山东省青岛市2020年高三数学二模试卷及答案

这是一份山东省青岛市2020年高三数学二模试卷及答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高三数学二模试卷
一、单选题
1.已知i是虚数单位，复数 ，则 的共轭复数 的虚部为（    ）
A. -i                                           B. 1                                           C. i                                           D. -1
2.已知集合 ，集合 ，则 （    ）
A.                                 B.                                 C.                                 D. 
3.已知某市居民在2019年用于手机支付的个人消费额 （单位：元）服从正态分布 ，则该市某居民手机支付的消费额在 内的概率为（    ）
附：随机变量 服从正态分布 ，则 ， ， ．
A. 0.9759                                 B. 0.84                                 C. 0.8185                                 D. 0.4772
4.设 ， ， ，则a，b，c的大小关系正确的是（    ）
A.                            B.                            C.                            D. 
5.已知函数 （ 为自然对数的底数），若 的零点为 ，极值点为 ，则 （    ）
A. -1                                           B. 0                                           C. 1                                           D. 2
6.已知四棱锥 的所有棱长均相等，点E，F分别在线段 ， 上，且 底面 ，则异面直线 与 所成角的大小为（    ）
A.                                     B.                                     C.                                     D. 
7.在同一直角坐标系下，已知双曲线 的离心率为 ，双曲线C的一个焦点到一条渐近线的距离为2，函数 的图象向右平移 单位后得到曲线D，点A，B分别在双曲线C的下支和曲线D上，则线段 长度的最小值为（    ）
A. 2                                         B.                                          C.                                          D. 1
8.某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型”､“升级题型”､“创新题型”三类题型，每类题型均指定一道题让参赛者回答．已知某位参赛者答对每道题的概率均为 ，且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率（    ）
A.                                   B.                                   C.                                   D. 
二、多选题
9.已知向量 ， ， ，设 的夹角为 ，则（    ）
A.                               B.                               C.                               D. 
10.已知函数 ， ，则（    ）
A.                                                    B. 在区间 上只有1个零点
C. 的最小正周期为                                       D. 为 图象的一条对称轴
11.已知数列 的前n项和为 ， ， ，数列 的前 项和为 ， ，则下列选项正确的为（    ）
A. 数列 是等差数列                                     B. 数列 是等比数列
C. 数列 的通项公式为                      D. 
12.已知四棱台 的上下底面均为正方形，其中 ， ， ，则下述正确的是（    ）．

A. 该四棱台的高为                                             B. 
C. 该四棱台的表面积为26                                       D. 该四棱台外接球的表面积为
三、填空题
13.若 ， 恒成立，则实数a的取值范围为________．
14.已知函数 的定义域为R， 为奇函数， ，则 ________．
15.已知 ，二项式 展开式中含有 项的系数不大于240，记a的取值集合为A，则由集合A中元素构成的无重复数字的三位数共有________个．
16.2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图： 是圆Q的圆心，圆Q过坐标原点O；点L、S均在x轴上，圆L与圆S的半径都等于2，圆S､圆L均与圆Q外切．已知直线 过点O．

⑴若直线l与圆L、圆S均相切，则l截圆Q所得弦长为________；
⑵若直线l截圆L、圆S、圆Q所得弦长均等于d，则 ________．
四、解答题
17.设等差数列 的前 项和为 ，等比数列 的前 项和为 ．已知 ， ， ， ， ．
（1）求 ， 的通项公式；
（2）是否存在正整数 ，使得 且 ？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
18.在 中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边， ．
（1）求角 ；
（2）若 ， 为 中点，在下列两个条件中任选一个，求 的长度．
条件①： 的面积 且 ；
条件②： ．
19.在如图所示的四棱锥 中，四边形 为平行四边形， 为边长为2的等边三角形， ，点 ，O分别为 ， 的中点， 是异面直线 和 的公垂线．

