山东省淄博市周村区2020-2021学年九年级上学期期末数学试卷 (word版含答案)

这是一份山东省淄博市周村区2020-2021学年九年级上学期期末数学试卷 (word版含答案)，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
山东省淄博市周村区2020-2021学年九年级（上）期末数学试卷（五四学制）解析版
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填在题后的括号内，每小题5分，共60分）
1．已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则cosB的值为（　　）
A． B． C． D．
2．如图，A是反比例函数图象上第二象限内的一点，若△ABO的面积为2，则k的值为（　　）

A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
3．如图是拦水坝的横断面，堤高BC为6米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为（　　）

A．米 B．米 C．米 D．24米
4．如图所示的立体图形，其俯视图正确的是（　　）

A． B． C． D．
5．如图，线段AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，如果AB＝4，AC＝2，那么∠ADC的度数是（　　）

A．15° B．30° C．45° D．60°
6．已知圆锥的母线长为5cm，高为4cm，则该圆锥侧面展开图的圆心角是（　　）
A．216° B．270° C．288° D．300°
7．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列关于该函数说法中正确的是（　　）

A．b＜0 B．c＞0 C．a+b+c＝0 D．b2﹣4ac＜0
8．如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，若∠AIB＝125°，则∠AOB的度数为（　　）

A．120° B．125° C．135° D．140°
9．经过一个“T”字型路口的行人，可能右拐，可能左拐．假设这两种可能性相同．有3人经过该路口，则至少一人左拐的概率为（　　）
A． B． C． D．
10．如图1，点P从△ABC的顶点A出发，沿A﹣B﹣C匀速运动，到点C停止运动．点P运动时，线段AP的长度y与运动时间x的函数关系如图2所示，其中D为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（　　）

A．10 B．12 C．20 D．24
11．如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB，PQ相交于点M，则图中cos∠QMB的值是（　　）

A． B． C． D．
12．如图，在圆O中，半径OA＝，弦BC＝10，点Q是劣弧AC上的一个动点，连接BQ，作CP⊥BQ，垂足为P．在点Q移动的过程中，线段AP的最小值是（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9
二、填空题（请将最终结果填入题中的横线上，每小题4分，共20分）
13．（4分）若cosα＝0.5，则锐角α为　 　度．
14．（4分）若点A（4，3），B（2，m）在同一个反比例函数的图象上，则m的值为　 　．
15．（4分）如图，在正方形网格中，A，B，C，D，E都是格点，则∠BAC+∠CDE＝　 　．

16．（4分）如图，点P是正方形ABCD外接圆的劣弧AD上的一点，则代数式的值是　 　．

17．（4分）如图，在⊙O中，AC∥OB，OC＝4，AB＝5，则BC＝　 　．

三、解答题（要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，共70分）
18．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交边AB、BC于点D、E，连接AE．
（1）如果∠B＝25°，求∠CAE的度数；
（2）如果CE＝2，sin∠CAE＝，求tanB的值．

19．（8分）一个不透明的布袋中有完全相同的三个小球，把它们分别标号为1，2，3．小林和小华做一个游戏，按照以下方式抽取小球：先从布袋中随机抽取一个小球，记下标号后放回布袋中搅匀，再从布袋中随机抽取一个小球，记下标号．若两次抽取的小球标号之和为奇数，小林赢；若标号之和为偶数，则小华赢．
（1）用画树状图或列表的方法，列出前后两次取出小球上所标数字的所有可能情况；
（2）请判断这个游戏是否公平，并说明理由．
20．（10分）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
0
3
4
3
0
…
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
（3）结合图象，直接写出当y＜0时，x的取值范围．

21．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x与函数y＝（x＞0）的图象交于点A（1，2）．
（1）求m的值；
（2）过点A作x轴的平行线l，直线y＝2x+b与直线l交于点B，与函数y＝（x＞0）的图象交于点C，与x轴交于点D．
①当点C是线段BD的中点时，求b的值；
②当BC＞BD时，直接写出b的取值范围．

22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，E是的中点，连接AE交BC于点F，∠ACB＝2∠EAB．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若cosC＝，AC＝6，求BF的长．

23．（12分）如图，AB是半圆O的直径，C是的中点，点D在上，AC、BD相交于点E，F是BD上一点，且BF＝AD．
（1）求证：CF⊥CD；
（2）连接AF，若∠CAF＝2∠ABF；
①求证：AC＝AF；
②当△ACF的面积为12时，求AC的长．

