初中数学北师大版九年级上册4 探索三角形相似的条件测试题

这是一份初中数学北师大版九年级上册4 探索三角形相似的条件测试题，共17页。

1．如图，在△ABC中，点P在边AB上；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP•AB；④AB•CP＝AP•CB，不能判定△APC与△ACB相似的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
2．如图，△ABC中，P为边AB上一点，不能说明△ACP与△ACB相似的是（ ）
A．∠ACP＝∠BB．∠APC＝∠ACB
C．AC2＝AP×ABD．AB×CP＝AP×AC
3．图形中，每个小网格均为正方形网格，带阴影部分的三角形中与如图△A1B1C1相似的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，△ABC的两条中线BE，CD交于点O（ ）
A．＝B．＝
C．△ADE∽△ABCD．S△DOE：S△BOC＝1：2
5．如图，在三角形纸片中，∠A＝80°，AC＝8．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
6．如图，∠DAB＝∠CAE，请你再添加一个条件（ ）
A．∠D＝∠BB．∠E＝∠CC．D．
7．如图，在△ABC中，D为AB上一点2＝AD•AB，则（ ）
A．△ADC∽△CBDB．△BDC∽△BCAC．△ADC∽△ACBD．无法判断
8．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，AB⊥BD，PD⊥BD，D，点C是线段BD上的动点，点E是射线DP上的动点，不能得到△ABC与△CDE相似的是（ ）
A．∠A＝∠ECDB．＝C．＝D．＝
10．如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后（ ）
A．∠ACD＝∠BB．∠ADC＝∠ACBC．D．AC2＝AD•AB
11．如图，在△ABC中，点D，下列条件中不能判断△ABC∽△ADE的是（ ）
A．∠ADE＝∠BB．∠AED＝∠CC．＝D．＝
12．如图，△ABC在正方形网格中，下列正方形网格中的阴影图形与△ABC相似的是（ ）
A．B．C．D．
13．已知等腰△ABC的底角为75°，则下列三角形一定与△ABC相似的是（ ）
A．顶角为30°的等腰三角形
B．顶角为40°的等腰三角形
C．等边三角形
D．顶角为75°的等腰三角形
14．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，交BD于点F，下列三角形中不一定与△BCD相似的是（ ）
A．△BFEB．△AFDC．△ACED．△BAE
15．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，那么下列条件中，不能判断△ADE∽△ACB的是（ ）
A．∠ADE＝∠CB．∠AED＝∠BC．＝D．＝
16．已知△ABC三边长是，，2，与△ABC相似的三角形三边长可能是（ ）
A．1，，B．1，，C．1，，D．1，，
17．如图，AD、BC相交于点O，由下列条件不能判定△AOB与△DOC相似的是（ ）
A．AB∥CDB．∠A＝∠DC．D．
18．如图，下面图形及各个选项均是由边长为1的小方格组成的网格，三角形的顶点均在小方格的顶点上（ ）
A．B．
C．D．
二．解答题（共6小题）
19．如图，在△PAB中，点C、D在AB上，∠A＝∠BPD，求证：△APC∽△BPD．
20．如图，△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，点P从B点出发，同时点Q从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动．
（1）证明当P移动到BC中点时，四边形ABPQ面积最小．