（1）证明：平面 平面 ；
（2）记 的重心为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
20.某网络购物平台每年11月11日举行“双十一”购物节，当天有多项优惠活动，深受广大消费者喜爱｡
（1）已知该网络购物平台近5年“双十”购物节当天成交额如下表：
年份
2015
2016
2017
2018
2019
成交额（百亿元）
9
12
17
21
27
求成交额 （百亿元）与时间变量 （记2015年为 ，2016年为 ，……依次类推）的线性回归方程，并预测2020年该平台“双十一”购物节当天的成交额（百亿元）；
（2）在2020年“双十一”购物节前，某同学的爸爸、妈妈计划在该网络购物平台．上分别参加 、 两店各一个订单的“秒杀”抢购，若该同学的爸爸、妈妈在 、两店订单“秒杀”成功的概率分别为 、 ，记该同学的爸爸和妈妈抢购到的订单总数量为 ．
（i）求 的分布列及 ；
（ii）已知每个订单由 件商品W构成，记该同学的爸爸和妈妈抢购到的商品 总数量为 ，假设 ， ，求 取最大值时正整数k的值．
附：回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ， ．
21.已知 为坐标原点，椭圆 的左，右焦点分别为 ， ， 点又恰为抛物线 的焦点，以 为直径的圆与椭圆 仅有两个公共点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l与D相交于A，B两点，记点A，B到直线 的距离分别为 ， ， ．直线l与C相交于E，F两点，记 ， 的面积分别为 ， ．
（ⅰ）证明： 的周长为定值；
（ⅱ）求 的最大值．
22.已知函数 的图象在点 处的切线方程为 ．
（1）当 时，证明： ；
（2）设函数 ，当 时，证明： ；
（3）若数列 满足： ， ， ．证明： ．

答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 B
【解析】【解答】解： ，
则 的共轭复数 的虚部为1．
故答案为：B．
【分析】利用复数的运算法则、共轭复数与虚部的定义即可得出．
2.【答案】 A
【解析】【解答】解： 集合 ，
集合 ，
．
故答案为：A．
【分析】先求出集合A，集合B，利用交集的运算即可求出 .
3.【答案】 C
【解析】【解答】解： 服从正态分布 ， ，
， ，
则 ．
故答案为：C．
【分析】由已知可得 ， ，然后结合 与 原则求解．
4.【答案】 A
【解析】【解答】解： ， ， ，
则 ，
故答案为：A．
【分析】把它们和0，1比较，即可得出结果．
5.【答案】 C
【解析】【解答】解： ，
当 时， ，
即 ，解得 ；
当 时， 恒成立，
的零点为 ．
又当 时， 为增函数，
故在 ， 上无极值点；
当 时， ， ，
当 时， ，当 时， ，
时， 取到极小值，
即 的极值点 ，
．
故答案为：C．
【分析】令 可求得其零点，即 的值，再利用导数可求得其极值点，即 的值，从而可得答案．
6.【答案】 D
【解析】【解答】解：连接 ， ，设 ，

则 平面 ，平面 平面 ，
由 底面 ，可得 ，
由四边形 为菱形，可得 ，
由 为 的中点， ，可得 ，
又 ， 平面 ， 平面 ，
可得 平面 ，
又 平面 ，则 ，
又 ，可得 ，
即异面直线 与 所成角的大小为 ．
故答案为：D．
【分析】连接 ， ，设 ，由线面平行的性质定理推得 ，运用线面垂直的判定定理可得 平面 ，再由线面垂直的性质定理和平行线的性质，即可得到所求角．
7.【答案】 D
【解析】【解答】解：因为离心率为 ，所以该双曲线是等轴双曲线，
可设C方程为
所以 ，故焦点为 ，渐近线 ，
取 到 的距离为2，
得 ，解得 ．
所以双曲线方程为 ．
函数 的图象向右平移 单位后得到曲线 的方程为：
．
同一坐标系做出曲线 、 的图象：

由图可知，当 点为 与 轴的交点 ，
且点为双曲线的下顶点 时， 最小为1．
故答案为：D．
【分析】显然双曲线是等轴双曲线，结合焦点到渐近线的距离求出系数a，b，再画出曲线D的图象和双曲线的图象，观察图象可得解．
8.【答案】 A
【解析】【解答】解：由已知各次答对与否相互独立，
则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率：
．
故答案为：A．
【分析】利用 次独立重复试验中事件A恰好发生 次概率计算公式，即可求出该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率．
二、多选题
9.【答案】 B,D
【解析】【解答】根据题意， ， ，
则 ， ，
依次分析选项：
对于 ， ， ，则 不成立， 错误；
对于 ， ， ，则 ，即 ， 正确；
对于 ， ， ， 不成立， 错误；
对于 ， ， ，则 ， ， ，
则 ，则 ， 正确；
故答案为：BD．
【分析】根据题意，求出 的坐标，据此分析选项，综合即可得答案．
10.【答案】 A,C,D
【解析】【解答】解：已知函数 ， ，
则 、 正确，
、当 ， ，即 ， ， 在区间 上只有2个零点，
则 在区间 上只有1个零点错误，
、 的最小正周期为 ，正确
、当 时，函数 ， ，
所以 为 图象的一条对称轴，正确．
故答案为：ACD．
【分析】利用二倍角公式和三角函数的性质对每一个选项进行判断即可．
11.【答案】 B,C,D
【解析】【解答】解：由 ，
即为 ，
可化为 ，
由 ，可得数列 是首项为2，公比为2的等比数列，
则 ，即 ，
又 ，
可得 ，
故 错误， ， ， 正确．
故答案为：BCD．
【分析】由数列的递推式可得 ，判断数列 是首项为2，公比为2的等比数列，运用等比数列的定义和通项公式可得 ，得到 ，由数列的裂项相消求和即可得 ．
12.【答案】 A,D
【解析】【解答】解：由棱台性质，画出切割前的四棱锥，