24．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝x+2交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为（3，）．点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．
（3）若存在点P，使∠PCF＝45°，请直接写出相应的点P的坐标．


2020-2021学年山东省淄博市周村区九年级（上）期末数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填在题后的括号内，每小题5分，共60分）
1．已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则cosB的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据一个角的余弦等于它余角的正弦，可得答案．
【解答】解：由在Rt△ABC中，∠C＝90°，得
∠A+∠B＝90°，
cosB＝sinA＝，
故选：D．
【点评】本题考查了互余两角三角函数关系，利用一个角的余弦等于它余角的正弦是解题关键．
2．如图，A是反比例函数图象上第二象限内的一点，若△ABO的面积为2，则k的值为（　　）

A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
【分析】根据反比例函数k的几何意义可得|k|＝2，再根据图象所在的象限，得出k的值．
【解答】解：由反比例函数k的几何意义可得，
|k|＝2，
∴k＝±4，
又∵图象在第二象限，即k＜0，
∴k＝﹣4，
故选：A．
【点评】本题考查反比例函数k的几何意义，掌握反比例函数k的几何意义，是得出正确答案的前提，理解反比例函数的性质是解决问题的关键．
3．如图是拦水坝的横断面，堤高BC为6米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为（　　）

A．米 B．米 C．米 D．24米
【分析】根据斜面坡度为1：2，堤高BC为6米，可得AC＝12m，然后利用勾股定理求出AB的长度．
【解答】解：∵斜面坡度为1：2，BC＝6m，
∴AC＝12m，
则AB＝（m）．
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据坡角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．
4．如图所示的立体图形，其俯视图正确的是（　　）

A． B． C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示．
【解答】解：从上面看，内外两个正方形，相应的四个顶点用实线相连接．
故选：C．
【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
5．如图，线段AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，如果AB＝4，AC＝2，那么∠ADC的度数是（　　）

A．15° B．30° C．45° D．60°
【分析】连接BC，构造直角三角形，利用已知边的长度结合锐角三角函数的定义求得∠ABC的度数，最后利用圆周角定理确定∠ADC的度数即可．
【解答】解：如图，连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ABC＝90°，
∵AB＝4，AC＝2，
∴sin∠ABC＝＝，
∴∠ABC＝30°，
∴∠ADC＝∠ABC＝30°，
故选：B．

【点评】考查了圆周角定理的知识，解题的关键是能够作出半径构造直角三角形，难度不大．
6．已知圆锥的母线长为5cm，高为4cm，则该圆锥侧面展开图的圆心角是（　　）
A．216° B．270° C．288° D．300°
【分析】设该圆锥侧面展开图的圆心角为n°，先利用勾股定理计算出圆锥的底面圆的半径为3，再利用弧长公式得到2π×3＝，然后解关于n的方程即可．
【解答】解：设该圆锥侧面展开图的圆心角为n°，
圆锥的底面圆的半径＝＝3，
根据题意得2π×3＝，
解得n＝216．
即该圆锥侧面展开图的圆心角为216°．
故选：A．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
7．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列关于该函数说法中正确的是（　　）

A．b＜0 B．c＞0 C．a+b+c＝0 D．b2﹣4ac＜0
【分析】根据抛物线开口方向、对称轴、与y轴交点可判断a、b、c的符号；根据抛物线与x轴交点个数可判断b2﹣4ac与0的关系，根据图象可判断a+b+c与0的关系．
【解答】解：∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，即x＝﹣＞0，
∴b＞0，故A错误；
由图象可知抛物线与y轴的交点（0，c）在y轴的负半轴，
∴c＜0，故B错误；
当x＝1时，y＝0，
∴a+b+c＝0，故C正确；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故D错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．
8．如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，若∠AIB＝125°，则∠AOB的度数为（　　）

A．120° B．125° C．135° D．140°
【分析】根据圆周角定义，以及内心的定义，可以利用∠C表示出∠AIB和∠AOB，即可得到两个角的关系．
【解答】解：∵点O是△ABC的外心，
∴∠AOB＝2∠C，
∴∠C＝∠AOB，
∵点I是△ABC的内心，
∴∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝∠CBA，
∴∠AIB＝180°﹣（∠IAB+∠IBA）
＝180°﹣（∠CAB+∠CBA），
＝180°﹣（180°﹣∠C）
＝90°+∠C，
∴2∠AIB＝180°+∠C，
∵∠AOB＝2∠C，
∴∠AIB＝90°+∠AOB，
∴4∠AIB﹣∠AOB＝360°．
∵∠AIB＝125°，
∴∠AOB＝140°．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的内接圆与内心，三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是正确利用∠C表示∠AIB的度数．
9．经过一个“T”字型路口的行人，可能右拐，可能左拐．假设这两种可能性相同．有3人经过该路口，则至少一人左拐的概率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有8个等可能的结果，其中至少一人左拐的结果有7个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：

