2021届广东省汕头市高三数学一模试卷及答案

这是一份2021届广东省汕头市高三数学一模试卷及答案，共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


广东省汕头市高三数学一模试卷
一、单项选择题
1.集合 ， ，那么 〔    〕
A. {1}                             B.                              C.                              D. 
2.在复平面内，复数 的共轭复数对应点的坐标所在的象限是〔    〕
A. 第一象限                           B. 第二象限                           C. 第三象限                           D. 第四象限
3.假设 ，那么 〔    〕
A. -1                                          B. 1                                          C.                                           D. 3
4. ，那么 的值是〔    〕
A.                                   B.                                   C.                                   D. 
5.在正项等比数列 中， ， ，那么数列 的通项公式为〔    〕
A.                               B.                               C.                               D. 
6. ， ，且 ，那么 的最小值为〔    〕
A. 6                                         B. 8                                         C.                                          D. 
7.斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋〞，它的画法是：以斐波那契数： ，…为边的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为 的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．自然界存在很多斐波拉契螺旋线的图案，例如向日葵、鹦鹉螺等．右图为该螺旋线的前一局部，如果用接下来的一段圆弧所对应的扇形做圆锥的侧面那么该圆锥的体积为〔    〕

A.                             B.                             C.                             D. 
8.在新的高考改革方案中规定：每位考生的高考成绩是按照3〔语文、数学、英语〕 〔物理、历史〕选 〔化学、生物、地理、政治〕选2的模式设置的，那么在选考的科目中甲、乙两位同学恰有两科相同的概率为〔    〕
A.                                          B.                                          C.                                          D. 
二、多项选择题
9.双曲线 的左、右两个焦点分别为 ，直线 与C交于 两点， 轴，垂足为E ， 直线 与C的另一个交点为P ， 那么以下结论正确的选项是〔    〕
A. 四边形 为平行四边形                           B. 
C. 直线 的斜率为                                           D. 
R上的奇函数，满足 ，当 时， ，假设函数 ，在区间 上有10个零点，那么m的取值可以是〔    〕

11.知函数 ，那么下述结论中正确的选项是〔    〕
A. 假设 在 有且仅有4个零点，那么 在 有且仅有2个极小值点
B. 假设 在 有且仅有4个零点，那么 在 上单调递增
C. 假设 在 有且仅有4个零点，那么 的取值范围是
D. 假设 的图象关于 对称，且在 单调，那么 的最大值为9
12.函数 ，那么以下说法正确的选项是〔    〕
A. 
B. 
C. 假设 有两个不相等的实根 ，那么
D. 假设 均为正数，那么
三、填空题
13.向量 ， ，那么 ________．
14.写一个焦点在 轴上且离心率为 的双曲线方程________．
15.在三棱锥 中， 是边长为 的等边三角形， 是以 为斜边的直角三角形，二面角 的大小为 ，那么该三棱锥外接球的外表积为________．
16.国家开展改革委、住房城乡建设部于2021年发布了?生活垃圾分类制度实施方案?，规定46个城市在2021年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达35%以上．某市在实施垃圾分类之前，从本市人口数量在两万人左右的240个社区中随机抽取50个社区，对这50个社区某天产生的垃圾量〔单位：吨〕进行了调查，得到如下频数分布表，并将人口数量在两万人左右的社区垃圾数量超过28吨/天确实定为“超标〞社区：
垃圾量







频数
5
6
9
12
8
6
4
通过频数分布表估算出这50个社区这一天垃圾量的平均值 ________〔精确到 〕；假设该市人口数量在两万人左右的社区这一天的垃圾量大致服从正态分布 ，其中 近似为样本平均值 ， 近似为样本方差 ，经计算得 ．请利用正态分布知识估计这240个社区中“超标〞社区的个数________．
参考数据： ； ； .
四、解答题
17.等比数列 的前 项和为 ，给出条件：
① ；② ，且 ．假设___________________，请在这两个条件中选一个填入上面的横线上并解答.
〔1〕求 的值及数列 的通项公式；
〔2〕设 ，求数列 的前 项和 ．
18.在 中，角 的对边分别为 ，： ．

