2020-2021学年广西高二（上）月考数学试卷（文科）（三）（12月份）人教A版

这是一份2020-2021学年广西高二（上）月考数学试卷（文科）（三）（12月份）人教A版，共9页。试卷主要包含了解答题，共6题，共70分等内容，欢迎下载使用。

1. 已知集合A={(x,y)|x29+y24=1}，B＝{(x, y)|y＝x}，则A∩B中有几个元素（ ）
A.1B.2C.3D.4

2. 焦点坐标为(0, 3)，(0, −3)，长轴长为10，则此椭圆的标准方程为（ ）
A.x2100+y291=1B.y2100+x291=1C.y225+x216=1D.x225+y216=1

3. “φ=π2”是“csφ＝0”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4. 从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）
A.至少有一个红球与都是红球
B.至少有一个红球与都是白球
C.恰有一个红球与恰有二个红球
D.至少有一个红球与至少有一个白球

5. 若曲线x22−k+y22+k=1表示椭圆，则k的取值范围是（ ）
A.k>2B.kb>0)的两个焦点分别为F1，F2，离心率为12，过F1的直线l与椭圆C交于M，N两点，且△MNF2的周长为8．
（1）求椭圆C的方程；

（2）直线m过点(−1, 0)，且与椭圆C交于P、Q两点，求△PQF2面积的最大值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年广西某校高二（上）月考数学试卷（文科）（三）（12月份）
一、单选题，共12题，每题5分，共60分。请把答案填涂到答题卡相应位置。
1.
【答案】
B
【考点】
交集及其运算
【解析】
可由x29+y24=1y=x ，消去y得到13x2−36＝0，该方程有两个不同的实数根，进而得出方程组x29+y24=1y=x 有两个解，从而可得出A∩B的元素个数．
【解答】
由x29+y24=1y=x ，消去y得13x2−36＝0，则△＝4×13×36>0，
∴ 椭圆x29+y24=1与直线y＝x有两个交点，
∴ A∩B中有2个元素．
2.
【答案】
C
【考点】
椭圆的标准方程
【解析】
由焦点坐标为(0, 3)，(0, −3)，得焦点在y轴上，c＝3，由长轴长为10，2a＝10，根据a2＝b2+c2，解得b的值，代入焦点在y轴上的椭圆的标准方程即可．
【解答】
由题意得，a＝5，c＝3且焦点在y轴上，∴ b＝4，
∴ 椭圆的标准方程为：y225+x216=1，
3.
【答案】
A
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论．
【解答】
当φ=π2时，csφ＝0成立，充分性成立．
当csφ＝0，则φ=π2+kπ，k∈Z，则φ=π2不一定成立，必要性不成立．
故“φ=π2”是“csφ＝0”的充分不必要条件，
4.
【答案】
C
【考点】
互斥事件与对立事件
【解析】
利用互斥事件、对立事件的定义直接求解．
【解答】
从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，
在A中，至少有一个红球与都是红球能同时发生，不是互斥事件，故A错误；
在B中，至少有一个红球与都是白球是互斥事件，故B错误；
在C中，恰有一个红球与恰有二个红球是互斥而不对立的事件，故C正确；
在D中，至少有一个红球与至少有一个白球能同时发生，不是互斥事件，故D错误．
5.
【答案】
D
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
曲线x22−k+y22+k=1表示椭圆，列出不等式组，解出即可得出．
【解答】
∵ 曲线x22−k+y22+k=1表示椭圆，∴ 2−k>02+k>02−k≠2+k ，解得−20)焦点在x轴上，四边形AFF1B为长方形．根据椭圆的定义：|AF|+|AF1|＝2a，∠ABF＝α，则∠AF1F＝α．椭圆的离心率e=2c2a=1sinα+csα=12sin(α+π4)，α∈[π6, π4]，2(3+1)4≤sin(α+π4)≤1，22≤12sin(α+π4)≤3−1，即可求得椭圆离心率e的取值范围．
【解答】
椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)焦点在x轴上，
椭圆上点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，设左焦点为F1，连接AF，AF1，BF，BF1，
∴ 四边形AFF1B为长方形．
根据椭圆的定义：|AF|+|AF1|＝2a，
∠ABF＝α，则：∠AF1F＝α．
∴ 2a＝2ccsα+2csinα
椭圆的离心率e=2c2a=1sinα+csα=12sin(α+π4)，α∈[π6, π4]，
∴ 5π12≤α+π4≤π2，
则：2(3+1)4≤sin(α+π4)≤1，
∴ 22≤12sin(α+π4)≤3−1，
∴ 椭圆离心率e的取值范围：[22,3−1]，
三、解答题，共6题，共70分。请在答题卡相应位置上作答，应写出必要的解题过程。
【答案】
∵ 甲班学生的平均分是85，
∴ 92+96+80+80+x+85+79+787=85，
解得x＝5，
则甲班7位学生成绩的方差为：
S2=17[(−6)2+(−7)2+(−5)2+02+02+72+112]＝40．
甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为A，B，
乙班成绩在90分以上的学生有三名，分虽记为C，D，E，
从这五名学生中任意抽取2名学生，有10种情况：
(A, B)，(A, C)，(A, D)，(A, E)，(B, C)，(B, D)，(B, E)，(C, D)，(C, E)，(D, E)，
