2021届广东省梅州市高三数学一模试卷及答案

这是一份2021届广东省梅州市高三数学一模试卷及答案，共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高三数学一模试卷
一、单项选择题
1.设 是虚数单位，假设复数 ，那么 〔    〕
A.                                          B. 1                                         C.                                          D. 
2.全集为 ，集合 ， ，那么 〔    〕
A.              B.              C. 或              D. 或
3.假设干年前，某老师刚退休的月退休金为4000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该老师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.目前的月就医费比刚退休时少100元，那么目前该老师的月退休金为〔    〕

A. 5000元                               B. 5500元                               C. 6000元                               D. 6500元
4.假设向量 满足： 那么 〔   〕
A. 2                                         B.                                          C. 1                                         D. 
5.直线 是函数 与的图象的一条对称轴，为了得到函数 的图象，可把函数 的图象〔 〕
A. 向左平行移动 个单位长度                              B. 向右平行移动 个单位长度
C. 向左平行移动 个单位长度                             D. 向右平行移动 个单位长度
6.为坐标原点， 为抛物线  的焦点， 为  上一点，假设 ，那么  的面积为(      )
A.                                         B.                                         C.                                         D. 
7.函数 ，假设不等式 对任意 恒成立，那么实数 的取值范围是〔    〕
A.                        B.                        C.                        D. 
8.某软件研发公司对某软件进行升级，主要是软件程序中的某序列 重新编辑，编辑新序列为 ，它的第 项为 ，假设序列 的所有项都是2，且 ， ，那么 等于〔    〕
A.                                    B.                                    C.                                    D. 
二、多项选择题
9.假设 ， ，那么〔    〕
A.                          B.                          C.                          D. 
10.以下关于圆锥曲线的命题中，正确的选项是〔    〕
A. 设 、 为两个定点， 为非零常数， ，那么动点 的轨迹为双曲线
B. 设定圆 上一定点 作圆的动弦 ， 为坐标原点，假设 ，那么动点 的轨迹为椭圆
C. 方程 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率
D. 双曲线 与椭圆 有相同的焦点
11.如图，在正方体 中，点 在线段 上运动时，以下命题正确的选项是〔    〕

A. 三棱锥 的体积不变                            B. 直线 与平面 所成角的大小不变
C. 直线 与直线 所成角的大小不变            D. 二面角 的大小不变
12.某校实行选课走班制度，张毅同学选择的是地理、生物、政治这三科，且生物在B层，该校周一上午选课走班的课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，那么以下说法正确的选项是〔    〕
第1节
第2节
第3节
第4节
地理1班
化学A层3班
地理2班
化学A层4班
生物A层1班
化学B层2班
生物B层2班
历史B层1班
物理A层1班
生物A层3班
物理A层2班
生物A层4班
物理B层2班
生物B层1班
物理B层1班
物理A层4班
政治1班
物理A层3班
政治2班
政治3班
A. 此人有4种选课方式                                            B. 此人有5种选课方式
C. 自习不可能安排在第2节                                     D. 自习可安排在4节课中的任一节
三、填空题
13. ， ，那么 ________.
14.设曲线 在点〔0,1〕处的切线与曲线 上点 处的切线垂直，那么 的坐标为________．
15.?九章算术?中?方田?章有弧田面积计算问题，术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一.其大意是弧田面积计算公式为：弧田碸 〔弦 矢 矢 矢〕.弧田是由圆弧〔弧田弧〕和以圆弧的端点为端点的线段〔弧田弦〕围成的平面图形，公式中的“弦〞指的是弧田弦的长，“矢〞指的是弧田所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差.现有一弧田，其弧田弦 等于6米，其弧田弧所在圆为圆 ，假设用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为 平方米，那么 ________.
16.球 是三棱锥 的外接球， ， ，点 是 的中点，且 ，那么球 的外表积为________.
四、解答题
17.在① ，② ，③ 三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．
的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，假设__________，且a，b，c成等差数列，那么 是否为等边三角形？假设是，写出证明；假设不是，说明理由．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18.数列 满足 ， ，数列 满足 ， ．
〔1〕证明数列 为等比数列并求数列 的通项公式；
〔2〕数列 满足 ，求数列 的前 项和 ．
19.如图，矩形 中， ， ， 为 的中点．把 沿 翻折，使得平面 平面 ．
   
