2020-2021学年四川省凉山州高一（上）期末数学试卷人教新课标A版

这是一份2020-2021学年四川省凉山州高一（上）期末数学试卷人教新课标A版，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知集合U＝{−1, 0, 1, 2}，A＝{−1, 0, 1}，则∁UA＝（ ）
A.{−1, 0, 1, 2}B.{0, 2}C.{−1, 0}D.{2}

2. 已知，且α是第四象限的角，则csα＝（ ）
A.B.C.D.

3. 下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是单调递增函数的是（ ）
A.B.y＝x3C.y＝lnxD.y＝sinx

4. 已知函数f(x)＝，则f(1)＝（ ）
A.3B.6C.15D.12

5. 彝族图案作为人类社会发展的一种物质文化，有着灿烂历史．按照图案的载体大致分为彝族服饰图案，彝族漆器图案，彝族银器图案等．其中蕴含着丰富的数学文化，如图1：漆器图案中出现的“阿基米德螺线”，该曲线是由一动点沿一条射线以等角速度转动所形成的轨迹．这些螺线均匀分布，将其简化抽象为图2所示，若OA长为2个单位，则∠AOB所对应的弧长为（ ）

A.B.C.D.

6. 已知a＝lg20.4，b＝lg0.40.5，c＝20.4，则（ ）
A.a
7. 下列关于函数f(x)＝lg2x+2x−6的零点所在区间最准确的是（ ）
A.(1, 2)B.(0, 1)C.(2, 3)D.(3, 4)

8. 已知幂函数，满足f(x)在x∈(0, +∞)为减函数，则a的值为（ ）
A.3或−1B.3C.−1D.−3

9. 设角α的终边过点(1, −2)，则等于（ ）
A.B.1C.−1D.−3

10. 已知函数f(x)＝x2−csx−ln|x|，则f(x)的大致图象正确的是（ ）
A.B.
C.D.

11. 已知函数f(x)是R上的奇函数，满足对任意的x1，x2∈(−∞, 0)（其中x1≠x2），都有[f(x1)−f(x2)](x1−x2)<0，且f(−1)＝0，则的范围是（ ）
A.(−∞, −1)∪[0, 1)B.(−1, 0)∪(0, 1)C.(−∞, −1]∪(0, 1]D.(−1, 1)

12. 设函数f(x)=sin(ωx+π4)(ω>0)在(−π12, π3]上为增函数，在[π3, π2)上是减函数，则ω的可能取值为（ ）
A.32+6k，k∈ZB.32C.34+6k，k∈ZD.34
二、填空题（共4个小题，每小题5分，共计20分，将答案填写在答题卡对应的横线上）

函数f(x)＝+ln(x−1)的定义域为________．

若2x＝3y＝6，则＝________．

若函数f(x)＝在R上是增函数，则a的取值范围是________．

关于f(x)＝sinx−，有如下四个结论：
①f(x)是奇函数；
②f(x)图象关于y轴对称；
③x＝是f(x)的一条对称轴；
④f(x)有最大值和最小值．
其中说法正确的序号是________．
三、解答题（共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

化简求值：
（1）8；

（2）已知，求．

集合A＝{x|<2x<8}，B＝{x|a−1（1）当a＝0时，求A∩B；

（2）若B⊆A，求实数a的取值范围．

已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x∈(−∞, 0)时，f(x)＝x2−2x．
（1）求f(x)在(0, +∞)上的解析式；

（2）用定义法证明f(x)在(0, +∞)上的单调性．

为助力凉山脱贫攻坚，州农科所通过培育新品种、引进新技术及配套高产栽培技术示范，为某县水果产业发展提供技术服务．研究发现，一亩脐橙树的产量w（单位：吨）与肥料费用x（单位：千元）近似满足如下关系：使用肥料不超过3千元时，w＝1.7+，若使用肥料超过3千元且不超过6千元时，w＝-．此外，还需投入其他成本2x千元．若该脐橙的市场售价为1万元/吨，且市场上对脐橙的需求始终供不应求，该脐橙树每亩可获得的利润为f(x)．
（1）求f(x)的解析式；

