2021届山东枣庄高三数学二模试卷及答案

这是一份2021届山东枣庄高三数学二模试卷及答案，共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 高三数学二模试卷
一、单项选择题
1.集合 ， ，那么 〔    〕
A.                                   B.                                   C.                                   D. 
2.命题“ ， 〞的否认为〔    〕
A. ，
B. ，


C. ，
D. ，



3.函数 那么 〔    〕
A.                                          B.                                          C.                                          D. 



4.点 在抛物线 ： 上，那么 的焦点到其准线的距离为〔    〕
A.                                            B.                                            C. 1                                           D. 2



5.大数学家欧拉发现了一个公式： ， 是虚数单位， 为自然对数的底数.此公式被誉为“数学中的天桥〞.根据此公式， 〔    〕〔注：底数是正实数的实数指数幂的运算律适用于复数指数幂的运算〕
A. 1                                          B. -1                                          C. i                                          D. 



6.假设 ，那么 〔    〕
A. 20                                        B. -20                                        C. 15                                        D. -15



7.医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面体分为内、中、外三层.内层为亲肤材质〔普通卫生纱布或无纺布〕，中层为隔离过滤层〔超细聚丙烯纤维熔喷材料层〕，外层为特殊材料抑菌层〔无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层〕.根据国家质量监督检验标准，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率 .假设 ，那么 ， ， .有如下命题：甲： ；乙： ；丙： ；丁：假设生产状态正常，记 表示一天内抽取的50只口罩中过滤率大于 的数量，那么 .其中假命题是〔    〕
A. 甲                                         B. 乙                                         C. 丙                                         D. 丁



8.椭圆 与双曲线 有相同的左焦点 、右焦点 ，点 是两曲线的一个交点，且 .过 作倾斜角为45°的直线交 于 ， 两点〔点 在 轴的上方〕，且 ，那么 的值为〔    〕
A.                                 B.                                 C.                                 D. 



二、多项选择题
9. ， ， ，那么〔    〕
A.                       B.                       C.                       D. 



10.函数 ，那么〔    〕
A. 在 上的最小值是


B. 的最小正周期是


C. 直线 是 图象的对称轴


D. 直线 与 的图象恰有 个公共点



11.列昂纳多·斐波那契〔Leonardo Fibonacci，1170—1250年〕是意大利数学家，1202年斐波那契在其代表作?算盘书?中提出了著名的“兔子问题〞，于是得斐波那契数列，斐波那契数列可以如下递推的方式定义：用 表示斐波那契数列的第 项，那么数列 满足： ， .斐波那契数列在生活中有着广泛的应用，美国13岁男孩Aidan Dwyer观察到树枝分叉的分布模式类似斐波那契数列，因此猜想可按其排列太阳能电池，找到了能够大幅改良太阳能科技的方法，苹果公司的Logo设计，电影?达芬奇密码?等，均有斐波那契数列的影子.以下选项正确的选项是〔    〕
A. 


B. 


C. 


D. 



12.如图，正方体 的棱长为1，点 是 内部(不包括边界)的动点，假设 ，那么线段 长度的可能取值为(    )

A.                                        B.                                        C.                                        D. 



三、填空题
13.某地区中小学生的人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，那么抽取的高中生中近视的人数为________．

14.如图，由四个全等的三角形与中间的一个小正方形 拼成的一个大正方形 中， .设 ，那么 的值为________.

15.写出一个图象关于直线 对称且在 上单调递增的偶函数 ________.
16.2021年11月23日国务院扶贫办确定的全国832个贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大突破、为了使扶贫工作继续推向深入，2021年某原贫困县对家庭状况较困难的农民实行购置农资优惠政策.
⑴假设购置农资不超过2000元，那么不给予优惠；
⑵假设购置农资超过2000元但不超过5000元，那么按原价给予9折优惠；
⑶假设购置农资超过5000元，不超过5000元的局部按原价给予9折优惠，超过5000元的局部按原价给予7折优惠.
该县家境较困难的一户农民预购置一批农资，有如下两种方案：
方案一：分两次付款购置，实际付款分别为3150元和4850元；
方案二：一次性付款购置.
假设采取方案二购置这批农资，那么比方案一节省________元.
四、解答题
17.数列 中， ，且 .记 ，求证：
〔1〕是等比数列；
〔2〕的前 项和 满足： .
18.假设 的局部图象如下列图， ， .