（2）经过多少时间，△CPQ与△CBA相似？
21．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上，并说明理由．
22．如图所示，在平行四边形ABCD中，∠A＝90°，BC＝12cm，点E由点A出发沿AB方向向点B匀速移动，点F由点B出发沿BC方向向点C匀速移动，速度为2cm/s，F同时从A，B两点出发，若设运动时间为ts，解答下列问题：
（1）当t为多少时，△BEF为等腰直角三角形；
（2）是否存在某一时刻t，使△EFB∽△FDC？若存在，求出t的值，请说明理由．
23．已知，如图，△ABC中，BC＝8，D为BC边上一点
24．如图，在△ABC中，D是BC上的点，∠B＝36°．求证：△ABC∽△DBA．
参考答案
一．选择题（共18小题）
1．解：①、当∠ACP＝∠B，
∵∠A＝∠A，
∴△APC∽△ACB，
∴①不符合题意；
②、当∠APC＝∠ACB，
∵∠A＝∠A，
∴△APC∽△ACB，
∴②不符合题意；
③、当AC2＝AP•AB，
即AC：AB＝AP：AC，
∵∠A＝∠A
∴△APC∽△ACB，
∴③不符合题意；
④、∵当AB•CP＝AP•CB，
而∠PAC＝∠CAB，
∴不能判断△APC和△ACB相似，
∴④符合题意；
故选：D．
2．解：A、当∠ACP＝∠B，△APC∽△ACB；
B、当∠APC＝∠ACB，△APC∽△ACB；
C、当AC2＝AP•AB，即AC：AB＝AP：AC时，故本选项不符合题意；
D、当AB×CP＝AP×AC时．
故选：D．
3．解：因为△A1B1C5中有一个角是135°，选项中，且满足两边成比例夹角相等，
故选：B．
4．解：∵AD＝DB，AE＝EC，
∴DE＝BC，
∴＝，A选项结论正确；
∵DE∥BC，
∴＝，B选项结论正确；
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，C选项结论正确；
∵DE∥BC，
∴△DOE∽△COB，
∴S△DOE：S△COB＝1：8，D选项结论错误；
故选：D．
5．解：①阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；
②阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；
③两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似；
④两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似．
故选：B．
6．解：∵∠DAB＝∠CAE，
∴∠DAB+∠BAE＝∠CAE+∠BAE，
∴∠DAE＝∠BAC，
∴当添加条件∠D＝∠B时，则△ADE∽△ABC；
当添加条件∠E＝∠C时，则△ADE∽△ABC；
当添加条件时，则△ADE∽△ABC；
当添加条件时，则△ADE和△ABC不一定相似；
故选：D．
7．解：∵AC2＝AD•AB，
∴，
∵∠A＝∠A，且∠A为AD、AC的夹角，
∴△ADC∽△ACB．
故选：C．
8．解：如图，
由勾股定理得AC＝，BC＝2，
∵AC2+BC2＝10，AB2＝10，
∴AC2+BC2＝AB5，
∴∠ACB＝90°，
∴夹直角的两边之比为，
由图中各选项可知，B选项中的三角形符合题意．
故选：B．
9．解：∵AB⊥BD，PD⊥BD，
∴∠ABC＝∠CDE＝90°，
A、∵∠A＝∠ECD，
∴△ABC∽△EDC，
故A选项不合题意，
B、∵，
∴△ACB∽△ECD，
故B选项不合题意，
C、∵，∠ABC＝∠CDE，
∴△ABC∽△CDE，
故C选项不合题意，
若，不能判定△ABC与△CDE相似，
故选：D．
10．解：A、当∠ACD＝∠B时，可得出△ACD∽△ABC；
B、当∠ADC＝∠ACB时，可得出△ACD∽△ABC；
C、当时，无法得出△ACD∽△ABC；