共有8个等可能的结果，其中至少一人左拐的结果有7个，
∴至少一人左拐的概率为，
故选：D．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
10．如图1，点P从△ABC的顶点A出发，沿A﹣B﹣C匀速运动，到点C停止运动．点P运动时，线段AP的长度y与运动时间x的函数关系如图2所示，其中D为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（　　）

A．10 B．12 C．20 D．24
【分析】根据图象可知点P在AB上运动时，此时AP不断增大，而从B向C运动时，AP先变小后变大，从而可求出BC与BC上的高．
【解答】解：根据图象可知，点P在AB上运动时，此时AP不断增大，
由图象可知：点P从A向B运动时，AP的最大值为5，即AB＝5，
点P从B向C运动时，AP的最小值为4，
即BC边上的高为4，
∴当AP⊥BC，AP＝4，
此时，由勾股定理可知：BP＝3，
由于图象的曲线部分是轴对称图形，
∴PC＝3，
∴BC＝6，
∴△ABC的面积为：×4×6＝12，
故选：B．
【点评】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是注意结合图象求出BC与AB的长度．
11．如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB，PQ相交于点M，则图中cos∠QMB的值是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据题意，作CQ∥AB，然后利用勾股定理可以得到PC、CQ、PQ的长，再根据勾股定理的逆定理可以判断△PCQ的形状，从而可以求得cos∠PQC的值，然后根据平行线的性质，可以得到∠QMB＝∠PQC，从而可以得到cos∠QMB的值．
【解答】解：作CQ∥AB，连接PC，如右图所示，
设每个小正方形的边长为1，
则CQ＝＝2，PQ＝＝2，PC＝＝4，
∴CQ2+PC2＝（2）2+（4）2＝8+32＝40＝（2）2＝PQ2，
∴△PCQ是直角三角形，∠PCQ＝90°，
∴cos∠PQC＝＝＝，
∵AB∥CQ，
∴∠QMB＝∠PQC，
∴cos∠QMB的值是，
故选：A．

【点评】本题考查解直角三角形、勾股定理、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．
12．如图，在圆O中，半径OA＝，弦BC＝10，点Q是劣弧AC上的一个动点，连接BQ，作CP⊥BQ，垂足为P．在点Q移动的过程中，线段AP的最小值是（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】如图，连接AC，取BC的中点K，连接PK，AK，求出AK，PK，可得结论．
【解答】解：如图，连接AC，取BC的中点K，连接PK，AK

∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC＝＝＝12，
∵CK＝BK＝5，
∴AK＝＝＝13，
∵CP⊥BQ，
∴PK＝BC＝5，
∵PA≥AK﹣PK，
∴PA≥13﹣5＝8，
∴PA的最小值为8．
故选：C．
【点评】本题考查圆周角定理，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是求出AK，PK的长，属于中考常考题型．
二、填空题（请将最终结果填入题中的横线上，每小题4分，共20分）
13．（4分）若cosα＝0.5，则锐角α为　60　度．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值计算得出答案．
【解答】解：∵cosα＝0.5，
∴锐角α为60度．
故答案为：60．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
14．（4分）若点A（4，3），B（2，m）在同一个反比例函数的图象上，则m的值为　6　．
【分析】根据反比例函数y＝中，k＝xy为定值即可得出结论．
【解答】解：∵点A（4，3）、B（2，m）在同一个反比例函数的图象上，
∴4×3＝2m，解得m＝6．
故答案为6．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
15．（4分）如图，在正方形网格中，A，B，C，D，E都是格点，则∠BAC+∠CDE＝　45°　．

