2021届山东省济南市高三数学二模试卷及答案

这是一份2021届山东省济南市高三数学二模试卷及答案，共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 高三数学二模试卷
一、单项选择题
1.设复数 〔其中 为虚数单位〕，那么复数 在复平面内对应的点位于〔　　〕
A. 第一象限                           B. 第二象限                           C. 第三象限                           D. 第四象限
2.的展开式中，含 项的系数为〔    〕
A. 4                                          B. 6                                          C. 10                                          D. 15
3.中，“ 〞是“ 〞的〔    〕
A. 充要条件             B. 充分不必要条件             C. 必要不充分条件             D. 既不充分也不必要条件
4.第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年在北京举办．为了解某城市居民对冰雪运动的关注情况，随机抽取了该市100人进行调查统计，得到如下2×2列联表．

男
女
合计
关注冰雪运动
35
25
60
不关注冰雪运动
15
25
40
合计
50
50
100
根据列联表可知〔    〕
参考公式： ，其中 ．
附表：
P〔K2≥k0〕




k0




A. 该市女性居民中大约有5%的人关注冰雪运动
B. 该市男性届民中大约有95%的人关注冰雪运动
C. 有95%的把握认为该市居民是否关注冰雪运动与性别有关
D. 有99%的把握认为该市居民是否关注冰雪运动与性别有关
5.将函数 的图象向右平移 个单位后，得到函数 的图象，那么以下关于 的说法正确的选项是〔    〕
A. 最小正周期为                                                   B. 最小值为-1
C. 图象关于点 中心对称                              D. 图象关于直线 对称
6.抛物线 ，过焦点 的直线与抛物线交于A，B两点〔点A在第一象限〕．假设直线AB的斜率为 ，点A的纵坐标为 ，那么 的值为〔    〕
A.                                            B.                                            C. 1                                           D. 2
7.苏格兰数学家纳皮尔创造了对数表，这一创造为当时天文学家处理“大数运算〞提供了巨大的便利．正整数N的31次方是一个35位数，那么由下面的对数表，可得N的值为〔    〕
M
2
3
6
7
8
9
11
12
13
14
15
16
17
lgM













A. 12                                         B. 13                                         C. 14                                         D. 15
8.正四面体 的棱长为2，平面 与棱AB、CD均平行，那么 截此正四面体所得截面面积的最大值为〔    〕
A. 1                                         B.                                          C.                                          D. 2
二、多项选择题
9.图中阴影局部用集合符号可以表示为〔    〕

A.                B.                C.                D. 
10.函数 ，那么以下说法正确的选项是〔    〕
A. 为奇函数        B. 为减函数        C. 有且只有一个零点        D. 的值域为
11.数列 中， ， ， ，那么以下说法正确的选项是〔    〕
A.                 B. 是等比数列                C.                 D. 
12. ， 分别为双曲线 的左、右焦点，过 且倾斜角为 的直线与双曲线的右支交于 ， 两点，记 的内切圆 的半径为 ， 的内切圆 的半径为 ，圆 的面积为 ，圆 的面积为 ，那么〔    〕
A. 的取值范围是                                     B. 直线 与 轴垂直
C. 假设 ，那么                                  D. 的取值范围是
三、填空题
13.平面向量 ， ，满足 ， ，那么 的值为________．
14.习近平总书记在党史学习教育发动大会上强调：“回望过往的奋斗路，眺望前方的奋进路，必须把党的历史学习好、总结好，把党的成功经验传承好、发扬好．〞某党小组为响应习总书记号召，重温百年奋斗的恢弘史诗，以信仰之光照亮前行之路，组织开展党史学习教育知识竞赛活动，其中7名党员在这次活动中的成绩统计如下列图．那么这7个成绩的中位数所对应的党员是________．

15.一个圆锥的侧面积是底面面积的2倍，那么该圆锥的母线与其底面所成的角的大小为________．
16.函数 ，假设关于 的不等式 恒成立，那么实数a的取值范围为________．
四、解答题
17.在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 恰好满足以下四个条件中的三个：① ；② ；③ ；④ ．
〔1〕请指出这三个条件〔不必说明理由〕；
〔2〕求边 ．
18.等差数列 的前 项和为 ，且满足 ， ．
〔1〕求 的通项公式；
〔2〕假设 ，求数列 的前 项和 ．
19.如图1，在等腰梯形 中， 为 的中点， ，将 ， 分别沿 ， 折起，使平面 平面 ，平面 平面 ，得到图2．

〔1〕证明： ；
〔2〕记平面 与平面 的交线为 ，求二面角 的大小．
20.函数 ．
〔1〕证明： 单调递增且有唯一零点；
〔2〕 单调递增且有唯一零点，判断 的零点个数．
21.椭圆 ： 〔 〕的离心率为 ，且经过点 ．