由于 ， ，可知△ 与 相似比为 ；
则 ， ，则 ，则 ，该四棱台的高为 ， 对；
因为 ，则 与 夹角为 ，不垂直， 错；
该四棱台的表面积为 ， 错；
由于上下底面都是正方形，则外接球的球心在 上，
在平面 上中，由于 ， ，
则 ，即点 到点 与点 的距离相等，
则 ，该四棱台外接球的表面积为 ， 对，
故答案为：AD．
【分析】根据棱台的性质，补全为四棱锥，根据题中所给的选项即可进行判断．
三、填空题
13.【答案】
【解析】【解答】解：因为 ， ，
当且仅当 ，即 时取等号，
又 ， 恒成立，.
故答案为： .
【分析】直接根据基本不等式求解最值即可求得结论．
14.【答案】 -1
【解析】【解答】解：根据题意，函数 为奇函数，
则函数 的图象关于点 对称，
则有 ，
又由 ，则 ；
故答案为：-1．
【分析】根据题意，分析可得函数 的图象关于点 对称，据此可得 ，即可得答案．
15.【答案】 18
【解析】【解答】解：二项式 展开式的通项公式为 ，
令 ，求得 ，可得展开式中含有 项的系数为 ．
再根据含有 项的系数不大于240，可得 ，求得 ．
再根据 ，可得 ，1，2，3，即 ，1，2，3 ，
则由集合A中元素构成的无重复数字的三位数共 ，
故答案为：18．
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，根据题意求得 的值，可得A，再利用排列组合的知识求出结果．
16.【答案】 3；
【解析】【解答】解：（1）根据条件得到两圆的圆心坐标分别为 ， ，
设公切线方程为 且 存在，
则 ，解得 ， ，
故公切线方程为 ，则 到直线 的距离 ，
故 截圆 的弦长 ；
⑵设方程为 且k存在，则三个圆心到该直线的距离分别为：
， ， ，
则 ，
即有 ，① ，②
解①得 ，代入②得 ，
则 ，即 ，
故答案为：3； ．
【分析】（1）设出公切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径列出方程求解即可；
（2）设出方程，分别表示出圆心到直线的距离 ， ， ，结合弦长公式求得k，m，即可得结果.
四、解答题
17.【答案】 （1）解：设数列 的为 ，在数列 中，
又因为 ，所以
从而 ，所以
由 得：
因为 ，设数列 的公比为
所以 ，所以

（2）解：由（1）知：
所以 ，整理得 ，解得
又因为
所以 ，即 ，解得
所以
【解析】【分析】（1）设等差数列 的公差为d，在等差数列 中，由已知求解公差d，进一步求得首项，可得等差数列的通项公式；由 求得 ，结合已知求得 ，可得等比数列的公比，即可求出等比数列的通项公式；
（2）由（1）知 ，由 解得 范围，再由 ，即可解得 范围.
18.【答案】 （1）解：在 中，由余弦定理知： ，
所以 ，所以
又由正弦定理知： ，得
所以
即：
所以
因为 ，所以 ，所以
又因为 ，所以

（2）解：选择条件②：
因为 ，所以
因为
由正弦定理知： ，所以
在 中，由余弦定理知：
解得：
【解析】【分析】（1） 由已知利用余弦定理可得 ，化为 ，再利用正弦定理、和差公式，即可得出角 ；
（2）选择条件②， ，可得 ，利用诱导公式可得 ，结合正弦定理可得 ，在 中，由余弦定理即可求出 ．
19.【答案】 （1）解：因为 为 的中点，所以在等边 中，
又因为 是异面直线 和 的公垂线，所以
又因为 ， 平面 ，所以 平面
因为 平面 ，所以平面 平面