（2）求当每亩地投入多少肥料时利润最大？并求出利润的最大值．

已知函数是定义在R上的奇函数．
（1）求a，b的值；

（2）对任意的t∈R，都有f(t2−2t)+f(1−k)>0恒成立，求k的取值范围．

已知函数的部分图象如图所示．

（1）求出函数f(x)的函数解析式；

（2）求函数f(x)的单调递增区间；

（3）求函数f(x)在上的最值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年四川省凉山州高一（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.
【答案】
D
【考点】
补集及其运算
【解析】
根据补集的定义进行判断即可．
【解答】
∵ U＝{−1, 0, 1, 2}，A＝{−1, 0, 1}，
∴ ∁UA＝{2}，
2.
【答案】
A
【考点】
同角三角函数间的基本关系
【解析】
先根据α为第四象限角，可知csα>0，再根据平方关系，利用sinα＝-，可求csα的值．
【解答】
由题意，∵ α为第四象限角
∴ csα>0．
∵ sinα＝-，
∴ csα＝＝＝-．
3.
【答案】
B
【考点】
奇偶性与单调性的综合
【解析】
根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可．
【解答】
A．函数是奇函数，在定义域上不是单调函数，不满足条件．
B．函数在其定义域上既是奇函数又是单调递增函数，满足条件，
C．函数的定义域为(0, +∞)为非奇非偶函数，不满足条件．
D．函数是奇函数，在定义域上不单调，不满足条件．
4.
【答案】
C
【考点】
求函数的值
函数的求值
【解析】
根据自变量的值判断使用哪一段解析式求解，即可得到答案．
【解答】
因为函数f(x)＝，所以则f(1)＝f(3)＝3×(3+2)＝15．
故选：C．
5.
【答案】
D
【考点】
弧长公式
【解析】
先确定∠AOB所对的弧长为整个圆的，然后求出整个圆的周长，即可得到答案．
【解答】
根据题意可得，∠AOB所对的弧长为整个圆的，
整个圆周的周长为2π⋅OA＝4π，
所以∠AOB所对应的弧长为．
6.
【答案】
A
【考点】
对数值大小的比较
【解析】
利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．
【解答】
∵ a＝lg20.40＝lg0.41c＝20.4>20＝1，
∴ a7.
【答案】
C
【考点】
函数零点的判定定理
【解析】
根据函数零点的判定定理进行判断即可．
【解答】
函数f(x)＝lg2x+2x−6的连续增函数，
∵ f(2)＝lg22+2×2−6<0，f(3)＝lg23+2×3−6>0，
可得f(3)f(2)<0，
∴ 函数f(x)的其中一个零点所在的区间是(2, 3)，
8.
【答案】
C
【考点】
幂函数的性质
【解析】
由题意利用幂函数的定义和性质，求得a 的值．
【解答】
∵ 幂函数，满足f(x)在x∈(0, +∞)为减函数，
∴ a2−2a−2＝1，且a2+2a<0，求得a＝−1，
9.
【答案】
B
【考点】
运用诱导公式化简求值
【解析】
由题意利用任意角的三角函数的定义，求得tanα的值，进而利用诱导公式，同角三角函数基本关系式即可化简求解．
【解答】
∵ 角α的终边过点P(1, −2)，
∴ x＝1，y＝−2，
∴ tanα＝＝＝−2，
则＝＝＝＝1．
10.
【答案】
C
【考点】
函数的图象与图象的变换
【解析】
根据函数的奇偶性和对称性，以及函数值的对应性，结合排除法进行判断即可．
【解答】
函数的定义域为{x|x≠0}，
f(−x)＝(−x)2−cs(−x)−ln|−x|＝x2−csx−ln|x|＝f(x)，则函数f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，排除BD，
当x＝1时，f(1)＝1−cs1>0，排除A，
故选：C．
11.
【答案】
B
【考点】
奇偶性与单调性的综合
【解析】
根据条件判断函数的单调性，作出函数f(x)的图象，利用函数奇偶性和单调性的性质进行转化求解即可．
【解答】
若对任意的x1，x2∈(−∞, 0)（其中x1≠x2），都有[f(x1)−f(x2)](x1−x2)<0，
则当x<0时，f(x)为减函数，