〔1〕求边 的长和三角形 的面积；
〔2〕在边 上取一点D ， 使得 ，求 的值．
19.如图，在圆柱 中，四边形 是其轴截面， 为⊙ 的直径，且 ， ， ．

〔1〕求证： ；
〔2〕假设直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求二面角 平面角的余弦值．
20.为确保我国如期全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标打下了坚实的根底．在产业扶贫政策的大力支持下，某玩具厂对原有的生产线进行技术升级，为了更好地比照升级前和升级后的效果，其中甲生产线继续使用旧的生产模式，乙生产线采用新的生产模式．质检部门随机抽检了甲、乙两条生产线的各100件玩具，在抽取的200件玩具中，根据检测结果将它们分为“A〞、“B〞、“C〞三个等级， 等级都是合格品，C等级是次品，统计结果如表所示：
等级
A
B
C
频数
100
75
25
〔表二〕

合格品
次品
合计
甲
80


乙

5

合计



在相关政策扶持下，确保每件合格品都有对口销售渠道，但从平安起见，所有的次品必须由厂家自行销毁．
附： ，其中 ．












〔1〕请根据所提供的数据，完成上面的 列联表〔表二〕，并判断是否有 的把握认为产品的合格率与技术升级有关？
〔2〕每件玩具的生产本钱为20元， 等级产品的出厂单价分别为m元、40元．假设甲生产线抽检的玩具中有35件为A等级，用样本的频率估计概率，假设进行技术升级后，平均生产一件玩具比技术升级前多盈利12元，那么A等级产品的出产单价为多少元？
21.函数 有两个相异零点 ．
〔1〕求a的取值范围．
〔2〕求证： ．
22.在平面直角坐标系 中， 为坐标原点， ，平行四边形 两条对角线的长度之和等于4．

〔1〕求动点 的轨迹方程；
〔2〕过 作互相垂直的两条直线 、 ， 与动点 的轨迹交于 、 ， 与动点 的轨迹交于点 、 ， 、 的中点分别为 、 ；
①证明：直线 恒过定点，并求出定点坐标．
②求四边形 面积的最小值．

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】 ， ，
因此， .
故答案为：C.

【分析】 可求出集合A，B，然后进行并集的运算即可．
2.【解析】【解答】
其共轭复数为 ，对应点的坐标为 ，位于第三象限.
故答案为：C

【分析】 先利用复数的除法运算求出复数的代数形式，再结合共轭复数的定义以及复数的几何意义分析求解即可．
3.【解析】【解答】由题意知： ，即 .
故答案为：B.

【分析】 先利用指数与对数的互化表示出a，然后利用对数的运算法那么求解即可．
4.【解析】【解答】 ，即 ，
整理得 ， ，
因此， .
故答案为：D.

【分析】 先根据两角和差公式化简原等式可得，从而知tanα的值，再结合二倍角公式、同除余弦可化切的思想，即可得解．
5.【解析】【解答】设等比数列 的公比为 ，由题意可知，对任意的 ， ， ，
由等比中项的性质可得 ，解得 ，
所以， ，整理可得 ，
，解得 ，因此， .
故答案为：A.

【分析】 根据题意，设正项等比数列{an}的公比为q，由等比数列的性质求出，又由a4+a5=24，可得a3q+a3q2=24，变形解可得q的值，求出a1的值，由等比数列的通项公式即可得答案．
6.【解析】【解答】因为
所以
所以
，
当且仅当 ，即 取等号
所以 的最小值为8
故答案为：B

【分析】由， 得到， 那么， 再利用根本不等式求解。
7.【解析】【解答】根据可得所求扇形半径为 ，即圆锥母线长为 ，
设圆锥底面半径为 ，那么 ， ，
圆锥的高为 ，
所以圆锥体积为 ．
故答案为：A．