〔1〕求椭圆 的方程；
〔2〕过点 的直线与椭圆 相交于A， 两点，直线 ， 分别交 轴于 ， 两点，点 ，假设 ， ，求证： 为定值．
22.某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由 个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为 ，各元件之间相互独立．当控制系统有不少于 个元件正常工作时，设备正常运行，否那么设备停止运行，记设备正常运行的概率为 〔例如： 表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率； 表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率〕．
〔1〕假设每个元件正常工作的概率 ．
〔i〕当 时，求控制系统中正常工作的元件个数 的分布列和期望；
〔ii〕计算 ．
〔2〕设备升级前，单位时间的产量为 件，每件产品的利润为1元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的4倍，且出现了髙端产品，每件产品成为高端产品的概率为 ，每件髙端产品的利润是2元．请用 表示出设备升级后单位时间内的利润 〔单位：元〕，在确保控制系统中元件总数为奇数的前提下，分析该设备能否通过增加控制系统中元件的个数来提高利润．

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】 ，对应的点为〔1,1〕，在第一象限.
故答案为：A.

【分析】根据题意首先由复数代数形式的运算性质整理再结合复数代数形式的概念即可得出答案。
2.【解析】【解答】 的展开式通项为 ，
令 ，解得 ，
因此，展开式中含 项的系数为 .
故答案为：B.

【分析】由条件求出二项式的通项公式再由令 求出r的值，再把结果代入到通项公式计算出结果即可。
3.【解析】【解答】在 中，假设 ，那么 或 ，
因为 Ý ，因此，“ 〞是“ 〞的必要不充分条件.
故答案为：C.

【分析】由特殊角的三角函数值结合充分和必要条件的定义即可得出答案。
4.【解析】【解答】由2×2列联表中的数据可得 ，
因此，有95%的把握认为该市居民是否关注冰雪运动与性别有关.
故答案为：C.

【分析】根据题意把数值代入到观测值公式计算出结果，再与标准值进行比较即可得出答案。
5.【解析】【解答】解：因为 ，
所以 ，
所以 的最小正周期为 ，所以A不符合题意，
最大值为2，最小值为-2，所以B不符合题意，
因为 ，所以图象不关于点 中心对称，所以C不符合题意，
因为 ，所以图象关于直线 对称，所以D符合题意，
故答案为：D

【分析】首先由两角和的正弦公式整理得到函数的解析式，再由正弦函数的周期公式以及图象和性质对选项逐一判断即可得出答案。
6.【解析】【解答】解：由题意得，抛物线 焦点在 轴上，准线方程为 ，
设 ，那么 ，设直线AB的倾斜角为 ，那么 ，
因为 ，所以
所以 ，
所以 ，解得 ，
故答案为：C

【分析】由条件结合抛物线的性质以及定义即可得出， 再由题意结合斜率与倾斜角的关系求出直线的倾斜角，从而得出， 进而求出P的值。
7.【解析】【解答】因为正整数N的31次方是一个35位数，
所以 ，
那么 ，
即 ，
所以 ，
故答案为：B

【分析】 根据题中给出的例子，结合对数表，求解即可得到答案.
8.【解析】【解答】取 的中点 ，连接 、 ，

因为 为等边三角形， 为 的中点，所以， ，同理可得 ，
， 平面 ， 平面 ， .
设平面 分别交 、 、 、 于 、 、 、 ，连接 、 、 、 ，
平面 ， 平面 ，平面 平面 ， ，
同理可证 ， ，同理可证 ，
所以，四边形 为平行四边形，
， ，那么平行四边形 为矩形，
设 ，那么 ，
因为 ，那么 ， ，同理可得 ，
所以，矩形 的面积为 ，
当且仅当 时，等号成立，因此，截面面积的最大值为1.
故答案为：A.

【分析】根据题意由条件作出辅助线再由中点的性质得出线线平行，由此得出四边形 为平行四边形，同理得出平行四边形 为矩形，设出结合三角形中的几何关系以及面积公式整理得出关于x的代数式，利用根本不等式即可求出最大值即可。
二、多项选择题
9.【解析】【解答】解：由图可知，阴影局部是集合B与集合C的并集，再由集合A求交集，或是集A与B的交集并上集合A与C的交集，
所以阴影局部用集合符号可以表示为 或 ，
故答案为：AD

【分析】由的集合的韦恩图结合集合的交、并、补的定义即可得出答案。
10.【解析】【解答】 , ,
,
故 为奇函数，
又 ，
在R上单调递增，
， ， ，
， ，即函数值域为
令 ，即 ，解得 ，故函数有且只有一个零点0.
综上可知，AC符合题意，BD不符合题意.
故答案为：AC

【分析】利用函数奇偶性的定义即可得出函数为奇函数，再由函数单调性的定义得出上的单调性，再利用函数的单调性即可得出不等式结合指数函数的性质即可求出， 构造函数求解出x的值再结合零点的定义对选项逐一判断即可得出答案。
11.【解析】【解答】因为 ， ，
所以 ，
由 可得 ，
所以 ，
所以 ， 分别是以2,1为首项，公比为2的等比数列，
所以 ，
所以 ， ，
综上可知，ABC符合题意，D不符合题意.
故答案为：ABC