【分析】先利用勾股定理分别求出△ABC与△CED的三边，再根据三边对应成比例的两个三角形相似得出△ABC∽△CED，那么∠BAC＝∠ECD，然后根据三角形外角的性质求出∠BAC+∠CDE＝∠ECD+∠CDE＝∠CEF＝45°．
【解答】解：设每个小正方形的面积是1，依题意可得，
AB＝2，BC＝＝2，AC＝＝2，
EC＝＝，DE＝2，CD＝＝，
在△ABC与△CED中，
＝＝＝，
∴△ABC∽△CED，
∴∠BAC＝∠ECD，
∴∠BAC+∠CDE＝∠ECD+∠CDE＝∠CEF＝45°．
故答案为：45°．

【点评】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，三角形外角的性质，证明△ABC∽△CED是解题的关键．
16．（4分）如图，点P是正方形ABCD外接圆的劣弧AD上的一点，则代数式的值是　　．

【分析】首先根据题意画出图形，然后延长PA到E，使AE＝PC，连接BE，易证得△ABE≌△CBP，继而可证得△BEP是等腰直角三角形，则可求得答案．
【解答】解：延长PA到E，使AE＝PC，连接BE，
∵∠BAE+∠BAP＝180°，∠BAP+∠PCB＝180°，
∴∠BAE＝∠PCB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
在△ABE和△CBP中，
，
∴△ABE≌△CBP（SAS），
∴∠ABE＝∠CBP，BE＝BP，
∴∠ABE+∠ABP＝∠ABP+∠CBP＝90°，
∴△BEP是等腰直角三角形，
∴PA+PC＝PE＝PB．
即：＝，
故答案为：．

【点评】此题考查了圆的内接多边形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
17．（4分）如图，在⊙O中，AC∥OB，OC＝4，AB＝5，则BC＝　　．

【分析】作直径BD，连接BC、CD，如图，根据平行线的性质得∠ACB＝∠CBD，则＝，再由BD为直径得到∠BCD＝90°，然后根据勾股定理计算BC的长．
【解答】解：作直径BD，连接BC、CD，如图，
∵OB∥AC，
∴∠ACB＝∠CBD，
∴＝，
∴CD＝AB＝5，
∵BD为直径，
∴∠BCD＝90°，
在Rt△BCD中，BC＝＝＝．
故答案为．

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
三、解答题（要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，共70分）
18．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交边AB、BC于点D、E，连接AE．
（1）如果∠B＝25°，求∠CAE的度数；
（2）如果CE＝2，sin∠CAE＝，求tanB的值．

【分析】（1）根据∠CAE＝∠CAB﹣∠EAB，想办法求出∠CAB，∠EAB即可．
（2）在Rt△ACE中，求出AE，再求出BC即可解决问题．
【解答】解：（1）∵DE垂直平分AB，
∴EA＝EB，
∴∠EAB＝∠B＝25°．
∴∠CAE＝40°．

（2）∵∠C＝90°，
∴．
∵CE＝2，
∴AE＝3，
∴AC＝，
∵EA＝EB＝3，
∴BC＝5，
∴．
【点评】本题考查解直角三角形，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
19．（8分）一个不透明的布袋中有完全相同的三个小球，把它们分别标号为1，2，3．小林和小华做一个游戏，按照以下方式抽取小球：先从布袋中随机抽取一个小球，记下标号后放回布袋中搅匀，再从布袋中随机抽取一个小球，记下标号．若两次抽取的小球标号之和为奇数，小林赢；若标号之和为偶数，则小华赢．
（1）用画树状图或列表的方法，列出前后两次取出小球上所标数字的所有可能情况；
（2）请判断这个游戏是否公平，并说明理由．
【分析】（1）根据题意画出树状图得出所有等情况数即可；
（2）根据概率公式先求出标号之和为奇数和偶数的概率，再进行比较，即可得出这个游戏是否公平．
【解答】解：（1）由题意画出树状图如下：

所有可能情况如下：
（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）．

（2）由（1）可得：标号之和分别为2，3，4，3，4，5，4，5，6，
标号之和为奇数的概率是：，
标号之和为偶数的概率是：，
因为≠，
所以不公平．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．（10分）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
0
3
4
3
0
…
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
（3）结合图象，直接写出当y＜0时，x的取值范围．

【分析】（1）从表格选出点的坐标，用待定系数法即可求解；
（2）根据表格数据描点连线绘制函数即可；
（3）观察函数图象即可求解．
【解答】解：（1）设表达式为y＝a（x﹣1）2+4（a≠0），
把（﹣1，0）代入得a＝﹣1，
表达式为y＝﹣（x﹣1）2+4，
即y＝﹣x2+2x+3；