【分析】 根据斐波那契数的规律，求出下一个圆弧的半径和弧长，进一步求出圆锥的底面半径与高，那么答案可求．
8.【解析】【解答】解：由题意得出甲、乙两位同学选考的总数为 种，
假设相同的科目为4选2的科目，那么有 种；
假设相同的科目为2选1和4选2中的1个，那么有 种，
所以所求概率为 ，
故答案为：C

【分析】 先求出在选考的科目中甲、乙两位同学选考的根本领件总数，再求出其中甲、乙两位同学恰有两科相同包含的根本领件个数，由此能求出在选考的科目中甲、乙两位同学恰有两科相同的概率．
二、多项选择题
9.【解析】【解答】双曲线 关于原点对称，又直线 过原点，所以 关于原点对称，
由 得四边形 为平行四边形，A符合题意；
当 ， 点趋近于右顶点，此时 趋近于平角，因此不可能有 ，B不符合题意．
设 ，那么 ，由 轴知 ， ，
而 ，C符合题意；
中， ，因此 ，D不符合题意；

故答案为：AC．

【分析】 画出图形，利用对称性判断四边形的形状，判断A；利用椭圆的形状，判断角的大小判断B；求出直线的斜率判断C；通过直线与椭圆联立．利用向量的数量积为0，推出直线垂直，判断D；
10.【解析】【解答】 是奇函数，那么 ，又 ， ，
令 得 ，即 ，所以 是周期函数，周期为2，
又 是 上的奇函数，所以 ， ，所以 ， ，
作出 和 的图象，其中 的周期是 ，
如图，由图可知 时，从点 ，10个交点依次为 ，点 是第11个交点， ，

设 点横坐标为 ，显然 ， ， ，因此 ，
所以 ，于是 ， ，即 ，
所以 可取 ， ， 时至少有11个零点，
故答案为：AB．

【分析】由对称性和奇偶性得出函数 是周期函数，作出函数和 的图像，由图像观察得两个函数图像有10个交点时，m的范围。
11.【解析】【解答】令 ，由 ，可得出 ，
作出函数 在区间 上的图象，如以下列图所示：

对于A选项，假设 在 有且仅有4个零点，那么 在 有且仅有2个极小值点，A选项正确；
对于C选项，假设 在 有且仅有4个零点，那么 ，解得 ，C选项正确；
对于B选项，假设 ，那么 ，
所以，函数 在区间 上不单调，B选项错误；
对于D选项，假设 的图象关于 对称，那么 ， .
， ， ， .
当 时， ，当 时， ，
此时，函数 在区间 上单调递减，符合题意，D选项正确.
故答案为：ACD.

【分析】令 ，由 ，可得出 ，作出函数 在区间 上的图象，再利用函数的图像结合函数的零点的定义，从而确定适宜在 上的零点个数，再利用适宜的图像判断出函数在给定区间的单调性，从而得出函数 在 上的极小值点的个数，再结合函数的图像判断出函数的对称性，从而利用正弦型函数的最小正周期公式结合函数的图像求出的取值范围，从而求出的最大值，从而选出结论正确的选项。
12.【解析】【解答】由 得：
令 得，
当x变化时， 变化如下表：
x





0


单调递增
极大值
单调递减
故， 在 上递增，在 上递减， 是极大值也是最大值， 时， 时， ，且 时 ， 时， ， ，
A．
，A不符合题意
B． ，且 在 单调递增
，故：B符合题意
C． 有两个不相等的零点
不妨设
要证： ，即要证： 在 单调递增，∴只需证： 即： 只需证： ……①
令 ，那么
当 时， 在 单调递增
，即： 这与①矛盾，C不符合题意
D．设 ，且 均为正数，那么

且
，D符合题意．
故答案为：BD．
【分析】 利用导数判断出函数f〔x〕的单调性，利用单调性即可判断选项A，利用函数f〔x〕的单调性结合即可判断选项B，利用分析法逐步分析所需要证明的不等式，发现矛盾，即可判断选项C，利用指数与对数的关系，结合对数的运算性质与函数f〔x〕的性质，即可判断选项D．
三、填空题
13.【解析】【解答】 ，那么 为锐角，
所以， ， .
故答案为：7.

