高中数学苏教版 (2019)必修 第一册3.2 基本不等式教学设计

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

（一）、情景导学

如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，赵爽是为了证明勾股定理而绘制了弦图。

弦图既标志着中国古代的数学成就，又象一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学家们。

教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系．

思考1：这图案中含有怎样的几何图形？

思考2：你能发现图案中的相等关系或不等关系吗？

（二）、探索新知

1．探究图形中的不等关系

将图中的“风车”抽象成如图，在正方形中有4个全等的直角三角形．设直角三角形的两条直角边

长为,（）,

那么正方形的边长为．

这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为．

由于4个直角三角形的面积之和小于正方形的面积，

我们就得到了一个不等式：．

当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，

正方形缩为一个点，

这时有．（通过几何画板演示当时的图像）

2．得到结论（重要不等式）：一般的，对于任意实数,，我们有，当且仅当时，等号成立。

3．思考证明：你能给出它的证明吗？（设计意图：证明：因为

，

当且仅当时等号成立

4．（1）基本不等式：如果,,我们用、分别代替、，可得，通常我们把上式写作：基本不等式（,)（当且仅当时，取等号）

5.基本不等式：（1）在数学中，我们称为、的算术平均数，称为、的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.此不等式又叫均值不等式。

（2）从不等式的性质推导基本不等式

如果学生类比重要不等式的证明给出证明，再介绍书上的分析法。

用分析法证明：证明不等式

证明：要证

只要证

只要证

只要证显然，是成立的．

当且仅当时，（3）中的等号成立．

【归纳总结】

1、由图我们得到了重要不等式：

(1)通过换元我们得到了基本不等式：

（2）两个不等式的区别和联系：区别：,范围不同;联系:等号成立的条件相同

（3）从形的角度来看，基本不等式具有特定的几何意义；

从数的角度来看，基本不等式揭示了“和”与“积”这两种结构间的不等关系

（三）典例解析

利用基本不等式求最值

解析：

解析：

基本不等式的使用条件

解析：

解: ∵  ,

当且仅当 2x=(1-2x), 即时, 取“=”号.

∴当时, 函数y=x(1-2x)的最大值是.

跟踪训练

通过介绍第24届国际数学家大会会标的背景，进行设问，引导学生观察分析，发现图形中蕴藏的基本不等式，培养学生数学抽象和逻辑推理的核心素养，同时渗透数学文化，和爱国主义教育。

通过图形得到了重要不等式的几何解释，为了更准确地感知和理解，再从数学的逻辑方面给出证明，不仅培养了学生严谨的数学态度，而且还可以从中学习到分析法证明的大体过程，培养和发展数学抽象和逻辑推理的核心素养，增强数形结合的思想意识。

从不同的侧面理解不等式，培养学生数形结合的思想意识。

；

通过典型例题的解析和跟踪练习，让学生明确运用基本不等式的三个关键步骤；一正、二定、三相等，发展严谨细致的思考习惯，训练思维的灵活性。

三、达标检测

1．下列不等式中，正确的是(　　)

A．a＋≥4　　　　　　B．a2＋b2≥4ab

C.≥D．x2＋≥2

解析：选D.a＜0，则a＋≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b2＜4ab，故B错，a＝4，b＝16，则＜，故C错；由基本不等式可知D项正确．

2．若，则的最小值是(　　)

A．     B．C.D．

解析：选D.，所以，

所以.　

当且仅当即时取等号．

3．若，都是正数，则的最小值为(　　)

A．       B．       C．     D．

解析：选C.因为a，b都是正数，所以

，

当且仅当b＝2a＞0时取等号．

4．已知x>0，y>0，且＋＝1，则x＋y的最小值为________．

解析：x＋y＝(x＋y)·＝10＋＋

≥10＋2＝10＋6＝16.

即x＝4，y＝12时等号成立，所以x＋y的最小值为16.

通过练习巩固本节所学知识，提高学生运用基本不等式解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的逻辑推理和数学运算素养。

四、小结

本节课，我们学习了重要不等式a2＋b2≥2ab；基本不等式；两正数a、b的算术平均数（），几何平均数（）及它们的关系（≥）.它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).

五、作业

1.习题2.21,2,4,5题

2. 预习下节课内容

生学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点；