高中数学苏教版 (2019)必修 第一册第3章 不等式3.2 基本不等式测试题

第3章不等式

3.2　基本不等式(a,b≥0)

3.2.1　基本不等式的证明　3.2.2　基本不等式的应用

课后篇巩固提升

必备知识基础练

1.设a,b为正数,且a+b≤4,则下列各式正确的是(　　)

A.<1 B.≥1

C.<2 D.≥2

答案B

解析因为ab≤2≤2=4,所以≥2≥2=1,当且仅当a=b=2时,等号成立.

2.若x>0,y>0,且=1,则xy有(　　)

A.最大值64 B.最小值

C.最小值 D.最小值64

答案D

解析由题意xy=xy=2y+8x≥2=8,∴≥8,当且仅当x=4,y=16时,等号成立,故xy有最小值64.

3.(2020黑龙江尖山双鸭山一中高二开学考试)下列说法正确的是(　　)

A.x+的最小值是4

B.的最小值是2

C.若0<x<1,则x(1-x)的最小值为

D.如果ac2>bc2,那么a>b

答案D

解析对于A,当x<0时,x+的值小于0,故A不正确;对于B,≥2,当且仅当=1时,等号成立,这样的x不存在,故最小值不为2,故B不正确;对于C,∵0<x<1,∴1-x>0,∴x(1-x)≤2=,当且仅当x=1-x,即x=时,等号成立,故C不正确;对于D,∵ac2>bc2,∴c2>0,∴a>b,故D正确.故选D.

4.(2020陕西新城西安中学高三月考)设a>0,b>0,且不等式≥0恒成立,则实数k的最小值等于 (　　)

A.0 B.4 C.-4 D.-2

答案C

解析由≥0,得k≥-.因为+2≥4(当且仅当a=b时,等号成立),所以-≤-4.要使k≥-恒成立,应有k≥-4,即实数k的最小值等于-4.故选C.

5.若a>0,b>0,且,则a3+b3的最小值为　　　　. 

答案4

解析∵a>0,b>0,∴≥2,即ab≥2,当且仅当a=b=时,等号成立.∴a3+b3≥2≥2=4,当且仅当a=b=时,等号成立.则a3+b3的最小值为4.

6.已知0<x<1,则x(3-3x)取得最大值时x的值为　　　　. 

答案

解析由x(3-3x)=×3x(3-3x)≤×2=,当且仅当3x=3-3x,即x=时,等号成立.

7.若对任意x>0,≤a恒成立,则实数a的取值范围是　　　　. 

答案,+∞

解析因为x>0,所以x+≥2,当且仅当x=1时,等号成立.

所以,

当且仅当x=1时,等号成立.

即的最大值为,故a≥.

8.(1)已知x<3,求y=+x的最大值;

(2)已知x,y是正实数,且x+y=4,求的最小值.

解(1)∵x<3,∴x-3<0,

∴y=+x=+(x-3)+3

=-+(3-x)+3

≤-2+3=-1,

当且仅当=3-x,即x=1时,等号成立.

∴f(x)的最大值为-1.

(2)∵x,y是正实数,

∴(x+y)=4+≥4+2,

当且仅当,即x=2(-1),y=2(3-)时,等号成立.

又x+y=4,∴≥1+,

当且仅当x=2(-1),y=2(3-)时,等号成立.

故的最小值为1+.

关键能力提升练

9.若-4<x<1,则y=(　　)

A.有最小值1 B.有最大值1

C.有最小值-1 D.有最大值-1

答案D

解析y=(x-1)+.∵-4<x<1,∴x-1<0.故y=--(x-1)+≤-1,当且仅当x-1=,即x=0时,等号成立.

10.已知x>0,y>0,且x+y=8,则(1+x)(1+y)的最大值为(　　)

A.16 B.25 C.9 D.36

答案B

解析(1+x)(1+y)≤2=2=2=25,当且仅当1+x=1+y,即x=y=4时,等号成立.故(1+x)(1+y)的最大值为25.故选B.

11.已知a>0,b>0,若不等式恒成立,则m的最大值为(　　)

A.10 B.12 C.16 D.9

答案D

解析由已知a>0,b>0,若不等式恒成立,则m≤(a+b)恒成立.问题转化成求y=(a+b)的最小值,y=(a+b)=5+≥5+2=9,当且仅当a=2b>0时,等号成立.所以m≤9.故选D.

12.(2020浙江西湖学军中学高一月考)设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当取得最大值时,的最大值为(　　)

A.0 B.3 C. D.1

答案D

解析∵正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,∴z=x2-3xy+4y2.∴=1,当且仅当x=2y>0时,等号成立,此时z=2y2.∴=--12+1≤1,当且仅当y=1时,等号成立.即的最大值是1.故选D.

13.某工厂生产某种产品,第一年产量为A,第二年的增长率为a,第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为x(a,b,x均大于零),则(　　)

A.x= B.x≤

C.x> D.x≥

答案B

解析由题意得,A(1+a)(1+b)=A(1+x)2,则(1+a)(1+b)=(1+x)2,因为(1+a)(1+b)≤2,所以1+x≤=1+,所以x≤,当且仅当a=b时,等号成立.故选B.

