2021届广东省韶关市高三数学一模试卷及答案

这是一份2021届广东省韶关市高三数学一模试卷及答案，共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


广东省韶关市高三数学一模试卷
一、单项选择题
1.复数 ，那么复数 在复平面内对应的点位于〔    〕
A. 第一县象限                          B. 第二象限                          C. 第三象限                          D. 第四象限
2.命题 ： 是命题 ： 的〔    〕
A. 充分不必要条件           B. 必要不充分条件           C. 充分必要条件           D. 既不充分又不必要条件
3.中，点 为 上的点，且 ，假设 ，那么 的值是〔    〕
A. 1                                          B.                                           C.                                           D. 
4.人的心脏跳动时，血压在增加或减少.血压的最大值､最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数 为标准值.设某人的血压满足函数式 ，其中 为血压(单位： )， 为时间(单位： )，那么以下说法正确的选项是〔    〕
A. 收缩压和舒张压均高于相应的标准值
B. 收缩压和舒张压均低于相应的标准值
C. 收缩压高于标准值，舒张压低于标准值
D. 收缩压低于标准值，舒张压高于标准值
5.假设某射手每次射击命中率相同，且每次射击之间相互没有影响.假设在两次射击中至多命中一次的概率是 ，那么该射手每次射击的命中率为〔    〕
A.                                          B.                                          C.                                          D. 
6. ，那么 〔    〕
A. -10                                        B. 10                                        C. -45                                        D. 45
7.设正方体 的棱长为1， 为底面正方形 内的一动点，假设三角形 的面积 ，那么动点 的轨迹是〔    〕
A. 圆的一局部                 B. 双曲线的一局部                 C. 抛物线的一局部                 D. 椭圆的一局部
8.函数 ，假设 ， ， ，那么 ， ， 的大小关系正确的选项是〔    〕
A.                            B.                            C.                            D. 
二、多项选择题
9.设 是椭圆 上一点， ， 是椭圆的左､右焦点，焦距为 ，假设 是直角，那么〔    〕
A. ( 为原点)                                           B. 
C. 的内切圆半径                      D. 
10.如下列图，点 是函数 ( ， )图象的最高点， ､ 是图象与 轴的交点，假设 ，且 ，那么〔    〕

A.                               B.                               C.                               D. 
11.设 ， 为正数，假设直线 被圆 截得弦长为4，那么〔    〕
A.                            B.                            C.                            D. 
12.如图三棱锥 ，平面 平面 ， 是等腰三角形， 是等腰直角三角形，假设 ， ，球 是三棱锥 的外接球，那么〔    〕

A. 球心到平面 的距离是                             B. 球心到平面 的距离是
C. 球的外表积是                                              D. 球的体积是
三、填空题
13.集合 ， ，那么 ________(结果用区间或集合表示).
14.现有标号为①，②，③，④，⑤的5件不同新产品，要放到三个不同的机构进行测试，每件产品只能放到一个机构里.机构 ， 各负责一个产品，机构 负责余下的三个产品，其中产品①不在 机构测试的情况有________种(结果用具体数字表示).
15.假设曲线 与曲线 存在公共切线，那么 的取值范围为________．
16.设 为等差数列 的前 项和， ，那么 ________，假设 ，那么使得不等式 成立的最小整数 ________.
四、解答题
17.在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.
问题：在 中，角 、 、 对应的边分别为 、 、 ，假设 ，  ▲   ， 求角 的值和 的最小值.
18.如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， 平面 ， ， .

〔1〕假设 为 中点，求证： 平面 ；
〔2〕求直线 与平面 所成角的正弦值.
19.数列 的前 项和为 ，假设 ( )，且 的最大值为25.
〔1〕求 的值及通项公式 ；
〔2〕求数列 的前 项和 .
20.在一次大范围的随机知识问卷调查中，通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如下表所示：
得分







频数
2
13
21
25
24
11
4
〔1〕由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分 ， 近似为这100人得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的左端点值作代表).
①求 的值；
②假设 ，求 的值；
〔2〕在〔1〕的条件下，为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：
①得分不低于 的可以获赠2次随机话费，得分低于 的可以获赠1次随机话费；
②每次获赠的随机话费和对应的概率为：
赠送话费的金额(单位：元)
20
50
概率


现有市民甲参加此次问卷调查，记 (单位：元)为该市民参加问卷调查获赠的话费，求 的分布列与数学期望.
21.抛物线 ： 的焦点是 ，假设过焦点的直线与 相交于 ， 两点，所得弦长 的最小值为4.
〔1〕求抛物线 的方程；
〔2〕设 ， 是抛物线 上两个不同的动点， 为坐标原点，假设 ， ， 为垂足，证明：存在定点 ，使得 为定值.
22.函数 .
〔1〕求 的单调区间；
〔2〕假设 时，方程 有两个不等实数根 ， ，求实数 的取值范围，并证明： .