【分析】 根据题意，由向量夹角公式求出， 再由同角三角函数的根本关系式计算可得答案．
14.【解析】【解答】取 ，那么 ，可得 ， ，
因此，符合条件的双曲线方程为 .
故答案为： 〔答案不唯一，符合要求就可以〕.

【分析】 判断双曲线的焦点坐标所在轴，排除选项，然后求解离心率即可．
15.【解析】【解答】设三棱锥 的外接球为球 ，过点 作 平面 ，垂足为点 ，那么 为 的中点，
设 ， 为 的外接圆半径，

平面 ， 平面 ， ，
由勾股定理得， ，
设外接球 的半径为 ，那么 ，①
是等边三角形，且 为 的中点，所以， ，
由球的几何性质可得 平面 ， 平面 ， ，
所以， 为二面角 的余角，
又因为二面角 的大小为 ， ，
在 中，由余弦定理得 ，②
因为 为等边 的高，那么 ，
由①②得， ， ，因此，球 的外表积为 .
故答案为： .

【分析】 首先作出球心，然后利用二面角，勾股定理应用求出球的半径，最后利用球的外表积公式求出结果．
16.【解析】【解答】〔1〕 ，
故这50个社区这一天垃圾量的平均值约为22.8吨.
〔2〕因为 近似为样本平均值 ， 近似为样本方差 ， ，
所以一天的垃圾量大致服从正态分布 ，
设社区一天的垃圾量为 ，
那么 ，
，
故这240个社区中“超标〞社区的个数大约为38个，
故答案为：22.8；38.

【分析】 直接由每组数据的中间数乘以频率可得，再由正态分布的概率求得， 乘以240可得这240个社区中“超标〞社区的个数．
四、解答题
17.【解析】【分析】 〔1〕直接利用的递推关系式求出数列的通项公式；
〔2〕进一步利用裂项相消法的应用求出数列的和．
18.【解析】【分析】 〔1〕在△ABC中，由余弦定理可得  ，再由  得解；
〔2〕在△ABC中，由正弦定理可得sinC的值，由b＞c可判断C为锐角，从而知cosC的值，再利用正弦的两角差公式，求得sin∠DAC的值，最后根据同角三角函数的关系，得解．
19.【解析】【分析】〔1〕 连接   ，证明出  平面  ， 可得出 ， 利用等腰三角形三线合一可证得结论成立；
〔2〕 以点  为坐标原点，  、  所在直线分别为  、  轴建立如以下列图所示的空间直角坐标系 ，利用空间向量法结合 直线  与平面  所成角的正弦值为 ，求出a的值，再利用空间向量法可求得二面角  平面角的余弦值 。
20.【解析】【分析】 〔1〕利用独立性检验公式可以直接计算出结果；
〔2〕用样本的频率估计概率，以及题中的条件，即可解出．
21.【解析】【分析】 〔1〕利用导数，求得单调区间，利用最小值小于0，结合f〔e-a〕=e-a＞0，f〔ea〕=ea-2a＞0，求得a的取值范围；
〔2〕要证 ， ， 构造函数 ，确定单调性后证得 ， 这样利用  在  上单调递增 ，要证原不等式只需证 ，即证 ， 构造函数  ，利用导数证明此不等式成立。
22.【解析】【分析】〔1〕 设点 ，   根据题意可得  ， 由椭圆的定义可得动点P的轨迹为椭圆〔左右顶点除外〕，即   ，  ， ， 解得a,b，进而可得答案；
〔2〕①分两种情况当   与  轴重合时，当直线   与  轴重合时， 设直线  的方程为  ，那么直线  的方程为  ， 设  、  ， 将直线   方程于点P的轨迹方程联立，求出点E的坐标，同理求出点F的坐标，求出直线EF的方程，进而可得出直线EF所过定点的坐标； 
②结合韦达定理可得   ，  ， 由弦长公式可得， 再利用根本不等式求得计算四边形  的面积 的最小值 。