（2）根据表格数据描点连线绘制函数图象如下：


（3）从函数图象看，当y＜0时，x的取值范围x＜﹣1或x＞3．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x与函数y＝（x＞0）的图象交于点A（1，2）．
（1）求m的值；
（2）过点A作x轴的平行线l，直线y＝2x+b与直线l交于点B，与函数y＝（x＞0）的图象交于点C，与x轴交于点D．
①当点C是线段BD的中点时，求b的值；
②当BC＞BD时，直接写出b的取值范围．

【分析】（1）根据待定系数法求得即可；
（2）①根据题意求得C点的坐标，然后根据待定系数法即可求得b的值；
②根据①结合图象即可求得．
【解答】解：（1）把A（1，2）代入函数y＝（x＞0）中，
∴2＝．
∴m＝2；
（2）①过点C作x轴的垂线，交直线l于点E，交x轴于点F．
当点C是线段BD的中点时，
∴CE＝CF＝1．
∴点C的纵坐标为1，
把y＝1代入函数y＝中，
得x＝2．
∴点C的坐标为（2，1），
把C（2，1）代入函数y＝2x+b中得：1＝4+b，
解得b＝﹣3，
②当C在AB的上方时，C（，4），把C（，4）代入函数y＝2x+b中得：4＝1+b，
得b＝3，则BC＞BD时，则b＞3，
故b的取值范围为b＞3．

【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，待定系数法求反比例的解析式，求得C点的坐标是解题的关键．
22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，E是的中点，连接AE交BC于点F，∠ACB＝2∠EAB．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若cosC＝，AC＝6，求BF的长．

【分析】（1）连接AD，如图，根据圆周角定理，由E是的中点得到∠EAB＝∠EAD，由于∠ACB＝2∠EAB，则∠ACB＝∠DAB，再利用圆周角定理得到∠ADB＝90°，则∠DAC+∠ACB＝90°，所以∠DAC+∠DAB＝90°，于是根据切线的判定定理得到AC是⊙O的切线；
（2）作FH⊥AB于H，如图，利用余弦定义，在Rt△ACD中可计算出CD＝4，在Rt△ACB中可计算出BC＝9，则BD＝BC﹣CD＝5，接着根据角平分线性质得FD＝FH，于是设BF＝x，则DF＝FH＝5﹣x，然后利用平行线得性质由FH∥AC得到∠HFB＝∠C，所以cos∠BFH＝cosC＝＝，再利用比例性质可求出BF．
【解答】（1）证明：连接AD，如图，
∵E是的中点，
∴＝，
∴∠EAB＝∠EAD，
∵∠ACB＝2∠EAB，
∴∠ACB＝∠DAB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAC+∠ACB＝90°，
∴∠DAC+∠DAB＝90°，即∠BAC＝90°，
∴AC⊥AB，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：作FH⊥AB于H，如图，
在Rt△ACD中，∵cosC＝＝，
∴CD＝×6＝4，
在Rt△ACB中，∵cosC＝＝，
∴BC＝×6＝9，
∴BD＝BC﹣CD＝9﹣4＝5，
∵∠EAB＝∠EAD，即AF平分∠BAD，
而FD⊥AD，FH⊥AB，
∴FD＝FH，
设BF＝x，则DF＝FH＝5﹣x，
∵FH∥AC，
∴∠HFB＝∠C，
在Rt△BFH中，∵cos∠BFH＝cosC＝＝，
∴＝，解得x＝3，
即BF的长为3．

【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了解直角三角形．
23．（12分）如图，AB是半圆O的直径，C是的中点，点D在上，AC、BD相交于点E，F是BD上一点，且BF＝AD．
（1）求证：CF⊥CD；
（2）连接AF，若∠CAF＝2∠ABF；
①求证：AC＝AF；
②当△ACF的面积为12时，求AC的长．

【分析】（1）证明△CBF≌△CAD（SAS），推出∠BCF＝∠ACD，可得结论．
（2）①过点A作AG⊥CF于点G，则∠FGA＝∠FCD＝90°，想办法证明∠ACG＝∠AFG，即可推出AC＝AF．
②证明AG＝CH＝3CG，设CG＝x，则CF＝2x，AG＝3x，利用三角形面积公式构建方程求出x，再利用勾股定理求解即可．
【解答】（1）证明：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵C是的中点，
∴＝，
∴∠AC＝CB，
∵∠CBF＝∠CAD，BF＝AD，
∴△CBF≌△CAD（SAS），
∴∠BCF＝∠ACD，
∴∠FCD＝∠ACB＝90°，
∴CF⊥CD．