〔1〕求 的解析式；
〔2〕在锐角 中，假设 ， ，求 ，并证明 .
19.如图，正方体 的棱长为1，点 在棱 上，过 ， ， 三点的正方体的截面 与直线 交于点 .

〔1〕找到点 的位置，作出截面 〔保存作图痕迹〕，并说明理由；
〔2〕 ，求 将正方体分割所成的上半局部的体积 与下半局部的体积 之比.
20.天问一号火星探测器于2021年2月10日成功被火星捕获，实现了中国在深空探测领域的技术跨越.为提升探测器健康运转的管理水平，西安卫星测控中心组织青年科技人员进行探测器遥控技能知识竞赛，某青年科技人员甲是否做对每个题目相互独立，做对 ， ， 三道题目的概率以及做对时获得相应的奖金如表所示.
题目



做对的概率



获得的奖金/元
1000
2000
3000
规那么如下：按照 ， ， 的顺序做题，只有做对当前题目才有资格做下一题.
〔1〕求甲获得的奖金 的分布列及均值；
〔2〕如果改变做题的顺序，获得奖金的均值是否相同？如果不同，你认为哪个顺序获得奖金的均值最大？〔不需要具体计算过程，只需给出判断〕
21.动点 与两个定点 ， 的距离的比为 ，动点 的轨迹为曲线 .
〔1〕求 的轨迹方程，并说明其形状；
〔2〕过直线 上的动点 分别作 的两条切线 、 〔 、 为切点〕， 为弦 的中点，直线 ： 分别与 轴、 轴交于点 、 ，求 的面积 的取值范围.
22.函数 ，且 .
〔1〕求实数 的值，并判断 在 上的单调性；.
〔2〕对确定的 ，求 在 上的零点个数.

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】因为 ， ，
所以 ，
故答案为：C

【分析】 可求出集合A,B，然后进行交集的运算即可.
2.【解析】【解答】命题“ ， 〞的否认为“ ， 〞.
故答案为：C.

【分析】 根据含有量词的命题的否认即可得到结论.
3.【解析】【解答】当 时，因为 ，所以 ，所以 是周期为 的函数，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
故答案为：A.

【分析】 推导出， 由此能求出结果.
4.【解析】【解答】由点 在抛物线上，易知 ， ，故焦点到其准线的距离为 .
故答案为：B.

【分析】 利用点在抛物线上，求解p，即可得到结果.
5.【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
故答案为：D.

【分析】根据即可求出。
6.【解析】【解答】因为 ，所以展开式的通项为 ，
令 ，那么 ，所以 ，
故答案为：B.

【分析】 由题意利用二项展开式的通项公式，求得 。
7.【解析】【解答】由题意可知，正态分布的 ；
甲．因为 ，所以 ，故正确；
乙．因为 ，所以 ，故正确；
丙．因为 ，且 ，
所以 ，故正确；
丁．因为一只口罩过滤率小于等于 的概率为 ，
又因为 ，故错误；
故答案为：D.

【分析】 结合正态分布曲线的特点进行分析计算即可解决此题.
8.【解析】【解答】不妨设 为椭圆与双曲线在第一象限内的交点，椭圆方程为 ， ，
由双曲线定义可知： ，又因为 ，所以 ， ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，所以椭圆方程为 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，解得 ，
故答案为：A.

【分析】根据椭圆和双曲线的性质进行运算即可求出。
二、多项选择题
9.【解析】【解答】因为 ，所以 ，所以 ；
A．因为 ，取等号时 满足，A不符合题意；
B．因为 ，B符合题意；
C．因为 ，取等号时 满足，C符合题意；
D．因为 ，所以要证 ，只需证 ，只需证 ，
即证 ，即证 ，即证 ，
显然 成立，且 时取等号，D符合题意；
故答案为：BCD.

【分析】根据根本不等式的性质分别判断即可。
10.【解析】【解答】对于A选项，当 时，
，
且 ，那么当 时，函数 取最小值，即 ，
A选项正确；
对于B选项， ， ， ，那么 ，
故函数 的最小正周期不是 ，B选项错误；
对于C选项，假设 为奇数，那么 ；
假设 为偶数，那么 .
由上可知，当 时， ，
所以，直线 是 图象的对称轴，C选项正确；
对于D选项， ，
所以， 为函数 的周期.
当 时， ；
当 时， .
综上可知， .
当 时， ， ，即函数 与 在 上的图象无交点；
当 时， ， ，所以，函数 与 在 上的图象也无交点.
作出函数 与函数 在 上的图象如以下列图所示：

由图象可知，函数 与函数 在 上的图象有两个交点，D选项正确.
故答案为：ACD.