14.(多选)下列不等式一定成立的是(　　)

A.x2+>x(x>0) B.x+≥2(x>0)

C.x2+1≥2|x|(x∈R) D.>1(x∈R)

答案BC

解析对于A,当x=时,x2+=x,所以A不一定成立;对于B,当x>0时,x+≥2,当且仅当x=1时,等号成立,所以B一定成立;对于C,不等式x2+1-2|x|=(|x|-1)2≥0,即x2+1≥2|x|恒成立,所以C一定成立;对于D,因为x2+1≥1,所以0<≤1,所以D不成立.

15.(多选)若正实数a,b满足a+b=1,则下列说法错误的是(　　)

A.ab有最小值 B.有最小值

C.有最小值1 D.a2+b2有最小值

答案ABD

解析∵a>0,b>0,且a+b=1,∴1=a+b≥2,

∴ab≤,当且仅当a=b=时,等号成立.∴ab有最大值,∴A错误.()2=a+b+2=1+2≤1+2=2,∴,当且仅当a=b=时,等号成立.所以有最大值,∴B错误.≥1,当且仅当a=b=时,等号成立.∴有最小值1,∴C正确.a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab≥1-2×,当且仅当a=b=时,等号成立.∴a2+b2的最小值是,不是,∴D错误.

16.(多选)(2020重庆万州第二高级中学月考)若a,b,c∈R,且ab+bc+ca=1,则下列不等式成立的是(　　)

A.a+b+c≤ B.(a+b+c)2≥3

C.≥2 D.a2+b2+c2≥1

答案BD

解析由基本不等式可得a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,上述三个不等式全部相加得2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca)=2,∴a2+b2+c2≥1,当且仅当a=b=c时,等号成立.∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥3,∴a+b+c≤-或a+b+c≥.若a=b=c=-,则=-3<2.因此,A,C错误,B,D正确.故选BD.

17.(2020江苏淮安高一月考)某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x=　　　　. 

答案20

解析该公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,则需要购买次.运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,一年的总运费与总存储费用之和为×4+4x万元.×4+4x≥160,当且仅当=4x,即x=20时,等号成立.故当x=20时,一年的总运费与总存储费用之和最小.

18.(2020浙江高一月考)已知x>0,y>0,且=2,则2x+y的最小值为　　　　. 

答案7

解析由=2,可得2x+y=2(x+1)+y-2=[2(x+1)+y]-2

=10+-2

≥10+2-2

=7,

当且仅当,即x=,y=6时,等号成立.

故2x+y的最小值为7.

19.已知a,b,c为不全相等的正实数,且abc=1.求证:a+b+c<.

证明因为a,b,c为不全相等的正实数,且abc=1,

所以=2c,=2a,=2b,以上三个不等式相加,得2>2(a+b+c),

即>a+b+c,

所以a+b+c<.

20.(1)若x<3,求y=2x+1+的最大值;

(2)已知x>0,求y=的最大值.

解(1)因为x<3,所以3-x>0.

所以y=2x+1+=2(x-3)++7

=-2(3-x)++7.

由基本不等式可得2(3-x)+≥2,

当且仅当2(3-x)=,即x=3-时,等号成立.

所以-2(3-x)+≤-2,

所以y=2x+1+=-2(3-x)++7≤7-2,

当且仅当x=3-时,等号成立.

故y=2x+1+的最大值是7-2.

(2)y=.

因为x>0,所以x+≥2=2,

当且仅当x=,即x=1时,等号成立.

所以0<≤1,即0<y≤1.

所以y=的最大值为1.

学科素养拔高练

21.(2020黑龙江齐齐哈尔第八中学期中)第一机床厂投资A生产线500万元,每万元可创造利润1.5万元.该厂通过引进先进技术,在A生产线的投资减少了x(x>0)万元,且每万元创造的利润变为原来的(1+0.005x)倍.现将在A生产线少投资的x万元全部投入B生产线,且每万元创造的利润为1.5(a-0.013x)万元,其中a>0.

(1)若技术改进后A生产线的利润不低于原来A生产线的利润,求x的取值范围;

(2)若B生产线的利润始终不高于技术改进后A生产线的利润,求a的最大值.

解(1)由题意,得1.5(1+0.005x)(500-x)≥1.5×500,整理得x2-300x≤0,解得0≤x≤300.

又x>0,故0<x≤300.

故x的取值范围为(0,300].

(2)由题意知,B生产线的利润为1.5(a-0.013x)x万元,技术改进后,A生产线的利润为1.5(1+0.005x)(500-x)万元,则1.5(a-0.013x)x≤1.5(1+0.005x)(500-x)恒成立.

又x>0,∴a≤+1.5恒成立.

又≥4,当且仅当x=250时,等号成立,

∴0<a≤5.5,即a的最大值为5.5.