〔Ⅰ〕求证： ；
〔Ⅱ〕求 所在直线与平面 所成角的正弦值．
20.某电子产品加工厂购置配件 并进行甲、乙两道工序处理，假设这两道工序均处理成功，那么该配件加工成型，可以直接进入市场销售；假设这两道工序均处理不成功，那么该配件报废；假设这两道工序只有一道工序处理成功，那么该配件需要拿到丙部门检修，假设检修合格，那么该配件可以进入市场销售，假设检修不合格，那么该配件报废．根据以往经验，对于任一配件 ，甲、乙两道工序处理的结果相互独立，且处理成功的概率分别为 ， ，丙部门检修合格的概率为 ．
〔1〕求该工厂购置的任一配件 可以进入市场销售的概率．
〔2〕配件 的购置价格为80元/个，甲、乙两道工序的处理本钱均为8元/个，丙部门的检修本钱为 元个，假设配件 加工成型进入市场销售，售价可达200元/个；假设配件 报废，要亏损购置本钱以及加工本钱．假设市场大量需求配件 的成型产品，试估计该工厂加工5000个配件 的利润．〔利润 售价 购置价格 加工本钱〕
21.给定椭圆 ： 〔 〕，称圆心在原点 ，半径为 圆是椭圆 的“卫星圆〞.假设椭圆 的一个焦点为 ，点 在椭圆 上.
〔1〕求椭圆 的方程和其“卫星圆〞方程；
〔2〕点 是椭圆 的“卫星圆〞上的一个动点，过点 的直线 ， 与椭圆 都只有一个交点，且 ， 分别交其“卫星圆〞于点 ， .试探究： 的长是否为定值？假设为定值，写出证明过程；假设不是，说明理由.
22.函数 ， .
〔1〕假设 ， ，求函数 的单调区间；
〔2〕不等式 对于 恒成立，求实数 的取值范围.

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】 ， ，
因此， .
故答案为：C.

【分析】首先由复数的运算性质整理原式再由复数的模的定义计算出结果即可。
2.【解析】【解答】由不等式 ，可得 ，所以 ，
又由不等式 ，解得 或 ，所以 或 ，
根据集合的交集的概念及运算，可得 或 .
故答案为：D.

【分析】根据题意由指数函数的单调性结合不等式的解法求出集合A再由一元二次不等式的解法求解出集合B，结合交集的定义求出答案即可。
3.【解析】【解答】刚退休时就医费用为 元，现在的就医费用为 元，占退休金的 ，
因此，目前该教师的月退休金为 元.
故答案为：A
【分析】根据题意由柱状图以及折线图中的数据计算出结果即可。
4.【解析】【解答】由题意易知： ， 即 ，，即 。
故答案为：B.

【分析】利用条件结合两向量垂直数量积为0的等价关系，从而再利用数量积的公式，从而求出向量的模。
5.【解析】【解答】依题意，直线 是函数 与的图象的一条对称轴，
那么 ，即 ，解得 ，
因为 ，所以 ，所以函数 ，
将 的图象向左平行移动 个单位长度得 ，
故答案为：C.
【分析】根据题意由正弦函数的图象结合对称轴的性质计算出由此得到函数的解析式，整理解析式结合函数平移的性质即可得出答案。
6.【解析】【解答】设P(xP,yP)(yP>0)由抛物线定义知,xP+ =4 ,
∴xP=3 ,yP= =2 ,
因此S△POF= ×2 × =2 .
故答案为：C.

【分析】由利用抛物线定义，得到xP=3 ,yP=2 ,即可求出S△POF的值.
 