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】因为 ，所以复数 在复平面内对应的点位于第四象限.
故答案为：D

【分析】 由复数的运算法那么求出z的代数形式，由复数的几何意义得到对应的点的坐标，即可得到答案．
2.【解析】【解答】 ，
所以 ，反之 .
故 是 的必要不充分条件.
故答案为：B

【分析】 根据不等式的解法求出p的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
3.【解析】【解答】由 可知， ，那么有
，
所以， ， ， .
故答案为：C

【分析】 由结合向量的线性表示及平面向量根本定理可求λ，μ，进而可求．
4.【解析】【解答】由三角函数知识，函数 的最大值(即收缩压)为126，函数 的最小值(即舒张压)为76，比较得：收缩压高与标准值，舒张压低于标准值，
故答案为：C.

【分析】 先根据函数p〔t〕=101+25sin〔160πt〕，求出最大值和最小值，进而可得到收缩压和舒张压的值，确定答案．

 
5.【解析】【解答】设该射手射击命中的概率为 ，两次射击命中的次数为 ，那么 ，
由题可知： ，即 ，
解得 .
故答案为：C.

【分析】 设该射手每次射击的命中率为p,由在两次射击中至多命中一次的概率   ，得到1-p2 =由此能求出该射手每次射击的命中率．
6.【解析】【解答】
 ， .
故答案为：A

【分析】 根据：〔1+x〕10=[-1+(2+x)]10 ， 利用通项公式求得展开式第10项的系数．
7.【解析】【解答】设 是三角形 边 的高，
，所以 ，
即点 到直线 的距离为定值 ，
所以点 在以直线 为轴，以 为底面半径的圆柱侧上，
直线 与平面 既不平行也不垂直，
所以点 的轨迹是平面 上的一个椭圆，
其中只有一局部在正方形 内.
故答案为：D

【分析】 先根据三角形APC1的面积求出P到AC1的距离， 从而得到P在空间中的轨迹为圆柱面，结合题意P是平面ABCD截圆柱的一局部，即P的轨迹为椭圆的一局部．
8.【解析】【解答】由题可知： 的定义域为 ，且
，
那么 为偶函数， ，当 时， ， 在

所以 ， ，故 .
故答案为：B

【分析】 先判断函数的奇偶性及单调性，然后结合单调性及奇偶性即可比较大小。
二、多项选择题
9.【解析】【解答】 中， 为斜边 的中点，所以 ，A符合题意；
设 ， ，那么有 ， ，所以
，所以 ，B符合题意.
， ，C符合题意；
当且仅当 为椭圆右顶点，此时 ， ， 不构成三角形，D不符合题意.
故答案为：ABC

【分析】 选项A，根据直角三角形斜边中线的性质即可判断；选项B，利用椭圆的定义以及勾股定理化简即可求解；选项C，利用三角形面积相等以及a,b,c的关系式即可求解；选项D，利用椭圆的几何性质即可判断．
10.【解析】【解答】由题知 的纵坐标为 ，又 ，所以 ， ，
所以 ，所以 的周期 ，所以 ， ，B符合题意；
所以 ，C符合题意； ，A不符合题意，
将 代入函数解析式可得： ， ( )，D不符合题意.
故答案为：BC.

【分析】 根据   可得出PM⊥PN,从而可求出MN=π,进而得出f(x)的周期为2π，从而得出ω=1,并可根据f(x)的解析式得出P点的纵坐标， 进而可根据M的坐标求出P,N的坐标，并求出， 这样即可得出正确的选项．
11.【解析】【解答】由 可得 ，
故圆的直径是4，
所以直线过圆心 ，即 ，B符合题意；
又 ， 均为正数，所以由均值不等式 ，当且仅当 时等号成立；C符合题意；
又 ，
当且仅当 ，即 ，即 时，等号成立，D符合题意.
故答案为：BCD

【分析】 化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，把圆心坐标代入直线方程可得2a+b=1，再由根本不等式得到， 把变形，结合“1〞的代换求其最小值，那么答案可求．
12.【解析】【解答】三棱锥可置于棱长为2的正方体内，
正方体的上底面 的中点 即为此三棱锥的顶点，
如以下列图的 ，

分别设 ， 为 ､ 外接圆圆心， 所以A不符合题意；
因为 ，那么 是 的中点.在等腰三角形 中， ，

设其外接圆半径为 (如图)，
那么 ， 得： ，解得 ， .所以，B对；
设三棱锥 外接球半径为 在 中，
， ，所以 ，解得 .
从而 .所以C对，D不符合题意.
故答案为：BC.

