2020-2021学年山东省潍坊市高三（上）9月收心考试数学试卷人教B版

这是一份2020-2021学年山东省潍坊市高三（上）9月收心考试数学试卷人教B版，共13页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知集合A={x|(x−3)(x+1)>0}，B={x||x−1|>1}，则(∁RA)∩B=( )
A.(−1, 0)∪(2, 3)B.(2, 3]C.(−∞, 0)∪(2, +∞)D.[−1, 0)∪(2, 3]

2. 中兴、华为事件暴露了我国计算机行业中芯片、软件两大短板，为防止“卡脖子”事件的再发生，科技专业人才就成了决胜的关键．为了解我国在芯片、软件方面的潜力，某调查机构对我国若干大型科技公司进行调查统计，得到了这两个行业从业者的年龄分布的饼形图和“90后”从事这两个行业的岗位分布雷达图，则下列说法中不一定正确的是( )

A.芯片、软件行业从业者中，“90后”占总人数的比例超过50%
B.芯片、软件行业中从事技术设计岗位的“90后”人数超过总人数的25%
C.芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”比“80后”多
D.芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”的总人数多

3. 在直角梯形ABCD中，AB=4，CD=2，AB // CD，AB⊥AD，E是BC的中点，则AB→⋅(AC→+AE→)=( )

A.8B.12C.16D.20

4. 已知函数f(x)=ex−e−x(x>0),−x2(x≤0), 若a=50.01，b=32lg32，c=lg20.9，则有( )
A.f(a)>f(b)>f(c)B.f(b)>f(a)>f(c)C.f(a)>f(c)>f(b)D.f(c)>f(a)>f(b)

5. 下列不等式一定成立的是（ ）
A.lgx2+14>lgxx>0B.sinx+1sinx≥2x≠kπ,k∈Z
C.x2+1≥2|x|x∈RD.1x2+1>1x∈R

6. 已知函数fx=ex−2x−1（其中e为自然对数的底数），则y=fx的图象大致为( )
A.B.
C.D.

7. 已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，ba+c+sinCsinA+sinB=1,AB→⋅AC→=4，则△ABC的面积为（ ）
A.3B.2C.23D.43

8. 已知函数f(x)=xlnx,x>0,x+1,x≤0, 若x1≠x2，且f(x1)=f(x2)，则|x1−x2|的最大值为( )
A.22B.2C.2D.1
二、多选题

已知曲线C:mx2+ny2=1( )
A.若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B.若m=n>0，则C是圆，其半径为n
C.若mn0，则C是两条直线

沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的23（细管长度忽略不计）．假设该沙漏每秒钟漏下0.02cm3的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆．以下结论正确的是( )

A.沙漏中的细沙体积为1024π81cm3
B.沙漏的体积是128πcm3
C.细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4cm
D.该沙漏的一个沙时大约是1565秒π≈3.14

已知函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,|φ|0的解集为1e,+∞
B.函数gx在0,e上单调递增，在e,+∞上单调递减
C.若函数Fx=fx−ax2有两个极值点，则a∈0,1
D.若x1>x2>0时，总有m2x12−x22>fx1−fx2恒成立，则m≥1
三、填空题

已知三棱锥P−ABC的四个顶点都在球O的表面上，PA⊥平面ABC，PA=6，AB=23，AC=2，BC=4，则球O的半径为________；若D是BC的中点，过点D作球O的截面，则截面面积的最小值是________．
四、解答题

在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且有asinC+csinA=433bsinAsinC.
(1)求sinB；

(2)求ab+cb的取值范围．

已知函数f(x)=(lgax)2−lgax−2(a>0, a≠1)．
(1)当a=2时，求f(2)；

(2)求解关于x的不等式f(x)>0；

(3)若∀x∈[2, 4]，f(x)≥4恒成立，求实数a的取值范围．

在正项等比数列{an}中，已知a1+a3=10，a3+a5=40．
(1)求数列{an}的通项公式；

(2)令bn=lg2an，求数列{(−1)nbn2}的前100项的和S100．

已知三棱锥P−ABC(如图一)的平面展开图(如图二)中，四边形ABCD为边长等于2的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，在三棱锥P−ABC中：

(1)证明：平面PAC⊥平面ABC；

(2)若点M在棱PA上运动，当直线BM与平面PAC所成的角最大时，求二面角P−BC−M的余弦值．

设函数f(x)=xea−x+bx，曲线y=f(x)在点(2, f(2))处的切线方程为y=(e−1)x+4.
(1)求a，b的值；

(2)求f(x)的单调区间．

某医药开发公司实验室有n（n∈N∗）瓶溶液，其中m（m∈N）瓶中有细菌R，现需要把含有细菌R的溶液检验出来，有如下两种方案：
方案一：逐瓶检验，则需检验n次；
方案二：混合检验，将n瓶溶液分别取样，混合在一起检验，若检验结果不含有细菌R，则n瓶溶液全部不含有细菌R；若检验结果含有细菌R，就要对这n瓶溶液再逐瓶检验，此时检验次数总共为n+1.
(1)假设n=5,m=2，采用方案一，求恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌R的概率；