7.【解析】【解答】函数 的定义域为 ，且 ，所以 为偶函数.
又当 时, 是增函数，
任取 ，且 ，
 
， ，
所以 在 上是增函数，即 在 上是增函数.
所以不等式 对任意 恒成立，转化为 ，即 ，从而转化为 和 在 上恒成立
①假设 在 上恒成立，那么 ，解得 ；
②假设 在 上恒成立，，那么 ，解得 ；
综上所述，实数 的取值范围是 .
故答案为：D.

【分析】 根据函数解析式判断函数的奇偶性与单调性，将不等式恒成立问题转化为|ax-1|＜2+x2恒成立，去绝对值再用一元二次不等式恒成立，求出实数a的取值范围．
8.【解析】【解答】设 ，
序列 的所有项都是 ， ，即 ，
， ，
，解得： .
故答案为：C.

【分析】根据题意由等比数列的定义结合等比数列的通项公式结合题意整理即可得到首项和公比的方程组求解出结果即可。
二、多项选择题
9.【解析】【解答】由 ， ，得 ， ，那么
，
，


，
故答案为：ACD.

【分析】根据题意由指对互化公式结合对数函数的运算性质对选项逐一判断即可得出答案。
10.【解析】【解答】对于A选项，假设动点 的轨迹为双曲线，那么 ，即 ，
但 与 的大小关系未知，A选项错误；
对于B选项，由 可得 ，
可得 ，所以，点 为线段 的中点，
如以下列图所示：

当 为圆 的一条直径时， 与 重合；
当 不是圆 的直径时，由垂径定理可得 ，
设 的中点为 ，由直角三角形的几何性质可得 〔定值〕，
所以，点 的轨迹为圆，B选项错误；
对于C选项，解方程 ，可得 ， ，
所以，方程 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率，C选项正确；
对于D选项，双曲线 的焦距为 ，焦点坐标为 ，
椭圆 的焦距为 ，焦点坐标为 ，D选项正确.
故答案为：CD.

【分析】 结合题意假设动点P的轨迹为双曲线，那么|k|要小于A、B为两个定点间的距离由此即可判断出选项A错误；根据平行四边形法那么，易得P是AB的中点．由此可知P点的轨迹是一个圆由此即可判断出选项B错误；由方程2x2-5x+2=0的两根， 可分别作为椭圆和双曲线的离心率即得出选项C正确；由双曲线与椭圆焦点坐标都是由此即可判断出选项D正确；由此即可得出答案。
11.【解析】【解答】A： 平面 ， 上任意一点到平面 的距离相等，所以体积不变，A选项正确；
B： 与平面 相交，所以直线 与平面 所成角的大小在变，B选项错误；
C： 直线 平面 ， ， 直线 与直线 所成角的大小不变；C选项正确；
D：二面角 也就是二面角 大小不变，D选项正确；
故答案为：ACD.

【分析】 根据题意利用BC1∥平面AD，那么BC1上任意一点到平面AD1C的距离相等，结合锥体的体积公式判断选项A，利用线面角和线线角的定义即可判断选项B，利用线线角的定义即可判断选项C，利用二面角的定义即可判断选项D；由此得到答案。
12.【解析】【解答】由于生物在B层，只有第2，3节有，故分两类：
假设生物选第2节，
那么地理可选第1节或第3节，有2种选法，
其他两节政治、自习任意选，
故有 种〔此种情况自习可安排在第1、3、4节中的某节〕；
假设生物选第3节，
那么地理只能选第1节，政治只能选第4节，自习只能选第2节，故有1种．
根据分类加法计数原理可得选课方式有 种．
综上，自习可安排在4节课中的任一节．
故答案为：BD.

【分析】由图表中的数据结合排列组合以及计数原理对选项逐一判断即可得出答案。
三、填空题
13.【解析】【解答】解：因为 ，且 ，所以 ， ，
那么 .
故答案为： .