（2）①证明：过点A作AG⊥CF于点G，则∠FGA＝∠FCD＝90°，
∴AG∥CD，
∴∠CAG＝∠ACD＝∠ABF，
∵∠CAF＝2∠ABF，
∴∠CAF＝2∠CAG，即∠CAG＝∠FAG，
∵∠CAG+∠ACG＝90°，∠FAG+∠AFG＝90°，
∴∠ACG＝∠AFG，
∴AC＝AF．

②过点A作AG⊥CF于点G，过点B作BH⊥CF交CF的延长线于点H．则∠BHC＝∠CGA＝90°．
∴∠CAG+∠GCA＝90°，
∵∠BCH+∠GCA＝90°，
∴∠BCH＝∠CAG，
∵CB＝CA，
∴△BCH≌△CAG（AAS），
∴CH＝AG，BH＝CG，
∵∠FCD＝90°，CF＝CD，
∴∠CFD＝∠CDF＝45°，
∵∠BHF＝90°，
∴∠BFH＝45°＝∠FBH，
∴BH＝HF，
∴HF＝CG，
∵AC＝AF，AG⊥CF，
∴CF＝2CG，
∴AG＝CH＝3CG，
设CG＝x，则CF＝2x，AG＝3x，
则有，S△ACF＝•CF•AG＝×2x×3x＝12，
∴x＝2或﹣2（舍弃），
∴CG＝2，AG＝6，
∵∠AGC＝90°，
∴AC＝＝＝2．

【点评】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
24．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝x+2交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为（3，）．点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．
（3）若存在点P，使∠PCF＝45°，请直接写出相应的点P的坐标．

【分析】（1）首先求出点C的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）本问采用数形结合的数学思想求解．将直线y＝x+2沿y轴向上或向下平移2个单位之后得到的直线，与抛物线y轴右侧的交点，即为所求之交点．由答图1可以直观地看出，这样的交点有3个．联立解析式解方程组，即可求出m的值；
（3）本问符合条件的点P有2个，如答图2所示，注意不要漏解．在求点P坐标的时候，需要充分挖掘已知条件，构造直角三角形或相似三角形，解方程求出点P的坐标．
【解答】解：（1）在直线解析式y＝x+2中，令x＝0，得y＝2，
∴C（0，2）．
∵点C（0，2）、D（3，）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，
∴，
解得b＝，c＝2，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+2．

（2）∵PF∥OC，且以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形，
∴PF＝OC＝2，
∴将直线y＝x+2沿y轴向上、下平移2个单位之后得到的直线，与抛物线y轴右侧的交点，即为所求之交点．
由答图1可以直观地看出，这样的交点有3个．
将直线y＝x+2沿y轴向上平移2个单位，得到直线y＝x+4，
联立，
解得x1＝1，x2＝2，
∴m1＝1，m2＝2；
将直线y＝x+2沿y轴向下平移2个单位，得到直线y＝x，
联立，
解得x3＝，x4＝（不合题意，舍去），
∴m3＝．
∴当m为值为1，2或时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形．

（3）存在．
理由：设点P的横坐标为m，则P（m，﹣m2+m+2），F（m，m+2）．
如答图2所示，过点C作CM⊥PE于点M，则CM＝m，EM＝2，
∴FM＝yF﹣EM＝m，
∴tan∠CFM＝2．
在Rt△CFM中，由勾股定理得：CF＝m．
过点P作PN⊥CD于点N，
则PN＝FN•tan∠PFN＝FN•tan∠CFM＝2FN．
∵∠PCF＝45°，
∴PN＝CN，
而PN＝2FN，
∴FN＝CF＝m，PN＝2FN＝m，
在Rt△PFN中，由勾股定理得：PF＝＝m．
∵PF＝yP﹣yF＝（﹣m2+m+2）﹣（m+2）＝﹣m2+3m，
∴﹣m2+3m＝m，
整理得：m2﹣m＝0，
解得m＝0（舍去）或m＝，
∴P（，）；
同理求得，另一点为P（，）．
∴符合条件的点P的坐标为（，）或（，）．


【点评】本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、解方程（方程组）、平行四边形、相似三角形（或三角函数）、勾股定理等重要知识点．第（2）问采用数形结合思想求解，直观形象且易于理解；第（3）问中，符合条件的点P有两个，注意不要漏解．