(2)现对n瓶溶液进行检验，已知每瓶溶液含有细菌R的概率均为P(0≤P≤1).
若采用方案一，需检验的总次数为ξ；
若采用方案二，需检验的总次数为η.
①若ξ与η的期望相等，试求P关于n的函数解析式P=f(n)；
②若p=1−e−14,且采用方案二总次数的期望小于采用方案一总次数的期望，求n的最大值.
参考数据：ln2≈0.69,ln3≈1.10,ln5≈1.61,ln7≈1.95.
参考答案与试题解析
2020-2021学年山东省潍坊市高三（上）9月收心考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
交、并、补集的混合运算
【解析】
解二次不等式可以求出集合A，进而求出CRA，解绝对值不等式可以求出集合B，代入后根据交集运算法则，即可得到(CRA)∩B．
【解答】
解：∵ A={x|(x−3)(x+1)>0}={x|x3}，
∴ ∁RA={x|−1≤x≤3}.
∵ B={x||x−1|>1}={x|x2}，
∴ (∁RA)∩B=[−1, 0)∪(2, 3].
故选D.
2.
【答案】
C
【考点】
扇形统计图
【解析】

【解答】
解：从第二个图可知，“90后”占总人数55%，故A正确；
从第一个图中，从事技术、设计岗位的“90后”占(37%+13%)×55%=27.5%，故B正确；
无法比较从事技术岗位的人中“90后”与“80后”人数多少，故C不一定正确；
“90后” 从事市场岗位的人数占总数的55%×14%=7.7%>5%，故D正确．
故选C．
3.
【答案】
D
【考点】
数量积的坐标表达式
【解析】

【解答】
解：建立坐标系如图，
设AD=x，
则A(0, 0)，B(4, 0)，D(0, x)，C(2, x)，E(3, x2)，
AC→=(2,x)，AE→=(3, x2)，AB→=(4, 0)，
∴ AC→+AE→=(5, 3x2)，
∴ AB→⋅(AC→+AE→)=20．
故选D.
4.
【答案】
A
【考点】
函数单调性的性质与判断
指数式、对数式的综合比较
【解析】

【解答】
解：∵ 当x>0时，f(x)=ex−e−x为增函数；
当x≤0时，f(x)=−x2为增函数，
∴ 函数f(x)在R上为增函数.
∵ a=50.01>50=1，b=32lg32=lg3232=lg38，即0f(b)>f(c)．
故选A.
5.
【答案】
C
【考点】
不等式的证明
基本不等式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：A、当x>0时，x2+14≥2⋅x⋅12=x，
（当且仅当x=12时，等号成立）
所以lgx2+14≥lgxx>0，故选项A不正确；
B、当x≠kπ，k∈Z时，sinx的正负不确定，故选项B不正确；
C、由基本不等式可知，x2+1≥2|x|x∈R，故选项C正确；
D、当x=0时，有1x2+1=1，故选项D不正确．
故选C.
6.
【答案】
A
【考点】
函数的图象
【解析】

【解答】
解：∵f(x)=ex−2x−1，
∴ 该函数的定义域为R，且f′(x)=ex−2，
令f′(x)ln2，此时，函数y=f(x)单调递增，
∴ 函数y=f(x)的极小值为
f(ln2)=eln2−2ln2−1=1−2ln2x2，已知f(x1)=f(x2)，
要求|x1−x2|的最大值，即求(x1−x2)max，
作函数图像如图，
设点A(x1, y1)是函数y=xlnx(x>0)上一点，
当点A到直线y=x+1(x≤0)的距离最大时，x1−x2取最大值，
此时需过A点的切线与y=x+1平行，
当x>0时，f′(x)=lnx+1，
令f′(x)=1，解得：x1=1，
所以点A(1, 0)，此时x2=−1，
所以|x1−x2|的最大值为2.
故选B.
二、多选题
【答案】
A,C,D
【考点】
双曲线的渐近线
椭圆的标准方程
圆的标准方程
【解析】
根据所给条件，逐一分析对应的方程形式，结合椭圆、圆、双曲线方程的定义进行判断即可.
【解答】
解：A，若m>n>0 ，则1m0，则方程为x2+y2=1n，表示半径为1n的圆，故B错误；
C，根据求双曲线渐近线的方法，可以得双曲线的渐近线方程mx2+ny2=0，
又因为mn0时，则方程为y=±1n表示两条直线，故D正确.
故选ACD．
【答案】
A,C
【考点】
柱体、锥体、台体的体积计算
旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【解析】