（2）解：因为F、O为中点，所以 ，又因为 是异面直线 和 的公垂线，
所以 ， ，所以 为等腰直角三角形
连接 ， ，
因为 ， 平面 ，平面 平面 且平面 平面
所以 平面
因此，以O为原点，分别以 、 、 所在的直线为x、y、z轴建系如图所示：

则 ， ， ，
因为四边形 为平行四边形，设
因为 ，所以
所以
设面 的一个法向量为
，
由
令 ，则 ， ，所以
因为 ， ， ，
所以 的重心为 的坐标为 ，
设直线 与平面 所成角为 ，则

【解析】【分析】（1）利用等边三角形的性质可得 ，根据 是异面直线 与 的公垂线，可得 ，可证 平面 ，进而证明平面 平面 ；
（2）由已知可证 ， ， ， 可得 平面 ，建立空间直角坐标系，求出平面 的一个法向量，由C，E，D的坐标可得 的重心G，利用  即可得结果.
20.【答案】 （1）解：由已知可得：
，


所以
所以
所以
当 时， （百亿元）
所以估计2020年该平台“双十一”购物节当天的成交额为30.7（百亿元）

（2）解：（ⅰ）由题知，X的可能取值为：0，1，2



所以 的分布列为：
X
0
1
2
P




（ⅱ）因为
所以
令 ，设 ，则
因为 ，且
所以，当 时， ，所以 在区间 上单调递增；
当 时， ，所以 在区间 上单调递减；
所以，当 即 时， （百亿元）
所以 取最大值时 的值为3
【解析】【分析】（1）计算 、 ，求出系数 和a，写出线性回归方程，利用方程计算 时 的值即可；
（2） （ⅰ） 由题意知随机变量X的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值；
（ⅱ） 根据题意求出 的解析式，利用换元法和求导法计算 取最大值时正整数 的值.
21.【答案】 （1）解：因为 为抛物线 的焦点，故
所以
又因为以 为直径的圆与椭圆 仅有两个公共点知：
所以 ，
所以椭圆 的标准方程为：

（2）解：（ⅰ）由题知，因为 为抛物线D的准线
由抛物线的定义知：
又因为 ，等号当仅当 ， ， 三点共线时成立
所以直线 过定点
根据椭圆定义得：

（ⅱ）若直线 的斜率不存在，则直线 的方程为
因为 ， ，所以
若直线 的斜率存在，则可设直线 ，设 ，
由 得，
所以 ，
设 ， ，
由 得，
则 ，
所以
则
综上知： 的最大值等于
【解析】【分析】（1）由已知可得 ，又圆与椭圆 仅有两个公共点，知 ，从而求得 与 的值，即可求出椭圆C的标准方程；
（2） （ⅰ） 由抛物线的定义知， ，结合 ，当 ， ， 三点共线时成立，根据椭圆定义即可证明 为定值；
（ⅱ） 若直线 的斜率不存在，则直线 的方程为 ，求出 与 可得 ；若直线 的斜率存在，设直线方程，并与抛物线和椭圆方程联立，利用弦长公式求得 ， ，由 ，即可求出 的最大值．
22.【答案】 （1）解：由题知： ，
所以 ，
所以 ，令 ，则 ，
当 时， ， 在区间 上单调递增；
当 时， ， 在区间 上单调递减；
所以 ，即
所以 在区间 上单调递减，
所以
又因为 ，所以 ，
所以
综上知：当 时，

（2）解：由题意，因为
所以
由（1）知： 在区间 上单调递减，所以 ，
又因为当 时，
所以 ， 在区间 上单调递增，所以
由（1）可知： ，又 ，∴
综上可知：

（3）解：由（1）（2）知：
若 ， ，若 ，
因为 ，∴ ， ，
所以 ， ，
当 时，

当 时，
所以 ，从而
【解析】【分析】（1）由已知结合导数的几何意义可求a，然后结合导数可求函数的单调性，进而可求 的范围；
（2）先对 求导，结合导数及（1）的结论可求函数 的范围，即可证明结论；
（3）结合（1）（2）的结论，利用对数的运算性质即可只能结论．