∵ f(−1)＝0，∴ f(1)＝0，
作出f(x)的图象如图：
则不等式等价为>0，
即或，
即0即不等式的解集为(−1, 0)∪(0, 1)，
故选：B．
12.
【答案】
D
【考点】
正弦函数的单调性
【解析】
由题意利用正弦函数的图象和性质，求得ω的可能取值．
【解答】
解：∵ f(x)=sin(ωx+π4)(ω>0)在(−π12, π3]上为增函数，在[π3, π2)上是减函数，
∴ x=π3时，函数f(x)取得最大值，且12×2πω≥π3+π12，
即ωπ3+π4=2kπ+π2，且ω≤125，
即ω=34+6k且ω≤125，k∈Z．
即ω=34.
故选D.
二、填空题（共4个小题，每小题5分，共计20分，将答案填写在答题卡对应的横线上）
【答案】
(1, 2)
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
根据函数成立的条件建立不等式关系进行求解即可．
【解答】
要使函数有意义，则，
得，得1即函数的定义域为(1, 2)，
【答案】
lg618
【考点】
指数式与对数式的互化
【解析】
根据2x＝3y＝6即可得出，然后即可得出．
【解答】
∵ 2x＝3y＝6，
∴ x＝lg26，y＝lg36，
∴ ，
∴ ＝lg62+lg69＝lg618．
【答案】
(1，]
【考点】
分段函数的应用
【解析】
根据函数的单调性得到关于a的不等式，解出即可求出a的范围．
【解答】
∵ 函数f(x)＝在R上是增函数，
故需满足：，解得：1【答案】
①③
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
直接利用函数的性质的应用判断f(−x)和f(x)的关系确定①②的结论，利用f(π−x)＝sin(π−x)−＝sinx−＝f(x)判断③的结论，利用函数的导数的关系判断④的结论．
【解答】
对于①②：函数f(−x)＝sin(−x)−(x≠kπ)(k∈Z)，故①正确，②错误；
对于③：函数f(π−x)＝sin(π−x)−＝sinx−＝f(x)，故③正确；
对于④：令sinx＝t，t∈[−1, 0)∪(0, 1]，
所以y′＝1+，
所以函数y在[−1, 0)和(0, 1]上为增函数，当t∈[−1, 0)时，，
所以y∈[0, +∞)．
当t∈(0, 1]时，，
所以y∈(−∞, 0]．
综上所述：以y∈[0, +∞)∪(−∞, 0]．
故④错误．
三、解答题（共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
【答案】
原式＝
＝4−1+lg25+lg4+3
＝8．
由，得：，即tanα＝−3．
∴ ．
【考点】
同角三角函数间的基本关系
对数的运算性质
【解析】
（1）利用指数，对数的运算法则进行计算即可得解．
（2）利用两角差的正切公式可求tanα的值，进而根据同角三角函数基本关系式即可化简求解．
【解答】
原式＝
＝4−1+lg25+lg4+3
＝8．
由，得：，即tanα＝−3．
∴ ．
【答案】
当a＝0时，B＝{x|−1由，可知：A＝{x|−2由（1）知，A＝{x|−2i)当B＝⌀时，a−1≥2a+1，即a≤−2；
ii)当B≠⌀时，，解得−1≤a≤1．
综上所述：a的取值范围为：(−∞, −2]∪[−1, 1]．
【考点】
交集及其运算
【解析】
（1）当a＝0时，求出集合A，B，由此能求出A∩B．
（2）求出集合A，由B⊆A，得当B＝⌀时，a−1≥2a+1，当B≠⌀时，列出不等式组，由此能求出a的取值范围．
【解答】
当a＝0时，B＝{x|−1由，可知：A＝{x|−2由（1）知，A＝{x|−2i)当B＝⌀时，a−1≥2a+1，即a≤−2；
ii)当B≠⌀时，，解得−1≤a≤1．
综上所述：a的取值范围为：(−∞, −2]∪[−1, 1]．
【答案】
设x∈(0, +∞)，则−x∈(−∞, 0)，有f(−x)＝(−x)2−2(−x)＝x2+2x，
由于f(x)是定义在R上的偶函数，即f(x)＝f(−x)，
故：f(x)＝x2+2x，x∈(0, +∞)．
证明：设对任意的x1，x2∈(0, +∞)，且满足x1有＝＝(x1−x2)(1+x1+x2)，
∵ x1，x2∈(0, +∞)，∴ 1+x1+x2>0，
∵ x1∴ f(x1)−f(x2)<0，
故函数f(x)在(0, +∞)上为增函数．
【考点】
奇偶性与单调性的综合