【解答】
解：A，根据圆锥的截面图可知，细沙在上部时，
细沙的底面半径与圆锥的底面半径之比等于细沙的高与圆锥的高之比，
所以细沙的底面半径r=23×4=83(cm)，
所以沙漏中的细沙体积V=13⋅πr2⋅2ℎ3
=13×64π9×163=1024π81(cm3)，故选项A正确；
B，沙漏的体积V=2×13×π×42×8=2563π(cm3)，故选项B错误；
C，设细沙流入下部后的高度为ℎ1，根据细沙体积不变可知，
1024π81=13×π×42×ℎ1，
整理得，1024π81=16π3ℎ1，解得：ℎ1≈2.4cm，故选项C正确；
D，因为细沙的体积为1024π81cm3，沙漏每秒钟漏下0.02cm3的沙，
所以该沙漏的一个沙时大约是：
1024π810.02=1024×3.1481×50≈1985(秒)，故选项D错误.
故选AC．
【答案】
B,D
【考点】
三角函数的恒等变换及化简求值
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】

【解答】
解：因为函数fx的最大值为2，
所以A=2．
因为函数fx图像相邻的两条对称轴之间的距离为π2，
所以T2=π2，T=2πω=π，ω=2，
所以fx=2sin2x+φ.
又因为fx的图像关于点−π12,0对称，
所以f−π12=2sin−π6+φ=0，
即 −π6+φ=kπ，k∈Z，
所以φ=π6+kπ，k∈Z．
因为|φ|0，
f′x=lnx+1，则gx=lnx+1x，g′x=−lnxx2，
函数g(x)的图象如图所示，
A，∵ gx>0，即lnx+1x>0，lnx+1>0，解得：x>1e，
∴ 不等式gx>0的解集为1e,+∞，故A正确；
B，∵ 当01时，g′(x)x2>0时，总有m2x12−x22>fx1−fx2恒成立，
则m2x12−x1lnx1>m2x22−x2lnx2>0在0,+∞上恒成立.
令Hx=m2x2−xlnxx>0，则H(x)在(0,+∞)上单调递增，
即H′(x)=mx−(lnx+1)≥0在(0,+∞)上恒成立，
等价于m≥lnx+1x，即m≥g(x)在(0,+∞)上恒成立.
又g(x)max=g(1)=1，所以m≥1，故D正确.
故选AD．
三、填空题
【答案】
13,4π
【考点】
球内接多面体
【解析】

【解答】
解：如图所示：
由题意知底面三角形ABC为直角三角形，
所以底面外接圆的半径r=BC2=2.
过底面外接圆的圆心O′作垂直于底面的直线，
则球心O在该直线上，
所以OO′=PA2=3.
连结OA，设外接球的半径为R，
则R2=r2+OO′2=22+32=13，
解得：R=13.
若D是BC的中点，则D，O′重合，
过点D作球O的截面，
则截面面积最小时是与OO′垂直的面，
即三角形ABC的外接圆.
因为外接圆半径为2，
所以截面面积为π⋅22=4π．
故答案为：13；4π．
四、解答题
【答案】
解：(1)由正弦定理的边化角公式可得
2sinAsinC=433sinAsinBsinC.
∵A，B，C∈0,π2，
∴sinA≠0，sinC≠0，
∴sinB=32．
(2)由(1)可知B=π3，则A+C=2π3.
∵△ABC为锐角三角形，
∴ A∈π6,π2.
ab+cb=sinAsinB+sinCsinB
=233sinA+sin2π3−A
=3sinA+csA
=2sinA+π6.
∵A+π6∈π3,2π3，
∴sinA+π6∈32,1，
∴ab+cb∈(3,2]．
【考点】
两角和与差的正弦公式
正弦定理
正弦函数的定义域和值域
【解析】


【解答】
解：(1)由正弦定理的边化角公式可得
2sinAsinC=433sinAsinBsinC.
∵A，B，C∈0,π2，
∴sinA≠0，sinC≠0，
∴sinB=32．
(2)由(1)可知B=π3，则A+C=2π3.
∵△ABC为锐角三角形，
∴ A∈π6,π2.
ab+cb=sinAsinB+sinCsinB
=233sinA+sin2π3−A
=3sinA+csA
=2sinA+π6.
∵A+π6∈π3,2π3，
∴sinA+π6∈32,1，
∴ab+cb∈(3,2]．
【答案】
解：(1)当a=2时，f(2)=(lg22)2−lg22−2=−2.
(2)由f(x)>0得，(lgax)2−lgax−2>0，
解得：lgax>2或lgax