【分析】根据正弦函数的周期性、对称性、最值逐项进行判断即可得出答案。
11.【解析】【解答】对于A， ，
A不符合题意.
对于B，由 ， ， ， ，
依次相加得， ，
故 ，B符合题意.
对于C，
，C不符合题意；
对于D，由 ，
那么
，
D符合题意；
故答案为：BD.

【分析】 由题意可写出前9个数，可以判断AB选项，通过代入可知C错，可得答案.
12.【解析】【解答】在正方体AC1中，连接AC，A1C1 ， ，如图，

BD⊥AC，BD⊥AA1 ， 那么BD⊥平面ACC1A1 ，
因AP⊥BD，所以 平面ACC1A1 ， 又点P是△B1CD1内部(不包括边界)的动点，
连接CO，平面B1CD1 平面ACC1A1=CO，所以点P在线段CO上(不含点C，O)，
连接AO，在等腰△OAC中， ，而底边AC上的高为1，
腰OC上的高 ，从而有 ，
都符合， 不符合.
故答案为：ABC

【分析】 由结合直线与平面垂直的判定与性质可得P的轨迹，求出AO1与AC的长,再求出A到O1C的距离，结合选项得答案.
三、填空题
13.【解析】【解答】分层抽样抽取的比例为2%，高中生抽取的学生数为40，抽取的高中生近视人数为40×50%=20，故填20．
【分析】 先计算出高中生人数，再根据近视率求得结果．
14.【解析】【解答】过点 作 ，垂足为 ，根据正方形的性质，可知 ，因此 ，

由题意可知： ，所以 ，由题意可知： 是小正方形，
因此可知： 是直角三角形，设大正方形 的边长为 ， ，
因为 ，所以 ，由勾股定理可知：
，
由 ，
由 ，
因为 ，所以 ，
故答案为：

【分析】过点 作 ，垂足为 ，根据平面向量根本定理，结合锐角三角函数的定义进行求解即可。
15.【解析】【解答】如 ， ，即 为偶函数
由 ，当 时， 关于直线 对称
由 得 ，那么由余弦函数的性质可知，函数 在 上单调递增.
故答案为：

【分析】 结合根本初等函数的性质及余弦函数的性质可求.
16.【解析】【解答】因为 且 ，所以实际付款3150元对应的原价为3500元，
又因为 ，所以实际付款4850元对应的原价大于5000元，
设实际付款4850元对应的原价为 元，
所以 ，解得 ，
所以两次付款的原价之和为： 元，
假设按方案二付款，那么实际付款为： 元，
所以节省的钱为： 元，
故答案为：700.

【分析】按照方案一方案二算出实际付款数，然后进行比较得出答案。
四、解答题
17.【解析】【分析】〔1〕 由  ，得 ，即可得出  是等比数列 ；
〔2〕 由〔1〕知， ， ，由   进而可得 。
18.【解析】【分析】〔1〕 由 ， 结合  ， 可求得 ， 由五点作图法即可求得  ， 从而可得  的解析式 ；
〔2〕由 ， 利用同角三角函数的根本关系可求得 ，利用二倍角公式即可求得 ，由  利用正弦函数在   的单调性即可证得 .
 
 
19.【解析】【分析】 〔1〕在正方形  内过  作  ，且交棱  于点  ，连接  ，  ，那么四边形  就是要作的截面  ，由平面与平面平行的性质证明；
〔2〕求出两个四棱锥   与四棱锥  的组合体，作和可得  ，由正方体的体积减去  可得  ，作比得答案.
20.【解析】【分析】〔1〕 确定 的可能取值，分别求出对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解即可；
〔2〕利用期望值原那么进行分析判断即可.
21.【解析】【分析】 〔1〕设出点M的坐标，利用直接法建立关系式，化简即可求解；
〔2〕写出以DP为直径的圆的方程，然后利用 Q、R 是两个圆的交点得到  所在直线方程，联立直线  与圆C的方程，利用韦达定理求出点N的纵坐标，从而得出点N在以OD为直径的圆上，求出该圆的圆心以及半径，利用点，直线与圆的位置关系即可求解.
 
 
22.【解析】【分析】 〔1〕对 求导，由  ，即可求出a，利用导数与函数单调性的关系，即可判断  在   上的单调性；
〔2〕对求导，利用导数与函数单调性的关系，判断的单调性，由零点存在定理即可判断零点个数.