其中两人均来自甲班（或乙班）共有4种情况：
(A, B)，(D, C)，(E, D)，(C, E)，
记“甲班，乙班各一人”为事件M，
则P(M)＝1−410=35．
∴ 甲班，乙班各一人的概率为35．
【考点】
极差、方差与标准差
古典概型及其概率计算公式
茎叶图
【解析】
（1）由甲班学生的平均分是85，列方程求出x＝5，由此能求出甲班7位学生成绩的方差．
（2）甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为A，B，乙班成绩在90分以上的学生有三名，分虽记为C，D，E，从这五名学生中任意抽取2名学生，利用列举法能求出甲班，乙班各一人的概率．
【解答】
∵ 甲班学生的平均分是85，
∴ 92+96+80+80+x+85+79+787=85，
解得x＝5，
则甲班7位学生成绩的方差为：
S2=17[(−6)2+(−7)2+(−5)2+02+02+72+112]＝40．
甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为A，B，
乙班成绩在90分以上的学生有三名，分虽记为C，D，E，
从这五名学生中任意抽取2名学生，有10种情况：
(A, B)，(A, C)，(A, D)，(A, E)，(B, C)，(B, D)，(B, E)，(C, D)，(C, E)，(D, E)，
其中两人均来自甲班（或乙班）共有4种情况：
(A, B)，(D, C)，(E, D)，(C, E)，
记“甲班，乙班各一人”为事件M，
则P(M)＝1−410=35．
∴ 甲班，乙班各一人的概率为35．
【答案】
（1）△ABC中，由正弦定理可得a2+c2＝b2+2ac，
所以a2+c2−b2=2ac，
所以csB=a2+c2−b22ac=22，又B∈(0, π)，
所以B=π4；
（2）由(I)得：C=3π4−A，
所以2csA+csC=2csA+cs(3π4−A)
=2csA−22csA+22sinA=22csA+22sinA＝sin(A+π4)，
又A∈(0, 3π4)，所以A+π4∈(π4, π)，
所以当A+π4=π2时，sin(A+π4)取得最大值1，
即csA+csC的最大值为1．
【考点】
余弦定理
正弦定理
【解析】
(Ⅰ)利用正弦定理和余弦定理，即可求得B的值；
(Ⅱ)根据三角形内角和定理与三角恒等变换，以及三角函数的图象与性质，即可求得csA+csC的最大值．
【解答】
（1）△ABC中，由正弦定理可得a2+c2＝b2+2ac，
所以a2+c2−b2=2ac，
所以csB=a2+c2−b22ac=22，又B∈(0, π)，
所以B=π4；
（2）由(I)得：C=3π4−A，
所以2csA+csC=2csA+cs(3π4−A)
=2csA−22csA+22sinA=22csA+22sinA＝sin(A+π4)，
又A∈(0, 3π4)，所以A+π4∈(π4, π)，
所以当A+π4=π2时，sin(A+π4)取得最大值1，
即csA+csC的最大值为1．
【答案】
∵ 数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，a2＝8，Sn+1+4Sn−1＝5Sn(n≥2)．
∴ 当n≥2时，Sn+1−Sn＝4(Sn−Sn−1)．∴ an+1＝4an．…
∵ a1＝2，a2＝8，∴ a2＝4a1．……………………………………………
∴ 数列{an}是以a1＝2为首项，公比为4的等比数列．…………………………………………
∴ 数列{an}的通项公式an＝2⋅4n−1＝22n−1．………………………………………
∵ an=22n−1，
∴ bn＝(−1)n+1lg2an＝(−1)n−1lg222n−1＝(−1)n+1(2n−1)，………
当n＝2k时，b2k−1+b2k=(4k−3)−(4k−1)＝−2．………………
∴ 数列{bn}的前2n项和：
Tn＝(1−3)+(5−7)+...+[(4n−3)−(4n−1)]＝n×(−2)＝−2n． ………
【考点】
数列递推式
数列的求和
【解析】
（1）当n≥2时，Sn+1−Sn＝4(Sn−Sn−1)．从而an+1＝4an，进而数列{an}是以a1＝2为首项，公比为4的等比数列，由此能求出数列{an}的通项公式．
（2）bn＝(−1)n+1(2n−1)，当n＝2k时，b2k−1+b2k=(4k−3)−(4k−1)＝−2，由此能求出数列{bn}的前2n项和Tn．
【解答】
∵ 数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，a2＝8，Sn+1+4Sn−1＝5Sn(n≥2)．
∴ 当n≥2时，Sn+1−Sn＝4(Sn−Sn−1)．∴ an+1＝4an．…
∵ a1＝2，a2＝8，∴ a2＝4a1．……………………………………………
∴ 数列{an}是以a1＝2为首项，公比为4的等比数列．…………………………………………
∴ 数列{an}的通项公式an＝2⋅4n−1＝22n−1．………………………………………
∵ an=22n−1，
∴ bn＝(−1)n+1lg2an＝(−1)n−1lg222n−1＝(−1)n+1(2n−1)，………
当n＝2k时，b2k−1+b2k=(4k−3)−(4k−1)＝−2．………………
∴ 数列{bn}的前2n项和：
Tn＝(1−3)+(5−7)+...+[(4n−3)−(4n−1)]＝n×(−2)＝−2n． ………
【答案】
由已知椭圆的焦距为42，则2c＝42，所以c＝22，
则a2＝b2+8，又椭圆过点H(0, 1)所以b＝1，
所以a2＝9，故椭圆C的方程为x29+y2=1；
设M(x1, y1)，N(x2, y2)．
联立方程x29+y2=1y=2x+t ，消去y得 37x2+36tx+9(t2−1)＝0，
由△＝（36）​2−4×37×9×(t2−1)>0，可得−37