【分析】 取AC中点G，可得G为底面三角形的外心，取三角形PBC的外心H，连接OG，OH，由可得O到平面PBC的距离，再求出三角形PBC外接圆的半径，可得球心O到底面ABC的距离，由勾股定理求出球的半径，代入球的外表积公式与体积公式求解球的外表积与体积．
三、填空题
13.【解析】【解答】 ，所以 .
故答案为：[1,2)．

【分析】 可求出集合A,然后进行交集的运算即可．
14.【解析】【解答】〔1〕假设产品1在 机构，那么情况数为 ；〔2〕假设产品1在 机构那么情况数为 ，
由分类加法计数原理知总共 种情况.
故答案为：16

【分析】 根据题意，有产品①必须在B机构或者C机构测试，由此分2种情况讨论，由加法原理计算可得答案．
15.【解析】【解答】解：由y=ax2(a>0),得y′=2ax，
由y=ex,得y′=ex ，
曲线C1:y=ax2(a>0)与曲线C2:y=ex存在公共切线，
设公切线与曲线C1切于点(x1,ax12),与曲线C2切于点 ，
那么 ，
可得2x2=x1+2，∴ ，
记 ，那么 ，
当x∈(0,2)时,f′(x)<0,f(x)递减；
当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,f(x)递增．
∴当x=2时, .
∴a的范围是 .

【分析】 求出两个函数的导函数，设出两切点，由斜率相等列方程，再由方程有根转化为两函数图象有交点，求得a的范围．
16.【解析】【解答】因为 ，所以 ；因为 ，所以 ，所以 为递减数列，又 ， ，所以 .
故答案为：6；13．

【分析】 根据题意，由等差数列的前n项和公式和性质可得代入数据可得第一空答案，同理可得，即可得第二空答案．
四、解答题
17.【解析】【分析】 选择条件①，利用诱导公式及两角和的余弦公式可求得角B的值，再由余弦定理和根本不等式即可求得b的最小值；
选择条件②，利用二倍角公式和诱导公式可求得角B的值，再由余弦定理和根本不等式即可求得b的最小值；
选择条件③，利用正弦定理及两角和的正弦公式可求得角B的值，再由余弦定理和根本不等式即可求得b的最小值．
18.【解析】【分析】 〔1〕根据直线与平面平行的判定定理证明；〔2〕寻找直线与平面所成角，在直角三角形中求解．
19.【解析】【分析】 〔1〕由二次函数的最值求法，可得k,再由数列的递推式：  时，   ,当 当  时， ,计算可得所求通项公式；
〔2〕求得  ，再由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．
20.【解析】【分析】 〔1〕利用频率分布表即可求出均值，得到对称轴，然后求解a的值；
〔2〕由题意知P〔ξ＜μ)=P(ξ≥μ)=，获赠话费X的可能取值为20，40，50，70，100，求出概率，得到分布列，然后求解期望即可．
21.【解析】【分析】 〔1〕设直线PQ的方程为  ，联立抛物线的方程，结合韦达定理可得  ，那么|  ， 当m=0时，|PQ|min ， 进而可得答案．
〔2〕设直线AB的方程为   ，  ，  ,由OA⊥OB，可得   ,解得m,直线AB的方程为x=ty+4,过定点(4,0),记作K点，分两种情况：当K点与M点不重合时，当点K与点M重合，|MN|是否为定值．
22.【解析】【分析】 〔1〕求导，利用导数与单调性的关系即可求解单调区间；
〔2〕将方程转化为 ， 由f〔x〕在〔1，+∞〕上单调递增，可得   ，从而可得   ， 设 ， 利用导数求得g〔x〕的范围，从而可得  有两个根时a的取值范围；
设  ，那么  ，  是方程  的两根， 设  ，那么   ，利用导数求得h〔t〕＞0即可得证．