−1).
    ∵ BD→⊥BA→,∴ (λ+1)×1−(5λ−1)=0.
    解得λ=12.
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