【解析】
（1）根据偶函数的对称性进行转化求解即可．
（2）利用函数单调性的定义进行证明即可．
【解答】
设x∈(0, +∞)，则−x∈(−∞, 0)，有f(−x)＝(−x)2−2(−x)＝x2+2x，
由于f(x)是定义在R上的偶函数，即f(x)＝f(−x)，
故：f(x)＝x2+2x，x∈(0, +∞)．
证明：设对任意的x1，x2∈(0, +∞)，且满足x1有＝＝(x1−x2)(1+x1+x2)，
∵ x1，x2∈(0, +∞)，∴ 1+x1+x2>0，
∵ x1∴ f(x1)−f(x2)<0，
故函数f(x)在(0, +∞)上为增函数．
【答案】
由题意可知：
，
即f(x)的解析式为：f(x)＝；
由（1）知：f(x)＝；
①当x∈[0, 3]时，f(x)＝17+3x为单调递增函数，
所以当x＝3时，f(x)的最大值为26千元．
②当x∈(3, 6]时，f(x)＝−x2+10x+5＝−(x−5)2+30，
x＝5时取得最大值为30千元．
综上所述：每亩地投入肥料5千元时，利润最大为30千元．
【考点】
根据实际问题选择函数类型
【解析】
（1）根据题意即可求出利润的解析式；（2）根据（1）的解析式分段求出最大值，比较即可求解．
【解答】
由题意可知：
，
即f(x)的解析式为：f(x)＝；
由（1）知：f(x)＝；
①当x∈[0, 3]时，f(x)＝17+3x为单调递增函数，
所以当x＝3时，f(x)的最大值为26千元．
②当x∈(3, 6]时，f(x)＝−x2+10x+5＝−(x−5)2+30，
x＝5时取得最大值为30千元．
综上所述：每亩地投入肥料5千元时，利润最大为30千元．
【答案】
由题意知：f(x)是定义在R上的奇函数，
∴ ，∴ a＝−1，
即，
∴ b＝e，
∴ a＝−1，b＝e；
由（1）知＝，
因此f(x)在R上是增函数，
对任意的t∈R，f(t2−2t)+f(1−k)>0恒成立，
可转化f(t2−2t)>−f(1−k)，
根据f(x)在R上是奇函数可知f(t2−2t)>f(k−1)恒成立，
∴ t2−2t>k−1恒成立，
∴ t2−2t+1＝(t−1)2≥0>k恒成立，
∴ k<0，
故k的取值范围为(−∞, 0)．
【考点】
函数奇偶性的性质与判断
函数恒成立问题
【解析】
（1）根据函数的奇偶性的定义，分别求出a，b的值即可；
（2）求出f(x)的解析式，根据函数的单调性和奇偶性问题转化为t2−2t>k−1恒成立，求出k的范围即可．
【解答】
由题意知：f(x)是定义在R上的奇函数，
∴ ，∴ a＝−1，
即，
∴ b＝e，
∴ a＝−1，b＝e；
由（1）知＝，
因此f(x)在R上是增函数，
对任意的t∈R，f(t2−2t)+f(1−k)>0恒成立，
可转化f(t2−2t)>−f(1−k)，
根据f(x)在R上是奇函数可知f(t2−2t)>f(k−1)恒成立，
∴ t2−2t>k−1恒成立，
∴ t2−2t+1＝(t−1)2≥0>k恒成立，
∴ k<0，
故k的取值范围为(−∞, 0)．
【答案】
由图可知：A＝2，，即T＝π，
根据，得：ω＝2，
由，得：，k∈Z，
∴ ，，
故函数f(x)的解析式为：．
由（1）知函数f(x)的解析式为，
∴ ，k∈Z，
∴ ，k∈Z，
故函数f(x)的单调递增区间为[kπ−，kπ+]，k∈Z．
由（2）知f(x)在上为增函数，f(x)在上为减函数，
∴ f(x)在时，取得最小值，
f(x)在时，取得最大值，
综上所述：f(x)在上的最小值为−1，最大值为2．
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】
（1）由函数图象可得A及函数周期，利用周期公式可求ω，由y＝f(x)过点（，2)，结合范围|φ|<，可求φ，可得函数解析式．
（2）由已知可求，即可得解函数的单调递增区间．
（3）利用正弦函数的图象和性质即可求解．
【解答】
由图可知：A＝2，，即T＝π，
根据，得：ω＝2，
由，得：，k∈Z，
∴ ，，
故函数f(x)的解析式为：．
由（1）知函数f(x)的解析式为，
∴ ，k∈Z，
∴ ，k∈Z，
故函数f(x)的单调递增区间为[kπ−，kπ+]，k∈Z．
由（2）知f(x)在上为增函数，f(x)在上为减函数，
∴ f(x)在时，取得最小值，
f(x)在时，取得最大值，
综上所述：f(x)在上的最小值为−1，最大值为2．