高中数学苏教版 (2019)必修 第一册第3章 不等式3.2 基本不等式教案及反思

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教材在研究基本不等式时，首先给出代数的证明，然后再通过思考给出“图形的证明”，即几何证明．这里也充分展示了数形结合的基本思想，这有助于学生建立几何与代数“血脉相连”的基本观念．在基本不等式的代数证明中，教材提供了两种方法，即“分析法”与“综合法”，提高学生的推理能力．
1. 理解基本不等式的内容及证明.
2. 能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小.
1．限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，写成不等式就是________．
答案：v≤40 km/h
2．设α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，β∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，那么2α－eq \f(β,3)的取值范围是________．
解析：由题设得0<2α<π，0≤eq \f(β,3)≤eq \f(π,6)，
∴－eq \f(π,6)≤－eq \f(β,3)≤0，∴－eq \f(π,6)<2α－eq \f(β,3)<π.
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，π))
3．比较下列各组中两个代数式的大小：
(1)3x2－x＋1与2x2＋x－1；
(2)当a>0，b>0且a≠b时，aabb与abba.
解：(1)∵3x2－x＋1－2x2－x＋1＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，∴3x2－x＋1>2x2＋x－1.
(2)eq \f(aabb,abba)＝aa－bbb－a＝aa－beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,b)))a－b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)))a－b.
①当a>b，即a－b>0，eq \f(a,b)>1时，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)))a－b>1，
∴aabb>abba.
②当a1，
∴aabb>abba.
综上，当a>0，b>0且a≠b时，aabb>abba.
如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？（教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系）．
借助多媒体引出重要不等式a2＋b2≥2ab
然后从代数的角度证明这个结论，即例1
典例剖析
题型一 常见推论的证明
例1 证明不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R).
证明 ∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，
∴a2＋b2≥2ab.
引申探究
证明不等式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2≤eq \f(a2＋b2,2)(a，b∈R).
证明 由例1，得a2＋b2≥2ab，
∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab，
两边同除以4，即得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2≤eq \f(a2＋b2,2)，当且仅当a＝b时，取等号.
总结 作差法与不等式性质是证明中常用的方法.

变式训练：已知a，b，c为任意的实数，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
证明 ∵a2＋b2≥2ab；b2＋c2≥2bc；c2＋a2≥2ca，
∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)，
即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，
当且仅当a＝b＝c时，等号成立.
问题：对于不等式。将降次为,降次为,则由这个不等式可以得出什么结论？
基本不等式：对任意正数，，有当且仅当时等号成立．（学生讨论回答证明方法）
证：
当且仅当即时，取“”．
说明：1、 把和分别叫做正数的算术平均数和几何平均数，上述不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
2、（多媒体辅助）的几何解释：如图
以为直径作圆，
在直径上取一点， 过作弦，则，从而，而半径 基本不等式几何意义是：“半径不小于半弦”；
题型二 用基本不等式证明不等式
例2 已知x，y都是正数.
求证：(1)eq \f(y,x)＋eq \f(x,y)≥2；
(2)(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3.
证明 (1)∵x，y都是正数，
∴eq \f(x,y)>0，eq \f(y,x)>0，
∴eq \f(y,x)＋eq \f(x,y)≥2 eq \r(\f(y,x)·\f(x,y))＝2，即eq \f(y,x)＋eq \f(x,y)≥2，
当且仅当x＝y时，等号成立.
(2)∵x，y都是正数，
∴x＋y≥2eq \r(xy)>0，
x2＋y2≥2eq \r(x2y2)>0，x3＋y3≥2eq \r(x3y3)>0.
∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)
≥2eq \r(xy)·2eq \r(x2y2)·2eq \r(x3y3)＝8x3y3，
即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3，
当且仅当x＝y时，等号成立.
总结 利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项
(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.
(2)注意事项：
①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用.
变式训练：已知a，b，c都是正实数，求证：(a＋b)(b＋c)·(c＋a)≥8abc.
证明 ∵a，b，c都是正实数，
∴a＋b≥2eq \r(ab)>0，b＋c≥2eq \r(bc)>0，c＋a≥2eq \r(ca)>0.
∴(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥2eq \r(ab)·2eq \r(bc)·2eq \r(ca)＝8abc.
即(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc，
当且仅当a＝b＝c时，等号成立.
题型三 用基本不等式比较大小
例3 某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x(a，b，x均大于零)，则( )
A.x＝eq \f(a＋b,2) B.x≤eq \f(a＋b,2)
C.x＞eq \f(a＋b,2) D.x≥eq \f(a＋b,2)
答案 B
解析 第二年产量为A＋A·a＝A(1＋a)，
第三年产量为A(1＋a)＋A(1＋a)·b＝A(1＋a)(1＋b).
若平均增长率为x，则第三年产量为A(1＋x)2.
依题意有A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)，
∵a＞0，b＞0，x＞0，
∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)≤eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1＋a＋1＋b,2)))2，
∴1＋x≤eq \f(2＋a＋b,2)＝1＋eq \f(a＋b,2)，∴x≤eq \f(a＋b,2)(当且仅当a＝b时，等号成立).
总结 基本不等式eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)一端为和，一端为积，使用基本不等式比较大小要擅于利用这个桥梁化和为积或者化积为和.
从内容上看学生原有知识的掌握情况为：初中的勾股定理知识及三角形相似的知识圆的相关知识，会用作差比较法证明简单的不等式，所以在学法上要指导学生：从代数与几何的角度，从数列知识的角 度理解基本不等式。引导学生学会观察几何图形，进行几何与代数的结合运用，发现各种事物之间的普遍联系.发展学生数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养。课程目标
学科素养
A.理解基本不等式的内容及证明.
B.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小.
C.能初步运用基本不等式证明简单的不等式.
1.直观想象 理解基本不等式的内容及证明
2.逻辑推理 能初步运用基本不等式证明简单的不等式.
3.数学运算 能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小.