【分析】根据题意首先整理的数列的递推公式，由此得出数列为等比数列从而得出都是等比数列，结合等比数列的通项公式整理对选项逐一判断即可得出答案。
12.【解析】【解答】设 与圆的切点分别为 ,如图，

易知， 横坐标相等，
根据题意得
由双曲线定义知 ，即 ，
可得 ,
设 ，那么 ，解得 ，
同理可得 的横坐标也为 ，
所以 轴，B符合题意；
双曲线 的渐近线方程为 ，其倾斜角分别为 ，
因为过 且倾斜角为 的直线与双曲线的右支交于 ， 两点，
所以 的取值范围是 ，A不符合题意；
连接 ,由切线的性质可知 ,
所以 ,
,
即 ，假设 ，解得 ，
轴，
， , , C符合题意；
对于D， ， ， ,
，又 ， ，

的取值范围是 ，D符合题意.
故答案为：BCD

【分析】首先根据作出图象再结合双曲线的性质以及定义整理得出， 设出圆的圆心坐标由直线与圆相切的性质即可得出， 同理得出 的横坐标也为 ，再由直线与双曲线的位置关系以及双曲线渐近线的性质，整理得到结合三角形的几何计算关系整理得出， 利用条件和三角形的几何关系对选项逐一判断即可得出答案。
三、填空题
13.【解析】【解答】∵ ，
∴ ，
故答案为：2.

【分析】由数量积的运算性质整理即可得出答案。
14.【解析】【解答】根据条形图可知，7名党员的成绩由高到低依次为：庚、丙、戊、甲、丁、己、乙，
因此，这7个成绩的中位数所对应的党员是甲.
故答案为：甲.

【分析】结合的条形图中的数据即可得出大小关系，再由中位数的公式代入数值计算出结果即可。
15.【解析】【解答】设圆锥的母线长为 ，底面半径为 ，圆锥的母线与其底面所成的角为 ，
那么 ，
，
故答案为：

【分析】根据题意由圆锥的几何性质结合圆锥的侧面积公式整理即可得出答案。
16.【解析】【解答】 ， 在 恒成立，
∴ 在 单调递增， 时， ， ，
使得 ，即 ；
且 ， ，
∴ 在 单调递减，在 单调递增，
∴

，解得： ，
∴实数a的取值范围为 ，
故答案为： .

【分析】根据题意对函数求导结合导函数的性质即可得出函数f(x)的单调性，再由函数的单调性即可得出即成立，由此得出a的取值范围。
四、解答题
17.【解析】【分析】(1)根据题意即可得出答案。
(2) 方法一：根据题意由正弦定理代入数值计算出a与b的值，再由勾股定理计算出结果即可。
方法二： 根据题意余弦定理代入数值整理得到， 由此计算出c的值即可。
 
18.【解析】【分析】(1)根据题意由等差数列的通项公式以及等差数列的前n项和公式结合条件整理即可求出首项和公差的值，由此得出数列的通项公式。
(2)由(1)的结论整理得出数列的通项公式再由裂项相消法求出结果即可。
 
 
19.【解析】【分析】(1)根据题意由等边三角形的几何性质再结合中点的性质即可得出线线垂直，再由面面垂直的性质定理即可得出线面垂直，然后由平行的传递性即可得出线线平行由此得证出结论。
(2)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面和平面法向量的坐标，结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到 二面角 的大小。
 
 
 
20.【解析】【分析】(1)根据题意首先对函数求导结合导函数的性质得出函数的单调性，再由函数零点的定义即可得出答案。
(2)根据题意对函数求导，并由导函数的性质得出函数的单调性，结合条件单调递增且有唯一零点，利用函数的单调性求出函数的最值，再由零点的定义以及整理即可得出从而得证出结论。
21.【解析】【分析】(1) 首先根据题意由椭圆的性质结合离心率公式整理得出， 再把点的坐标代入整理计算出a与b的值，由此得出椭圆的方程。
(2)根据题意由斜截式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去x等到关于y的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于m的两根之和与两根之积的代数式，设出点的坐标再由三点共线的性质整理得到和， 然后由向量共线的坐标公式整理得出， 代入上式整理即可得出为定值。
22.【解析】【分析】(1) 〔i〕根据题意对k赋值由此得出X的取值再由n次独立重复试验的概率公式，分别计算出所对应的X的概率值，由此即可得出分布列，再由的数据代入到期望公式计算出结果即可。
〔ii〕 根据题意由n次独立重复试验的概率公式代入数值计算出结果即可。
(2)首先求出分布列以及期望值，再由条件结合n次独立重复试验的概率公式，即可得出由此得证出 单调递增 ，结合单调性的定义即可求出最值即可。