【分析】根据题意由同角三角函数的根本根本关系式代入数值计算出， 再由两角和的余弦定理计算出结果即可。
14.【解析】【解答】设 ，对y＝ex求导得y′＝ex ， 令x＝0，得曲线y＝ex在点(0，1)处的切线斜率为1，故曲线 上点P处的切线斜率为－1，由 ，得 ，那么 ，所以P的坐标为(1，1)．
【分析】利用求导的方法求出曲线在切点处的切线斜率，再利用点斜式求出曲线 在点〔0,1〕处的切线方程，再利用两直线垂直斜率之积等于-1，从而求出点P的坐标。
15.【解析】【解答】如下列图，

， ，
由题意可得： ，解得 〔舍〕
因为 ，可得
所以 ，
所以
故答案为：

【分析】根据题意由扇形的性质结合勾股定理计算出半径和距离，再由三角形内的几何计算关系计算出答案。
16.【解析】【解答】由 ， ，可得 ，所以 ，
由点 是 的中点，且 ，可求得 ，
又由 ，可得 ，所以 ，
又 且 平面 ，所以 平面 ，
以 为底面， 为侧棱补成一个直三棱柱，如下列图，

那么三棱锥 的外接球即为该三棱柱的外接球，
球心 到底面 的距离为 ,
由正弦定理，可得 的外接圆的半径为 ，
所以球 的半径为 ，
所以球 的外表积为 .
故答案为： .

【分析】根据题意由线面垂直的判定定理即可证明AC⊥平面PAB，结合勾股定理求出三角形PAB外接圆的半径，再由点到面的距离公式求出球的半径，把数值代入到球的外表积公式计算出结果即可。
四、解答题
17.【解析】【分析】根据题意选择 ① 结合余弦定理整理化简即可得到关于sinB的方程由角的取值范围，即可求出sinB的值，再由等差数列项的性质结合余弦定理整理即可得到关于边之间的关系由此得到三角形的形状。
18.【解析】【分析】(1)根据题意由数列的递推公式整理即可得出数列的通项公式由此得到数列为等比数列，由此求出数列的通项公式。
(2)由(1)的结论即可得出数列的通项公式，由此得出数列为等比数列进而得到通项公式，由此得到数列的通项公式，整理化简利用裂项相消法求出结果即可。
19.【解析】【分析】 〔Ⅰ〕 根据题意由中点的性质结合勾股定理代入数值计算出垂直，再由面面垂直的性质定理即可得出线面垂直，由此得证出结论。
〔Ⅱ〕法一： 根据题意作出辅助线由条件得到线线垂直，再由线面垂直的性质定理即可得出线面垂直，进而求出面的高线结合体积公式由等体积法计算出结果。
法二：根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，结合同角三角函数的平方关系即可求出 所在直线与平面 所成角的正弦值 。
20.【解析】【分析】〔1〕根据题意利用相互独立事件的概率计算公式进行求解即可；
〔2〕结合条件设加工5000个配件M的利润为Y，加工一个配件M的利润为X，那么Y=5000X，求X的所有可能取值及对应的概率，即可得出答案．
21.【解析】【分析】(1)根据题意由条件求出焦点的坐标即c的值，再由椭圆的 a、b 、c 三者的关系求出a与b的值由此得到椭圆的方程。
(2) 先由假设直线 l1 ， l2中有一条直线的斜率不存在可得 l1⊥l2 ， 进而求出|MN|，假设|MN|为定值那么需要证明当假设直线 l1 ， l2的斜率都存在时证明l1⊥l2即可，设直线与椭圆相切得判别式为0即可证明，从而得到|MN|的长为定值．
 
22.【解析】【分析】(1)根据题意对函数求导结合a的取值范围即可得出导函数的正负情况，由此即可得出函数的单调性以及单调区间。
(2)结合条件整理即可得到恒成立，构造函数对其求导结合导函数的性质即可得出原函数的单调性，由函数的单调性即可得出， 结合对数函数的运算性质以及导函数的性质即可求出在上恒成立，由此得出m的取值范围即可。