D、当AC2＝AD•AB时，即，再由∠A＝∠A，故此选项不合题意；
故选：C．
11．解：A、∠ADE＝∠B，则可判断△ABC∽△ADE；
B、∠AED＝∠C，则可判断△ABC∽△ADE；
C、＝，即＝，且夹角∠A＝∠A，故C选项不符合题意；
D、＝，缺少条件∠AED和∠ACB相等，故D选项符合题意；
故选：D．
12．解：在△ABC中，AB＝，AC＝，
选项A中三角形三边为1，，2，而≠，所以A选项中的三角形与△ABC不相似；
选项B中三角形三边为1，，2，而≠，所以B选项中的三角形与△ABC不相似；
选项C中三角形三边为1，，，因为＝＝；
选项D中三角形三边为，，，而≠，所以D选项中的三角形与△ABC不相似．
故选：C．
13．解：∵等腰△ABC的底角为75°，
∴等腰△ABC的三角分别为30°，75°，
∴一定与△ABC相似的是顶角为30°的等腰三角形，
故选：A．
14．解：∵BD⊥AC，AE⊥BC，
∴∠BDC＝∠AEC＝90°，
∴∠DBC+∠C＝∠EAC+∠C＝90°，
∴∠DBC＝∠EAC，
∴△ACE∽△BCD，
又∵∠ADF＝∠BDC＝90°，
∴△AFD∽△BCD，
∵∠FBE＝∠DBC，∠BEF＝∠BDC＝90°，
∴△BFE∽△BCD，
∴一定与△BCD相似的是△BFE，△AFD，
故不一定与△BCD相似的是△BAE．
故选：D．
15．解：∵∠DAE＝∠CAB，
∴当∠ADE＝∠C时，△ADE∽△ACB；
当∠AED＝∠B时，△ADE∽△ACB；
当＝时，△ADE∽△ACB．
故选：C．
16．解：∵△ABC三边长是，，8，
∴△ABC三边长的比为：2：：，
∴△ABC相似的三角形三边长可能是2，，，
故选：A．
17．解：A、由AB∥CD能判定△AOB∽△DOC．
B、由∠AOB＝∠DOC，故本选项不符合题意．
C、由、∠AOB＝∠DOC能判定△AOB∽△DOC．
D、已知两组对应边的比相等：，不能判定△AOB与△DOC相似．
故选：D．
18．解：根据题意得：AC＝＝，AB＝＝，
∴BC：AB：AC＝1：：，
A、三边之比为1：：；
B、三边之比：，选项B不符合题意；
C、三边之比为2：：；
D、三边之比为：，选项D不符合题意．
故选：A．
二．解答题（共6小题）
19．证明：∵PC＝PD，
∴∠PCD＝∠PDC，
∵∠A+∠APC＝∠PCD，∠B+∠BPD＝∠PDC，
又∵∠A＝∠BPD，
∴∠B＝∠APC，
∴△APC∽△PBD．
20．解：在Rt△ABC中，由BC＝12cm，7+BC2＝AB2，
可得：AC＝7．
（1）证明：设经过ts时，BP＝2t，CP＝12﹣2t，
∴S四边形ABPQ＝×12×9﹣2+45，
即：．
∴当t＝3s时，四边形ABPQ面积最小，
BP＝5t＝6，即P为BC中点；
（2）①当PQ∥AB时，△CPQ∽△CBA，有＝，
即：．
②当△CPQ∽△CAB时，有＝．
即：．
答：经过秒或，△CPQ和△CBA相似．
21．解：△ABC和△DEF相似；
理由如下：根据勾股定理，得AB＝2，AC＝4，DF＝，
∵，
∴△ABC∽△DEF．
22．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝90°，
∴四边形ABCD为矩形，
∴∠B＝90°．
当△BEF为等腰直角三角形时，只能是BE＝BF，则BE＝AB﹣AE＝6﹣t，
∴2t＝5﹣t．
解得：t＝2．
∴当t＝2时，△BEF为等腰直角三角形．
（2）存在，理由如下：
∵△EFB∽△FDC，
∴BF：DC＝BE：CF．
∵BE＝4﹣t，BF＝2t，
∴＝．
解得：t＝或t＝6．
又∵t＝5时，B与E重合，舍去，
综上所述，当t＝时．
23．证明：∵AB＝4，BC＝8，
∴．
∵∠ABD＝∠CBA，
∴△ABD∽△CBA．
24．证明：∵AB＝AC，∠B＝36°，
∴∠C＝36°．
又∵AC＝DC，
∴∠DAC＝＝72°．
∴∠DAB＝180°﹣2×36°﹣72°＝36°，
∴∠DAB＝∠C．
又∵∠B是公共角，
∴△ABC∽△DBA．